1、第十章 排列、组合、二项式定理和概率第 讲（第二课时）题型4 利用二项式定理求组合数的和1.求下列各式的和：(1)；(2).01232-122222223-3-3nnnnnnnnCCCCCC011223-1nnnnnnnnnnC CC CC CC C解:(1)原式=.(2)因为(1+x)n(x+1)n=(x+1)2n，所以.比较等式两边xn-1的系数，得.点评：逆用、变用二项式定理是解决组合数求和公式的关键.01232-122222222(-)nnnnnnnnCCCCCC-10212-12222)nnnnnnnnnnCxCC xC xC012201-1()(nnnnnnnnnnCC xC xC
2、 xC xC x0122-122222222()2(1-1)(1 1)4nnnnnnnnnnCCCCC011223-1-12nnnnnnnnnnnnC CC CC CC CC求的和.解：设，则，倒序：，两式相加，得所以S=n2n-1，即.122nnnnCCnC122nnnnSCCnC01202nnnnnSCCCnC-110012(-1)0 (-1)(-2)0nnnnnnnnnnnSnCnCCCnCnCnCC 0122()2nnnnnnSn CCCCn 12-122nnnnnCCnCn2.(1)求证：46n+5n+1-9(nN*)能被20整除；(2)求5555除以8的余数.解：(1)证明:因为4
3、6n+5n+1-9=4(6n-1)+5(5n-1)=4(5+1)n-1+5(4+1)n-1=，所以46n+5n+1-9能被20整除.题型5 利用二项式定理解决整除性和余数问题01-12-2-101-12-2-14(5555)5(4444)nnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCC0-11-22-3-10-11-22-3-120(555)20(444)nnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCC(2)因为5555=(56-1)55=，又56是8的倍数，故上面的展开式可设为8m-1.因为8m-1=8(m-1)+7，所以5555除以8的余数是7.点评：求整除或余数问题，一般是把被除式配凑成
4、除式的倍式加余数的形式，如第(1)问中先分别把46n中的6n变为5的倍数加余数的形式，而55n的化为4的倍数加余数的形式，这样就凑出20的倍数式和余数式.055154555556-56CC5455 56-1C 若能被7整除，则x,n的值可能为()A.x=4,n=3 B.x=4,n=4C.x=5,n=4 D.x=6,n=5解:,当x=5,n=4时，(1+x)n-1=64-1=3537能被7整除，故选C.122nnnnnC x C xC xC122(1)-1nnnnnnC xC xLC xx3.求下列各数的近似值，使误差小于0.001.(1)1.028；(2)0.9986.解：(1)1.028=(
5、1+0.02)8=.因为精确度为0.001,比它小的数可以忽略，所以1.0281+0.16+0.0112=1.17121.171.题型6 利用二项式定理求近似值01228880.020.02CCC3388883388880.020.021 0.16 0.01120020.02 CCCC(2)0.9986=(1-0.002)6=.因为T3=150.0000040.001，且以后各项的绝对值都小于0.001，这些项可忽略不计.所以0.99861+6(-0.002)=1-0.012=0.988.点评：指数的近似值计算可转化为二项式定理的展开式，由近似值的要求，转化为求展开式的前两项或前三项的值即可.
6、226666(-0.002)(-0.002)CC226(-0.002)C 某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减小多少公顷(精确到1公顷)？(粮食单产=,人均粮食占有量=)总产量耕地面积总产量总人口数解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷.依题意得,化简得,4410(1 22%)(10-10)10(1 10%)(1 1%)MxMPP1031.1(1 0.01)101-1.22x因为,所以x4(公顷).所以耕地平均每年至多只能减少4公顷.10
7、33122101031.1(1+0.01)101-1.221.1=101-(1+C0.01+C0.01+)1.221.110(1-1.1045)4.11.22 证明下列不等式：(1)1，nN*，n2);(2)(1+x)n+(1-x)n2n(|x|1，n2).证明：(1)令a=1+x(x0)，则参 考 题参 考 题题型 利用二项式定理证不等式 22(-1)4nn aa0122222(1)(-1)(-1)2nnnnnnnnnaxCC xC xC xn nC xa又，即，所以.故.(2)(1+x)n+(1-x)n=.因为|x|1，所以0 x2k1.所以(1+x)n+(1-x)n=22n-1=2n.2
8、(-1)(-2)-0244n nnn n2(-1)24n nn222(-1)(-1)(-1)24n nnaa22(-1)4n naa2244222(1)()2kknnnnCxCxCxk 02422()knnnnCCCC1.求有关组合数的和，一般构造一个二项展开式，再逆用二项式定理化简求和，或者构造一个二项式恒等式，使所求的组合数的和为展开式中某项的系数，再比较等式两边相应项的系数得出结论.2.利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除性问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断.3.利用二项式定理进行近似值计算，就是将所求的指数表示成二项式，展开后根据近似值精确度要求，保留前几项，再求其代数和.4.对某些含指数式的不等式证明，可考虑将指数式化为二项式，展开后通过放缩化简，转化为不等式的另一边.