1、（全国卷）“超级全能生”2021 届高三数学 5 月联考试题（丙卷）理（含解析）注意事项：1.本试题卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 Ay|y2x1，Bx|y2
2、x1，则 AB A.(0，)B.0，)C.(1，)D.1，)2.复数 z 满足 z(1i)(1i)2，则 z 的虚部为 A.2i B.2 C.2 D.2i 3.若 aln0.4，b0.23，clog23，则 a，b，c 的大小关系正确的是 A.bac B.acb C.bca D.ab0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为 C 左支上一点，|PF2|2|PF1|，F1PF260，则 C 的离心率为 A.3 B.2 C.5 D.2 11.如图，四边形 ABCD，A1ADD1，C1CDD1均为正方形。动点 E 在线段 A1C1上，F，G，M 分别是 AD，BE，CD 的中点，则下列选项正确
3、的是 A.GM/CE B.BM平面 CC1F C.存在点 E，使得平面 BEF/平面 CC1D1D D.存在点 E，使得平面 BEF平面 AA1C1C 12.已知函数 f(x)xx21213x1，且 f(a2)f(3a4)2，则实数 a 的取值范围是 A.(4，1)B.(3，2)C.(0，5)D.(1，4)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若 x，y 满足约束条件x10 x2y40 xy0 ，则 z2xy 的最大值为 。14.设正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 a52a38a1，S430，则 a6 。15.已知函数 f(x)sin(x 6)2 3 3s
4、in2(212x)3 在0，m上恰有 10 个零点，则 m的取值范围是 。16.函数f(x)x22a lnx2x(aR)在 116，1内不存在极值点，则a的取值范围是 。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。17.(12 分)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 atanB4bsin(BC)。(I)求 cosB；(II)若 AB4，BC3，D 为 AC 上一点，且 AD2DC，求 BD。18.(12 分)如图，在圆柱 OO
5、中，CE 是圆柱的一条母线，ABCD 是圆 O 的内接四边形，AB 是圆 O 的直径，CD/AB。(I)若 ADCD，求证：AD/平面 CEO；(II)若 CDCE 12AB1，求直线 BE 与平面 ADE 所成角的正弦值。19.(12 分)某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如表所示：(I)用相关系数说明月度市场占有率 y 与月份代码 x 之间的关系是否可用线性回归模型拟合？(II)求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测何时该种产品的市场占有率超过 30%？(III)根据市场供需情况统计，得到该公司产品 2020 年的平均月产量 X
6、(单位：万件)的分布列为 2020 年的该公司产品的平均市场价格 Y(单位：万元/件)对应的概率分布为 P(Y)0.8Y0.30.2Y0.35，假设生产每件产品的每月固定成本为 200 万元，求该产品平均每月利润的分布列和数学期望。参考数据：621()iixx17.5，621()iiyy76，61()()iiixxyy35，1330 36.5。参考公式：相关系数12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy；回归直线方程为 ybxa，其中121()(),()niiiniixxyybaybxxx。20.(12 分)函数 f(x)xlogax(a0，a1)。(I)当 a4 时，求
7、证：函数 g(x)f(x)1 有两个零点；(I)若 ae，求证：af(x)e0。21.(12 分)已知椭圆 C：22221(0)xyabab和圆 O：x2y21。C 的焦距为 4 63，过 C 的右顶点作圆 O 的切线，切线长为 3。(I)求椭圆 C 的方程；(II)设圆 O 的切线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求OAB 面积的最大值。(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.选修 44：坐标系与参数方程(10 分)以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 22asina230，直线 l 的极坐标方程为 6(R)。(I)求曲线 C 的参数方程，若曲线 C 过原点 O，求实数 a 的值；(II)当 a1 时，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|AB|。23.选修 45：不等式选讲(10 分)设函数 f(x)|x1|xa|。(I)当 a3 时，求不等式 f(x)3x1 的解集；(II)若 f(x)2a3 对任意 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围。
