1、第 讲 2集合的运算第一章 集合与简易逻辑 考点搜索集合的交、并、补集的概念及性质高考考点猜想1.运用交、并、补集的运算法则进行计算.2.用韦恩图解答有关集合问题.1.集合A与集合B的交集可表示为;集合A与集合B的并集可表示为;若U为全集，则集合A的补集可表示为;AB=A;AB=A;CU(AB)=;CU(AB)=.AB=x|xA且xBAB=x|xA或xBCUA=x|xU且xAABBACUA)(CUB)(CUA)(CUB)2.如果用card(A)、card(B)分别表示集 合 A 与 集 合 B 的 元 素 个 数，那 么card(AB)=.card(A)+card(B)-card(AB)1已知
2、全集U=R，集合M=x|x-1|2，则UM=(C)A.x|-1x3 B.x|-1x3C.x|x3 D.x|x-1或x3据已知可得M=x|-1x3，结合数轴易得UM=x|x3A2.设 U=1,2,3,4,5，且 AU,BU,AB=2,(CUA)B=4，CUACUB=1,5，则下列结论正确的是()A.3A,3BB.3 CUA,3BC.3A,3CUBD.3CUA,3CUBU=1,2,3,4,5,且AU,BU,AB=2,(CUA)B=4,CUACUB=1,5B=(AB)(CUA)B=2,4,CUA=(CUA)B(CUA CUB)=1,4,5A=2,3,故选C.答案：C3 设 全 集 U=(x,y)|x
3、R,yR，集 合M=(x,y)|，P=(x,y)|yx+1,那么CU(MP)等于()A.B.(2,3)C.(2,3)D.(x,y)|y=x+132yx1M=(x,y)|=(x,y)|y=x+1且x2，P=(x,y)|yx+1，所以CU(MP)=(2,3),故选B.32yx1B题型一：集合的交、并、补集的运算设集合A=x|x2-2x+2m+4=0,B=x|x 0 x1x2=2m+40，解得-2m ,所以M=m|-2m .设全集U=m|0=m|m ,所以实数m的取值范围是CUM=m|m0，则由二次函数性质知AB等价于f(0)0，解得m-2,所以实数m的取值范围是(-,-2).点评：本题求解关键是准
4、确理解AB 的具体意义，首先要从数学意义上解释AB 的意义，然后才能提出解决问题的具体方法.在解法3中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单.设R为全集，集合A=m|关于x的方程mx2-x-1=0有实根，B=n|关于x的方程x2-x+n=0有实根，求(CRA)B.因为方程mx2-x-1=0有实根，所以 m=0或m01+4m0，得m ，所以A=，+)，从而CRA=(-，).同样可得B=(-，所以(CRA)B=(-，).1414141414题型二：韦恩图的应用2.设全集U=不大于20的质数，已知A CUB=3，5，(CUA)B=7，11，(CUA)(CUB)=2，17，求集合A
5、、B.由题设U=2，3，5，7，11，13，17，19，由已知条件结合韦恩图，得右图.其中AB=13，19，所以A=3，5，13，19，B=7，11，13，19.点评：韦恩图是表示集合的一种图形法.在韦恩图中，图形中符号的含义是：矩形内部的点表示全集中的所有元素；矩形内的圆(或其他闭曲线)表示不同的集合；圆(或闭曲线)内部的点表示相应集合中的元素.由于其形象直观，易于理解而用来解决一些集合问题.设I为全集，BCIA=B，则AB为()A.AB.BC.CIBD.如图所示，由BCIA=B 可得，BCIA，所以AB=.故选D.题型三：集合运算中的参数的取值范围问题3.设集合A=x|x2+3x+20，B
6、=x|mx2-4x+m+30，若AB=，且AB=A，求实数m的取值范围.因为AB=A，所以BA，从而AB=B，又AB=，所以B=.所以不等式mx2-4x+m+30无解，即对一切xR，mx2-4x+m+30恒成立.所以m0，且=16-4m(m+3)0，即m0且m2+3m-40，得m-4.故实数m的取值范围是(-，-4.点评：求参变量的取值范围，关键是根据条件得到参变量的不等式(组)，然后由不等式(组)求得.由集合间的包含关系转化为相应不等式时，一是注意集合边界值之间的大小关系的比较，二是注意不要忽略空集.已知集合A=x|x2-x-60，B=x|x2+2x-80，C=x|x2-4ax+3a20，若
7、ABC，求实数a的取值范围.由已知A=x|-2x3，B=x|x-4或x2，所以AB=x|2x3.又因为C=x|(x-a)(x-3a)0，当a0时，C=x|ax3a.因为ABC，所以 a23a3，解得1a2.当a=0时，C=，此时ABC.当a0时，C=x|3axa，此时，ABC不成立.综上所述，a的取值范围是1，2.题型 抽象集合问题1.若集合A、B、C满足AB=AC，则可推得()A.B=CB.AB=ACC.A(CUA)B=(CUA)CD.(CUA)B=(CUA)C参考题由AB=AC可推得B与C与“集合A外”的元素相同.设xB且xA，则xAB，所以xAC，又xA，所以xC.同理，当yAC且yA时
8、，有yB，所以B与C在“A外”的元素相同，故(CUA)B=(CUA)C，故选D.答案：D题型 集合中的分类讨论问题2.若集合A1、A2满足A1A2=A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A=1，2，3的不同分拆种数是()A.27 B.26C.9 D.8A1=时，A2=1，2，3，只有1种分拆;A1是单元素集时(有3种可能)，则A2必须至少包含除该元素之外的两个元素，也可能包含 3个元素，有两类情况(如A1=1时，A2=2，3或A2=1，2，3)，这样A1是单元素集时的分拆有6种；A1是两个元素的集合时(
9、有3种可能)，则A2必须至少包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包含A1中的1个或2个元素(如A1=1，2时，A2=3或A2=1，3或A2=2，3或A2=1，2，3)，这样A1是两个元素的集合时的分拆有12种；A1是三个元素的集合时(只有1种)，则A2可能包含0，1，2或3个元素(即A1=1，2，3时，A2可以是集合1，2，3的任意一个子集)，这样，A1=1，2，3时的分拆有23=8种.所以集合A=1，2，3的不同分拆的种数是1+6+12+8=27，选A.答案：A1.处理集合的交、并、补运算题时，数形结合(例如韦恩图、数轴)是常用的有效方法.利用此法较简捷、直观，应强化这方面的意识培养.2.处理集合之间的关系时，忽 视，但 又 经 常 遗 漏 的 情 况，如 AB，AB=B，AB=A等，集合A可以是空集，也可以是非空集合，应当分两种情况加以讨论.