1、山西省运城市2015届高三上学期期末数学试卷（文科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集U=R，A=x|x0，B=x|x1，则集合U（AB）=( )Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x1考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：先求AB，再根据补集的定义求CU（AB）解答：解：AB=x|x1或x0，CU（AB）=x|0x1，故选：D点评：本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法2复数（i是虚数单位）的虚部是( )ABCD考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题：计
2、算题分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi（a，bR）的形式，可得虚部解答：解：因为=所以复数的虚部为：故选D点评：本题是基础题，考查复数的代数形式的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力，注意虚部是实数3若平面向量，满足|+|=1，且=2，则|=( )ABC1D考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：由|+|=1，且=2，直接代入即有|2+|=1，再由向量的模的性质，即可得到所求的模解答：解：由|+|=1，且=2，即有|2+|=1，即3|=1，即有|=故选B点评：本题考查向量共线和向量的模的求法，考查运算能力，属于基础题4已知an为等差数列，若a1
3、+a5+a9=，则cos（a2+a8）的值为( )ABCD考点：数列的应用 专题：计算题分析：先利用等差数列的性质求出a5=，进而有a2+a8=，再代入所求即可解答：解：因为an为等差数列，且a1+a5+a9=，由等差数列的性质；所以有a5=，所以a2+a8=，故cos（a2+a8）=故选 A点评：本题是对等差数列性质以及三角函数值的考查这一类型题，考查的都是基本功，是基础题5如图所示，程序框图的输出结果为( )ABCD考点：程序框图 专题：图表型分析：根据直到型循环结构的程序框图，依次求出第一次，第二次，的运行结构，当n满足n4时输出S所求即可解答：解：由程序框图得：第一次运行S=0+=，n
4、=4；第二次运行S=+=，n=6；满足n4，结束运行，输出S=故选：A点评：本题是直到型循环结构的程序框图，解题的关键是读懂程序框图6某产品在某零售摊位上的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：x16171819y50344131由上表，可得回归直线方程中的=4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为( )A48个B49个C50个D51个考点：线性回归方程 专题：应用题分析：计算平均数，利用b=4，可求a的值，即可求得回归直线方程，从而可预报单价为15元时的销量；解答：解：=17.5，=39b=4，=bx+aa=39+417.5=109回归直线方程为 =
5、4x+109x=15时，=415+109=49件；故选B点评：本题主要考查回归分析，考查运算能力、应用意识，属于中档题7过原点且倾斜角为60的直线被圆x2+y24y=0所截得的弦长为( )AB2CD2考点：直线的倾斜角；直线和圆的方程的应用 专题：计算题分析：本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y24y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解解答：解：将圆x2+y24y=0的方程可以转化为：x2+（y2）2=4，即圆的圆心为A（0，2），半径为R=2，A到直线ON的
6、距离，即弦心距为1，ON=，弦长2，故选D点评：要求圆到割线的距离，即弦心距，我们最常用的性质是：半径、半弦长（BE）、弦心距（OE）构成直角三角形，满足勾股定理，求出半径和半弦长，代入即可求解8如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1，则该几何体外接球的表面积为( )AB3C6D12考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：几何体是一个四棱锥，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面是边长为1的正方形，可以把这个四棱锥看成棱长是1的正方体的一部分，外接球的球心在正方体的对角线上，即在四棱锥的最长的一条棱上，求出球的直径，再求出表面积解答：解：由三视图知，几
7、何体是一个四棱锥，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面是边长为1的正方形，可以把这个四棱锥看成棱长是1的正方体的一部分，根据圆和正方体的对称性知外接球的球心在正方体的对角线上，即在四棱锥的最长的一条棱上，球的直径是=，球的表面积是4=3，故选：B点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体的直观图，考查四棱锥与正方体之间的关系，考查四棱锥的外接球与正方体的关系，本题是一个综合题目9给出下列命题：“若x2，则x3”的否命题；“a（0，+），函数y=ax在定义域内单调递增”的否定；“是函数y=sinx的一个周期”或“2是函数y=sin2x的一个周期”；“x2+y2=0”是“xy=0”的
8、必要条件其中真命题的个数是( )A4B3C2D1考点：命题的真假判断与应用 专题：阅读型；函数的性质及应用；简易逻辑分析：由命题的否命题，即可判断；可举a=1，则为常数函数，即可判断；运用正弦函数的周期公式，即可判断；运用充分必要条件的定义，即可判断解答：解：对于，“若x2，则x3”的否命题为“若x2，则x3”，为真命题；对于，若a=1，则y=1为常数函数，则命题“a（0，+），函数y=ax在定义域内单调递增”为假命题，故其否定为真命题；对于，y=sinx的最小正周期为2，y=sin2x的最小正周期为，则命题“是函数y=sinx的一个周期”或“2是函数y=sin2x的一个周期”为真命题；对于，
9、“x2+y2=0”可推出“xy=0”，反之，不一定推出，故为充分条件，则为假命题则真命题的个数为3故选B点评：本题考查简易逻辑的有关知识，考查命题的否定和否命题的区别，考查充分必要条件和三角函数的周期的求法，考查判断能力，属于基础题和易错题10设0a2，0b1，则双曲线的离心率的概率是( )ABCD考点：双曲线的简单性质；概率的应用 专题：计算题分析：首先根据离心率公式以及c2=b2+a2能够得出2 或2，然后设横轴为a轴，纵轴为b轴，画出0a2，0b1的矩形区域，2 或2表示经过原点的直线斜率k2或k2表示的区域，即可求出概率解答：解：e25 即5又c2=b2+a25 即1+52 或2画一个
10、平面直角坐标系，设横轴为a轴，纵轴为b轴画出0a2，0b1的矩形区域，2 或2表示经过原点的直线斜率k2或k2就是三角形区域所以概率p=选故A点评：本题考查了双曲线的性质以及概率的应用，设横轴为a轴，纵轴为b轴画出0a2，0b1的矩形区域，2 或2的区域是解题的关键，属于中档题11函数f（x）=3sinx的零点个数是( )A1B3C4D5考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：转化为：y=3sin与y=log图象的交点个数，画出图象即可判断解答：解：函数f（x）=3sinx，转化为：y=3sin与y=log图象的交点个数，根据图象判断：有5个交点个数，故选：D点评：本题考查了函数
11、的图象，运用图象解决函数交点个数问题，零点个数问题，属于中档题12已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）f（x）0（其中f（x）是f（x）的导函数）恒成立若a=，b=，c=ef（1），则a，b，c的大小关( )AabcBcabCcbaDacb考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算 专题：导数的综合应用分析：由已知条件，得出构造的新函数是单调增函数，利用单调性判断a，b，c的大小解答：解：令，任意的xR都有f（x）f（x）成立，f（lnx）f（lnx）h（x）0，h（x）在（0，+）上单调递增h（1）h（2）h（e）h（3），又h（1）=，0ba；而c=ef（1）=e=e2h（
12、e）0，abc故选：A点评：如何构造新的函数，要结合题中所给的a，b的结构形式，利用单调性比较大小，是常见的题目本题属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知函数f（x）的定义域为2，3，则f（x1）的定义域是1，4考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：题目给出了f（x）的定义域，由x1在f（x）的定义域范围内求解x的取值集合，得函数f（x1）的定义域解答：解：f（x）的定义域为2，3，2x13，得1x4函数f（x1）的定义域为1，4故答案为：1，4点评：本题考查了与抽象函数有关的简单的复合函数定义域的求法，关键是对该类问题求解方法的掌握，是基础题1
13、4设变量x，y满足约束条件，则z=x3y的最小值是8考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：将z=x3y变形为，此式可看作是斜率为，纵截距为的一系列平行直线，当最大时，z最小作出原不等式组表示的平面区域，让直线向此平面区域平移，可探求纵截距的最大值解答：解：由z=x3y，得，此式可看作是斜率为，纵截距为的直线，当最大时，z最小画出直线y=x，x+2y=2，x=2，从而可标出不等式组表示的平面区域，如右图所示由图知，当动直线经过点P时，z最小，此时由，得P（2，2），从而zmin=232=8，即z=x3y的最小值是8故答案为：8点评：本题考查了线性规划的应用，为2015届高考常考的题型
14、，求解此类问题的一般步骤是：（1）作出已知不等式组表示的平面区域；（2）运用化归思想及数形结合思想，将目标函数的最值问题转化为平面中几何量的最值问题处理15已知函数满足f（a1）+f（b3）=0，则a+b=4考点：对数的运算性质 专题：函数的性质及应用分析：由已知得f（x）+f（x）=0，从而得到a1=3b，由此能求出a+b=4解答：解：函数，f（x）=ln（x+）=ln=ln（x+）=f（x），f（x）+f（x）=0，f（a1）+f（b3）=0，a1=3b，a+b=4故答案为：4点评：本题考查两个实数之和的求法，是基础题，解题时要注意函数的奇偶性的合理运用16已知抛物线的方程是y2=2px（
15、p0），其焦点是F，ABC的顶点都在抛物线上，直线AB，AC，BC斜率存在且满足=，则=0考点：抛物线的简单性质 专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由+=，可得ABC的重心是F，从而y1+y2+y3=0，利用斜率公式，即可求得结论解答：解：设A、B、C三点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1=，x2=，x3=则+=，ABC的重心是F，抛物线y2=2px的焦点F的坐标为F（，0），y1+y2+y3=0，=+=0故答案为：0点评：本题主要考查抛物线的性质，同时考查向量知识的运用，运用斜率公式和三角形的重心是解题的关键，属于中档题三、解答题（本大题共
16、6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17设公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，且满足S5=3a52，a1，a2，a5依次成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=（nN*），求数列bn的前n项和为Tn考点：数列的求和；等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式和前n项和公式及等比数列性质，得5a1+10d=3（a1+4d）2，由此求出a1=1，d=2，从而能求出数列an的通项公式（2）由bn=，利用裂项求和法能求出数列bn的前n项和为Tn解答：解：（1）设等差数列an的公差这d，则S5=5a1+10d，5a1+10d=
17、3（a1+4d）2，整理，得a1=d1，a1，a2，a5依次成等比数列，即，整理，得d=2a1，解得a1=1，d=2，an=2n1（2）bn=，Tn=（1）=点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用18已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足c=asinCccosA（1）求A的大小；（2）若a=，求ABC面积的最大值考点：余弦定理；正弦定理 专题：综合题；解三角形分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，由C为三角形的内角，得到sinC不为0，等式左右两边同时除以sinC，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的
18、三角函数值化简，根据A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数（2）由余弦定理和已知可解得bc9，从而可求ABC面积的最大值解答：解：（1）利用正弦定理 化简已知等式得：sinC=sinAsinCsinCcosA，C为三角形的内角，即sinC0，sinAcosA=1，即sin（A）=，又A为三角形的内角，A=，则A=（2）由余弦定理，可得：a2=9=b2+c22bccos=b2+c2bc2bcbc=bc即bc9，所以SABC=bcsinA=点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题19如图，已
19、知四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BC平面PAB，PAAB，M为PB的中点，PA=AD=2，AB=1（1）求证：PD平面ACM；（2）求点A到平面MBC的距离考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）连结BD，设BD与AC交于点O，连结OM，利用中位线定理及线面平行的判定定理即可；（2）通过线面垂直的判定定理可得PA平面ABCD，取AB的中点F，连结MF，设点A到平面MBC的距离为h，利用VAMBC=VMABC，计算即可解答：（1）证明：连结BD，设BD与AC交于点O，连结OM，四边形ABCD是平行四边形，点O为BD的中点，M为PB的
20、中点，OM为PBD的中位线，OMPD，OM平面ACM，PD平面ACM，PD平面ACM；（2）解：BC平面PAB，ADBC，AD平面PAB，PAAD，PAAB，且ABAD=A，PA平面ABCD，取AB的中点F，连结MF，则MFPA，MF平面ABCD，且MF=PA=1，设点A到平面MBC的距离为h，由VAMBC=VMABC，得=，h=点评：本题考查直线与平面平行的判定，点到面的距离，棱锥体积公式，考查空间想象能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题20国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”，方案要求以学校为单位组织实施，某校对2014-2015学年高一1班同
21、学按照“国家学生体质健康数据测试”项目按百分制进行了测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若90100分数段的人数为2人（I）请求出7080分数段的人数；（II）现根据测试成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、第五组）中任意选出两人，形成搭档小组若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“搭档组”，试求选出的两人为“搭档组”的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（I）根据频率分布直方图可知，各个小组的频率，求出参加测试而定总人数，7080（分）数段的频率，即可求出人数（II）本题是一个等可能事件的概率
22、，可以列举出从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法，满足条件的事件是两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，根据等可能事件的概率公式得到结果解答：解：（）由频率分布直方图可知：5060（分）的频率为0.1，6070（分）的频率为0.25，8090（分）的频率为0.15，90100分的频率为0.05；7080（分）的频率为10.10.250.150.05=0.45，90100分数段的人数为2人，频率为0.05；参加测试的总人数为人7080（分）数段的人数为400.45=18（）参加测试的总人数为人，5060（分）数段的人数为400.1=4人设第一组5060（
23、分）数段的同学为A1，A2，A3，A4；第五组90100分数段的同学为B1，B2，则从中选出两人的选法有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共15种；其中两人成绩差大于20的选法有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共8种；则选出的两人为“搭档组”的概率为P=点评：本题考查用样本的频率分布估计总体的频率
24、分布，考查等可能事件的概率，考查用列举法来数出事件数，这是一个概率与统计的综合题目21已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B的坐标为（0，1），离心率等于斜率为1的直线l与椭圆C交于M，N两点（1）求椭圆C的方程；（2）问椭圆C的右焦点F是否可以为BMN的重心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专题：计算题；综合题分析：（1）由题意知b=1，由此能够导出椭圆C的方程（2）假设椭圆C的右焦点F可以为BMN的重心，设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y得3x2+4mx+2m22=0，利用三角形的重心公式可求解答：解：
25、（1）设椭圆C的方程为 ，则由题意知b=1即 a2=2椭圆C的方程为 ；（2）假设椭圆C的右焦点F可以为BMN的重心，设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y得3x2+4mx+2m22=0由=248m20得m23设M（x1，y1），N（x2，y2），F（1，0），不满足m23故直线l方程不存在点评：本题以椭圆的几何性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，关键是联立方程，利用韦达定理求解22已知函数f（x）=+alnx，其中a为实常数（1）求f（x）的极值；（2）若对任意x1，x21，3，且x1x2，恒有|f（x1）f（x2）|成立，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的
26、极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题；导数的综合应用分析：（1）f（x）的定义域为（0，+），求导，由导数的正负确定函数的单调性及极值；（2）恒成立可化为对x1，x21，3，x1x2恒成立，从而可得在1，3递增，在1，3递减；从而化为导数的正负问题解答：解：（1）由已知f（x）的定义域为（0，+），当a0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；当时，f（x）有极小值aalna，无极大值；当a0时，f（x）在（0，+）递减，f（x）无极值；（2）恒成立，对x1，x21，3，x1x2恒成立；即对x1，x21，3，x1x2恒成立；在1，3递增，在1，3递减；从而有对x1，3恒成立；点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的转化与应用，属于难题