1、6.2.3-6.2.4 组合与组合数1.理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.2.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中.3.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力.重点：组合、组合数的概念并运用排列组合公式解决问题难点：组合与排列之间的联系与区别一、组合的相关概念1.组合:一般地,从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素作为一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.名师点析排列与组合的区别与联系(1)共同
2、点:两者都是从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素.(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.二、组合数与组合数公式1.组合数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用符号 表示.2.组合数公式:nm=nmmm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!,这里 n,mN*,并且 mn.另外,我们规定C 0=1.1.校门口停放着 9 辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有 3 辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？（1）从中选 3 辆，有多少种不同的方法？（2）从中选 2
3、 辆给 3 位同学有多少种不同的方法？一、问题探究问题 1.从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与 6.2.1 节问题一有什么联系与区别？从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？问题 2：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例 5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？问题 3：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数 来求组合数 呢？二、典例解析例 5.平面内有 A，B，C，D 共 4 个点.（1）以其中 2 个点为端点的有向线段共有
4、多少条？（2）以其中 2 个点为端点的线段共有多少条？例 6.计算：（1）10；（）10；（3）1010；（）100 观察例 6 的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？1.公式C =AA=(-1)(-2)(-+1)!(m,nN*,且 mn),一般用于求值计算.2.公式C =!(-)!(m,nN*,且 mn),一般用于化简证明.在具体选择公式时,要根据题目特点正确选择.3.根据题目特点合理选用组合数的两个性质C =C -,C+1=C +C -1,能起到简化运算的作用,需熟练掌握.跟踪训练 1.(1)计算:3C8
5、-2C52+C88;C10098+C200199.(2)求证:C +1+C -1+2C =C+2+1.例 7.在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品.从这 100 件产品中任意抽出 3 件.（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？组合问题的基本解法(1)判断是否为组合问题;(2)是否分类或分步;(3)根据组合的相关知识进行求解.跟踪训练 2.在一次数学竞赛中,某学校有 12 人通过了初试,学校要从中选出 5 人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?(1)任意选 5 人
6、;(2)甲、乙、丙三人必须参加;(3)甲、乙、丙三人不能参加;(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加;(5)甲、乙、丙三人至少 1 人参加.变式：若本例题条件不变,甲、乙、丙三人至多 2 人参加,有多少种不同的选法?1.从 10 个不同的数中任取 2 个数,求其和、差、积、商这四个问题中,属于组合的有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2.若A 2=3C-12,则 n 的值为()A.4B.5C.6D.7 3.若集合 A=a1,a2,a3,a4,a5,则集合 A 的子集中含有 4 个元素的子集共有 个.4.平面内有 12 个点,其中有 4 个点共线,此外再无任何 3 点共线,以这些点为顶
7、点,可得多少个不同的三角形?参考答案：知识梳理1.例如，从 3 个不同元素中取出 2 个元素的组合数，表示为 2，从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合数，表示为 2.思路：从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合数 ，设这 4 个元素为 a,b,c,d，那么从中取出 3 个元素的排列数 =24，以“元素相同”为标准将这 24 个排列分组如图，一共有 4 组，因此组合数 =4.1.（1）与顺序无关，是组合问题；（2）选出 2 辆给 3位同学是有顺序的，是排列问题。学习过程一、问题探究问题 1.分析：在 6.2.1 节问题 1 的 6 种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午”2
8、种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有 2 种方法.从而甲、乙、丙 3 名同选 2 名去参加一项活动，就只需考虑选出的 2 名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序。于是，在 6.2.1 节问题 1 的 6 种选法中，将选出的 2 名同学作为一组的选法就只有如下 3 种情况：甲乙、甲丙、乙丙.问题 2：也可以这样理解，求“从 4 个元素中取出 3 个元素的排列数 ”第 1 步，从 4 个元素中取出 3 个元素作为一组，共有 种不同的取法；第 2 步，将取出的 3 个元素做全排列，共有 种不同的取法.
9、于是，根据分布乘法计数原理有 =即 =4.同样的从 个不同对象中取出 个做排列，可以分成两个步骤完成，第一步从 个不同对象中取出 个，有 种选法；第二步将选出的 个对象做全排列，有 种排法.由分步乘法计数原理有 =，所以 =(1)(1)(1)2 1=()上述公式称为组合数公式.二、典例解析例 5.分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合问题.解：（1）一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内 4 个点中的 2 个为端点的有向线段条数，就是从 4 个不同元素中取出 2 个元素的排列数
10、，即有向线段条数为 2=43=12.这 12 条有向线段分别为 ,（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的 2 条有向线段作为一条线段，就是中平面内 4 个点中的 2 个点为端点的线段的条数，共有如下 6 条：AB,AC,AD,BC,BD,CD.例 6.解:根据组合数公式，可得（1）C10=A A =10 9 8 2 1=120;（2）C10=10 (10 )=10 9 8 =1 0；(3)C1010=A A =10 10=1(4)C100=1 跟踪训练 1.分析:(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开计算.(2)式子中涉及字母,可以用阶乘式
11、证明.(1)解:3C8-2C52+C88=38 6 2 1-25 2 1+1=149.C10098+C200199=C1002+C2001=100 992 1+200=5 150.(2)证明左边=!(+1)!(-1)!+!(-1)!(-+1)!+2!(-)!=!(+1)!(-+1)!(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)=!(+1)!(-+1)!(n+2)(n+1)=(+2)!(+1)!(-+1)!=C+2+1=右边.例 7.分析:（1）所求的不同抽法的种数，就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数；（2）分两步，第一步从 2 件次品中抽出 1 件次品，第二步从
12、 98 件合格品中抽出 2 件合格品，由乘法原理可得；（3）可从反面考虑，其反面是抽出的 3 件全是合格品，求出方法数后，由第（1）题的结论减去这个结果即可得解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数，共有3100161700C(种)；（2）从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有122989506C C(种).（3）抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从 100 件中抽出 3 件的抽法种数减去 3 件中都是合格品的抽法的
13、种数，即3310098161700 1520969604CC(种).跟踪训练2.分析:本题属于组合问题中的最基本的问题,可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和分析.注意“至少”“至多”问题,运用间接法求解会简化思维过程.解:(1)C125=792(种)不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的 9 人中选 2 人,共有C92=36(种)不同的选法.(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的 9 人中选 5 人,共有C95=126(种)不同的选法.(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,分两步,先从甲、乙、丙中选 1 人,有C 1=3(种)选法,再从另外的 9
14、人中选 4 人有C9 种选法.共有C 1C9=378(种)不同的选法.(5)(方法一 直接法)可分为三类:第 1 类,甲、乙、丙中有 1 人参加,有C 1C9 种选法;第 2 类,甲、乙、丙中有 2 人参加,有C 2C9 种选法;第 3 类,甲、乙、丙 3 人均参加,有C C92种选法.所以,共有C 1C9+C 2C9+C C92=666(种)不同的选法.(方法二 间接法)12 人中任意选 5 人共有C125 种,甲、乙、丙三人不能参加的有C95种,所以,共有C125 C95=666(种)不同的选法.变式：解:(方法一 直接法)甲、乙、丙三人至多 2 人参加,可分为三类:第 1 类,甲、乙、丙
15、都不参加,有C95种选法;第 2 类,甲、乙、丙中有 1 人参加,有C 1C9 种选法;第 3 类,甲、乙、丙中有 2 人参加,有C 2C9 种选法.共有C95+C 1C9+C 2C9=756(种)不同的选法.(方法二 间接法)12 人中任意选 5 人共有C125 种,甲、乙、丙三人全参加的有C92种选法,所以共有C125 C92=756(种)不同的选法.达标检测1.解析:因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响,所以属于组合的有 2 个.答案:B2.解析:因为A 2=3C-12,所以 n(n-1)=(-1)(-2)2,解得 n=6.故选 C.答案:C 3.解析:满足要求的子集中含有 4 个元素,由集合中元素的无序性,知其子集个数为 5=5.答案:54.解:(方法一)我们把从共线的 4 个点中取点的多少作为分类的标准:第 1 类,共线的 4 个点中有 2 个点作为三角形的顶点,共有C 2 C81=48(个)不同的三角形;第 2 类,共线的 4 个点中有 1 个点作为三角形的顶点,共有C 1 C82=112(个)不同的三角形;第 3 类,共线的 4 个点中没有点作为三角形的顶点,共有C8=56(个)不同的三角形.由分类加法计数原理,不同的三角形共有48+112+56=216(个).(方法二 间接法)C12 C =220-4=216(个).
