1、3双曲线31双曲线及其标准方程知识点一双曲线的定义 填一填我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距答一答1定义中为何规定到定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数，且该常数的值大于零且小于|F1F2|?提示：设该距离之差的绝对值为2a，当2a|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线故只有当到定点F1，F2的距离之差的绝对值大于零且小于|F1F2|时，动点的轨迹才是双
2、曲线2双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离之差的绝对值为常数，若没有“绝对值”，则动点的轨迹是什么？提示：若没有“绝对值”，则动点的轨迹是双曲线的一支若设动点为点M，则当|MF1|MF2|2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的双曲线的一支；当|MF1|MF2|2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的双曲线的一支知识点二双曲线的标准方程 填一填(1)如果焦点F1，F2在x轴上，双曲线的标准方程为1(a0，b0)，其焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0)，其中c2a2b2.(2)如果焦点F1，F2在y轴上，双曲线的标准方程为1(a0，b0)，其焦点坐标为F1(0，c)，F2(0，c)，其中c2a2b
3、2.答一答若方程1为双曲线的方程，则m，n满足什么条件？能否断定此时焦点在x轴上？为什么？提示：若方程1为双曲线的方程，则应满足mn0.不能，当m0，n0时，焦点在x轴上，当m0，n|MF2|，|MF1|MF2|2a(a0)；若M在双曲线的左支上，则|MF1|0)，因此得到，|MF1|MF2|2a.这与椭圆的定义中|MF1|MF2|2a是不同的2双曲线的标准方程的几个注意点：(1)双曲线的方程是与选择的坐标系有关的，选择的坐标系不同，则方程形式也不同，当且仅当以双曲线的两对称轴为坐标轴时的方程才称为标准方程(2)当焦点在x轴上时，方程中的含x2项的系数为正；焦点在y轴上时，方程中的含y2项的系
4、数为正反之，可以根据标准方程中含x2项，含y2项的正负来判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上(3)双曲线方程的a，b的大小关系是不确定的，可大、可小，也可相等但必有ca0，cb0.(4)双曲线与椭圆的比较：题型一双曲线定义的应用【例1】(1)若椭圆1(mn0)和双曲线1(a0，b0)有相同的左、右焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值是()Ama B.(ma)Cm2a2 D.(2)双曲线1上一点P到左焦点F1的距离|PF1|10，求点P到右焦点F2的距离|PF2|.【思路探究】点P在双曲线上，点P满足双曲线定义中的条件【解析】(1)利用椭圆和双曲线的定义列出关于|PF
5、1|，|PF2|的方程组，分别求出|PF1|，|PF2|的值，从而得到|PF1|PF2|的值由椭圆和双曲线的对称性可知，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得解得|PF1|PF2|ma，故选A.(2)解：由题意知，a3，点P在双曲线上，由题意可得|PF1|PF2|2a6.|10|PF2|6，解之得|PF2|4，或|PF2|16.【答案】(1)A(2)见解析(1)已知双曲线1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为9.解析：设|PF1|3，则有|PF2|PF1|6，即|PF2|3|6，|PF2|9或|PF2|3(舍去)，即点P到另一个焦点的距离为9.(2)如图，双曲
6、线1(a0，b0)，过焦点F1的弦AB(A，B在双曲线的同支上)长为m，另一焦点为F2，求ABF2的周长解：|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|2a，(|AF2|AF1|)(|BF2|BF1|)4a，又|AF1|BF1|AB|m，|AF2|BF2|4a(|AF1|BF1|)4am.ABF2的周长等于|AF2|BF2|AB|4a2m.题型二求双曲线的标准方程【例2】根据下列条件求双曲线的标准方程(1)求以椭圆1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M(1,1)，N(2,5)两点，求双曲线的标准方程【思路探究】用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方
7、程，根据条件确定参数当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解【解】(1)方法1：(待定系数法)由题意知双曲线的两焦点F1(0，3)，F2(0,3)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，将点A(4，5)代入双曲线方程得1，又a2b29，解得a25，b24.双曲线的标准方程为1.方法2：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，3)，F2(0,3)且A(4，5)在双曲线上，则2a|AF1|AF2|2，a，b2c2a2954.即双曲线的标准方程为1.(2)方法1：若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)因为M(1,1)，N(2,5)在双曲线上，所以解得若焦
8、点在y轴上，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)同理有解得(不合题意，舍去)所以所求双曲线的标准方程为1.方法2：设所求双曲线的方程为mx2ny21(mn0，b0)因为点(4，2)和(2，2)在双曲线上，所以解得故所求双曲线的标准方程为1.(2)因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程可设为1(a0，b0)由a2，点(2，5)在双曲线上，可得解得b216.故所求双曲线的标准方程为1.(3)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c2.设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由点(3，)在双曲线上，则有解得故所求双曲线的标准方程为1.(4)可设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)点A(2，)，B
9、(3，2)在双曲线上，解得故所求双曲线的标准方程为1.题型三双曲线型轨迹方程的求法【例3】已知定点A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过点A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程【思路探究】寻找动点F的几何等量关系式，由双曲线的定义即得其轨迹方程【解】设点F(x，y)为轨迹上的任一点，因为A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，所以|FA|CA|2a，|FB|CB|2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，所以|FA|CA|FB|CB|，所以|FA|FB|CB|CA|2|AB|，即|FA|FB|2.由双曲线的定义知，点F在以A，B为焦点的双曲线的下支上，且2a2，c7，b248，所以点
10、F的轨迹方程是y21(y1)规律方法 解决与双曲线有关的轨迹问题时，其关键是寻找动点满足的几何等量关系式，利用双曲线的定义得其轨迹，由已知条件确定基本量即得轨迹方程解题时要注意几何等量关系式中是否含有绝对值，从而正确判断其轨迹，此外还要注意所求轨迹上是否有不能取到的点已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程解：如图，设动圆M的半径为r，圆C1与圆C2的半径均为.由已知条件得|MC1|r，|MC2|r，|MC1|MC2|2.C1(4,0)，C2(4,0)，|C1C2|8，2|C1C2|.根据双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1(4,0)，C2
11、(4,0)为焦点的双曲线的右支a，c4，b2c2a214，点M的轨迹方程是1(x)题型四双曲线方程的实际应用【例4】一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s已知A，B两地相距800 m，并且此时的声速为340 m/s，求炮弹爆炸点所在曲线的方程【思路探究】由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离差，并且此距离差小于A，B两地距离，因此，爆炸点应位于以A，B为焦点的双曲线上因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上【解】如图所示，建立直角坐标系，使A，B两点在x轴上，并且原点O为线段AB的中点设爆炸点P的坐标为(x，y)，则|PA|PB
12、|3402680，即2a680，a340.又|AB|2c800，c400.b2c2a244 400.所求曲线的方程为1(x340)规律方法 利用两个不同观测点，测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在双曲线的方程，但不能确定爆炸点的位置如果再增设一个观测点C，利用A，B两处测得爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定出爆炸点的准确位置，这也是双曲线的一个重要应用对此问题如感兴趣不妨一试！如图所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA100 m，BP150 m，BC60 m，APB60，能否在田中确
13、定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程解：能田地ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA或PB送肥一样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹设M是界线上的任一点，则|PA|MA|PB|MB|，即|MA|MB|PB|PA|50(定值)，故所求界线是以A、B为焦点的双曲线一支若以直线AB为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系，如图则所求双曲线为1，其中a25，2c|AB|50.c25，b2c2a23 750.因此，双曲线方程为1(25x35，y0)，即为所求界线的
14、方程易错警示双曲线定义的错误应用【例5】设F1，F2是双曲线1的焦点，点P在双曲线上若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离【误解1】双曲线的实轴长为8，由|PF1|PF2|8，即9|PF2|8，所以|PF2|1.【误解2】双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得|PF1|PF2|8，所以|9|PF2|8，所以|PF2|1或17.【正解】双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得|PF1|PF2|8，所以|9|PF2|8，所以|PF2|1或17.因为|F1F2|12，当|PF2|1时，|PF1|PF2|103或k3时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；当即k3或k0，b0)，则有解得a21，b2
15、4，故所求双曲线方程为x21.3若1表示双曲线，则的取值范围是21，焦点坐标为(1,0)，(1,0)解析：由方程1表示双曲线得，(2)(1)0，20,10.a22，b21，c2a2b2211.焦点坐标为(1,0)，(1,0)4在双曲线1上任取一点P，与双曲线两焦点F1，F2构成PF1F2，求PF1F2的内切圆与边F1F2切点的坐标解：如图所示，M，N，Q是切点，由已知得a4，b3，c5.根据圆的切线长定理及双曲线定义可得|NF2|MF2|，|PM|PQ|，|QF1|F1N|，|NF2|MF2|PF2|F1F2|PM|F1N|，2|NF2|PF2|PF1|F1F2|.|NF2|(810)9，|ON|NF2|OF2|4.切点N的坐标为(4,0)，根据对称性，当P在双曲线右支时，切点N的坐标为(4,0)即所求切点坐标为(4,0)或(4,0)
