1、宁夏固原市五原中学补习部2021届高三数学上学期期中试题 理（含解析）一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算集合和，再计算交集得到答案.【详解】，故.故选：C.2. 设，则函数的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理，即可得出结论.【详解】在单调递增，且，根据零点存在性定理，得存在唯一的零点在区间上.故选：B【点睛】本题考查判断函数零点所在区间，结合零点存在性定理的应用，属于基础题.3. 将
2、函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】将函数y=sin(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin(x)，再向左平移个单位得到的解析式为y=sin(（x+）)= y=sin(x)，故选C4. 若是函数的极值点，则的极小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题可得，因为，所以，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A【名师点睛】（1）可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f (x0)0
3、，且在x0左侧与右侧f (x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值5. 高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，得到函数图像过原点，再根据鱼缸的形状，得到随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，即可求解.【详解】根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C；
4、再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的使用应用问题，其中解答中根据水缸的形状，得到函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题目条件，针对各选项分别进行讨论,从而求出答案.【详解】A. 因为，所以，当时，故A错误；B 若，所以，故B错误；C. 因为，所以，故C错误；D. 因为，所以，所以，故D正确.故选：D.【点睛】本题主要考查不等式的性质，根据题目条件化简得出结论，当然也可以使用特殊值的方法，本
5、题属于常考题.7. 设，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果详解：.,即又即故选B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题8. 已知定义在上的奇函数满足：当时，.若不等式对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由是上的奇函数，并结合当时，可得的解析式，进而判断其单调性，可将不等式转化为对任意恒成立，进而可求得实数m的取值范围.【详解】由题意知，时，则，因为是上奇函数，所以，所以当时，.因为函数为上的减函数，所以为上的增函数，故为上的增函数，由，可得，即对任意恒成立，当时，不等式
6、可化为，显然不符合题意，所以，可得，解得.故选：A.【点睛】本题考查奇函数的性质，考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.9. 已知函数且，则下列结论中，一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意可画出函数图像，由图像可知要使得，且，则有，由，从而得到答案.【详解】作出函数的图象，如图，且，结合图象知，又，故选：.【点睛】本题考查指数型函数的单调性；函数图像的应用.10. 若函数的两个零点分别在区间和区间内，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用零点存在定理进行列不等式方程组，进
7、而求解即可【详解】函数的两个零点，根据题意有，解得故选：C11. 函数的部分图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】考查函数的定义域、在上的函数值符号，可得出正确选项.【详解】对于函数，解得且，该函数的定义域为，排除B、D选项.当时，则，此时，故选A.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点、函数值符号进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12. 已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论错误的是（ ）.A. 函数在上为单调递增函数B. 是函数的极小值点C. 时，不等式恒成立D. 函数至多有两个零点【答案】C【解
8、析】【分析】由，利用导数求出函数的单调区间以及函数的极值，根据单调性、极值判断每个选项，从而可得结论【详解】，则，时，故在递增，正确；时，故在递减，故是函数的极小值点，故正确；若（2），则有2个零点，若（2），则函数有1个零点，若（2），则函数没有零点，故正确；由在递减，则在递减，由，得时，故，故，故错误；故选：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、零点问题，考查了构造函数法的应用，是一道综合题二填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分.)13. 已知，则曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】求出导函数，令，求出，从而求出函数表达式以及导函数表达式，求出以及，再利用导
9、数的几何意义以及点斜式方程即可求解.【详解】由，则，当时，解得，所以，即，所以曲线在点处的切线方程为：，即为.故答案为：【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.14. 已知(e为自然对数的底数),则_.【答案】【解析】因为，所以15. 奇函数满足，当时，若，则_.【答案】【解析】分析】根据题中条件，先得到函数的周期，再由求出，进而可求出结果.【详解】由于函数为奇函数，且，即，所以，函数是以为周期的奇函数，解得.，.因此，.故答案为：.【点睛】本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，属于常考题型.16. 定义：如果在函数yf(x)定义域内给定区间a，b上
10、存在x0(ax0b)，满足f(x0)，则称函数yf(x)是a，b上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如yx4是1,1上的平均值函数，0就是它的均值点现有函数f(x)x2mx1是1,1上的平均值函数，则实数m的取值范围是_【答案】(0,2)【解析】【分析】设x0为均值点，由已知可得：关于x0的方程f(x0)有实数根，整理求得：x01或x0m1，结合题意列不等式可得：1m11，问题得解.【详解】因为函数f(x)x2mx1是1,1上的平均值函数，设x0为均值点，所以mf(x0)，即关于x0的方程mx01m在(1,1)内有实数根，解方程得x01或x0m1.所以必有1m11，即0m2，所以实数m的
11、取值范围是(0,2).【点睛】本题主要考查了新概念知识的理解及方程思思，还考查了转化能力及计算能力，属于难题三解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.)17. 已知函数在处取得极大值9.（1）求，的值；（2）求函数在区间上的最值.【答案】(1) .(2) 函数在区间上的最大值为9，最小值为.【解析】分析：（I）首先求解导函数，然后结合，可得.（II）由（I）得，结合导函数研究函数的单调性和最值可知函数在区间上的最大值为9，最小值为.详解：（I）依题意得，即，解得.经检验，上述结果满足题意.（II）由（I）得，令，得；令，得，的单调递增区间为和，的单调递增区间是
12、，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.点睛：(1)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值18. 对于函数,若存在实数,使=成立,则称为的不动点.（1）当时,求的不动点；（2）若对于任意实数,函数恒有两个不相同的不动点,求的取值范围【答案】（1）和2；（2）（0,2）【解析】【分析】（1）把，的值代入方程，解出方程即可得的不动点；（2）根据方程有两解可得，将其看成关于的二次函数，根据即可得结果.【详解】由题义 整理得,
13、解方程得即的不动点为-1和2由=得如此方程有两解,则有= 把看作是关于的二次函数,则有 ，解得即为所求.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，考查了新定义问题，考查了转化思想，将“”看成自变量是解题的关键，是一道中档题19. 某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米（1）分别用表示和的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使取得最大值，并求出最大值【答案】（1
14、），其定义域是（2）设计，时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米【解析】【分析】（1）总面积为，且，则，（其中，从而运动场占地面积为，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的的值【详解】解：（1）由已知，其定义域是，其定义域是（2），当且仅当，即时，上述不等式等号成立，此时，答：设计，时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米【点睛】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题20. 已知函数f（x）=2sinxxcosxx，f（x）为f（x）的导数（1）证明：f（x）在区间（0，）存
15、在唯一零点；（2）若x0，时，f（x）ax，求a的取值范围【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求导得到导函数后，设为进行再次求导，可判断出当时，当时，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围.【详解】（1）令，则当时，令，解得：当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减又，即当时，此时无零点，即无零点 ，使得又在上单调递减 为，即在上的唯一零点综上所述：在区间存在唯一零点（2）若时，即恒成立令则，由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减且，当
16、时，即在上恒成立在上单调递增，即，此时恒成立当时，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，即恒成立当时，使得在上单调递减，在上单调递增时，可知不恒成立当时，在上单调递减 可知不恒成立综上所述：【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.21. 已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围.【答案】(1) f(x)在上单调
17、递减，在区间上单调递增.【解析】【分析】(1)求f(x)的导函数为f(x)(2exa)(exa)，通过讨论a，求函数的单调区间即可. (2)因为f(x)0，所以即求f(x)的最小值大于等于0，由第(1)的结果求的f(x)的最小值，解关于a的不等式即可求出a的范围.【详解】(1)函数f(x)的定义域为(，)，且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增.若a0，则由f(x)0，得xln.当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.(2)当a0时，f(x)e2x0恒成立.若aa时，f(x)0.综上a的取值范围是，0.【点睛
18、】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想和学生的计算能力，属于中档题.22. 若以直角坐标系的为极点，为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程是.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线的参数方程为(为参数)，当直线与曲线相交于，两点，求.【答案】（1）曲线的直角坐标系方程为，曲线为以为焦点，开口向右的抛物线；（2）.【解析】【分析】（1）运用极坐标与直角坐标之间的关系将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再依据圆锥曲线的标准方程的特征进行判断；（2）将直线的参数方程代入曲线方程，运用直线参数方程中的
19、参数的几何意义进行求解.【详解】（1），曲线的直角坐标系方程为，曲线为以为焦点，开口向右的抛物线.（2）直线的参数方程可化为，代入得.则，因为在直线上，所以， .【点睛】本题关键点是熟练掌握极坐标方程和普通方程的转化公式；熟练利用直线参数方程中的参数的几何意义进行求解.23. 设，且.（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或.【答案】(1) ；(2)见详解.【解析】【分析】(1)根据条件，和柯西不等式得到，再讨论是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的代入原不等式，便可得到参数的取值范围.【详解】(1) 故等号成立当且仅当而又因，解得时等号成立所以的最小值为.(2)因为，所以.根据柯西不等式等号成立条件，当，即时有成立.所以成立，所以有或.【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.
