1、考点规范练43点与直线、两条直线的位置关系一、非标准1.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()A.B.C.D.2.若直线ax+y+5=0与x-2y+7=0垂直,则a的值为()A.2B.C.-2D.-3.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是()A.1B.2C.D.44.(2022广东惠州二调)“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M,N两点,且MN的中点是P(1,-1),则直线l的
2、斜率是()A.-B.C.-D.6.平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,D点在直线3x-y+1=0上移动,则B点的轨迹方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=07.已知直线l的倾斜角为,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b=.8.经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程为.9.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m
3、分别为何值时,l1与l2:(1)相交?(2)平行?(3)垂直?10.(1)求点A(3,2)关于点B(-3,4)的对称点C的坐标;(2)求直线3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l的方程;(3)求点A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点的坐标.11.点P到点A(1,0)和直线x=-1的距离相等,且P到直线y=x的距离等于,这样的点P共有()A.1个B.2个C.3个D.4个12.(2022湖北八市3月联考)已知M=,N=(x,y)|ax+2y+a=0,且MN=,则a=()A.-6或-2B.-6C.2或-6D.-213.在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P为边AB上异于A
4、,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过ABC的重心,则AP等于()A.2B.1C.D.14.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心,依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC的顶点A(2,0),B(0,4),若其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标是.15.过点P(3,0)作一直线l,使它被两直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0所截的线段AB以P为中点,求此直线l的方程.16.(1)在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之
5、差最大;(2)在直线l:3x-y-1=0上求一点Q,使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.#一、非标准1.C解析:d=.2.A解析:两直线垂直,a1+1(-2)=a-2=0.a=2.3.B解析:由直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行可得,则m=8,直线6x+8y+14=0可化为3x+4y+7=0.故d=2.4.A解析:由题意可知解得a=-2或a=1,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与l2:x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件,故选A.5.A解析:由题意,可设直线l的方程为y=k(x-1)-1,分别与y=1,x-y-7=0联立解得M,N.又因为M
6、N的中点是P(1,-1),所以由中点坐标公式得k=-.6.A解析:设AC的中点为O,则.设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),即D(x0,y0),则由3x0-y0+1=0得3x-y-20=0.7.-2解析:l的斜率为-1,则l1的斜率为1,kAB=1,a=0.由l1l2,得-=1,b=-2,a+b=-2.8.5x+3y-1=0解析:先解方程组得l1,l2的交点(-1,2),再由l3的斜率为知l的斜率为-.于是由直线的点斜式方程求得l:y-2=-(x+1),即5x+3y-1=0.9.解:(1)当m=-5时,显然l1与l2相交但不垂直;当m-5时,两直线l1和l2的斜率分别为k1=-,k
7、2=-,它们在y轴上的截距分别为b1=,b2=.由k1k2,得-,即m-7且m-1.则当m-7且m-1时,l1与l2相交.(2)由得得m=-7.则当m=-7时,l1与l2平行.(3)由k1k2=-1,得=-1,m=-.则当m=-时,l1与l2垂直.10.解:(1)设C(x,y),由中点坐标公式得解得故所求的对称点的坐标为C(-9,6).(2)设直线l上任一点为(x,y),它关于点P(2,-1)的对称点(4-x,-2-y)在直线3x-y-4=0上,则3(4-x)-(-2-y)-4=0.即3x-y-10=0.故所求直线l的方程为3x-y-10=0.(3)设B(a,b)是A(2,2)关于直线2x-4
8、y+9=0的对称点,根据直线AB与已知直线垂直,且线段AB的中点在已知直线2x-4y+9=0上,则有解得故所求的对称点的坐标为(1,4).11.C解析:设P(x,y),由题意知=|x+1|且,所以或解得有两根,有一根.12.A解析:集合M表示去掉一点A(2,3)的直线3x-y-3=0,集合N表示恒过定点B(-1,0)的直线ax+2y+a=0,因为MN=,所以两直线要么平行,要么直线ax+2y+a=0与直线3x-y-3=0相交于点A(2,3).因此=3或2a+6+a=0,即a=-6或a=-2.13.D解析:以A为原点,AB为x轴,AC为y轴建立直角坐标系如图所示.则A(0,0),B(4,0),C
9、(0,4).设ABC的重心为D(x,y),则故点D坐标为.设点P坐标为(m,0),则点P关于y轴的对称点P1为(-m,0),因为直线BC方程为x+y-4=0,所以点P关于BC的对称点P2为(4,4-m),根据光线反射原理,P1,P2均在QR所在直线上,则,即,解得m=或m=0.当m=0时,P点与A点重合,故舍去.故m=.14.(-4,0)解析:AB的中点坐标为(1,2),线段AB的垂直平分线方程为y=x+,将其与欧拉线方程联立,解得外心(-1,1).设C(a,b),则重心,有+2=与(a+1)2+(b-1)2=(2+1)2+(0-1)2=10,联立方程得(不合题意,舍去),即C(-4,0).1
10、5.解:设直线l的方程为y=k(x-3),将此方程分别与l1,l2的方程联立,得解之,得xA=和xB=,P(3,0)是线段AB的中点,由xA+xB=6,得=6,解得k=8.故直线l的方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.16.解:(1)如图甲所示,设点B关于l的对称点为B,连接AB并延长交l于点P,此时的P满足|PA|-|PB|的值最大.图甲设B的坐标为(a,b),则kBBkl=-1,即3=-1.整理得a+3b-12=0.又由于线段BB的中点坐标为,且在直线l上,3-1=0,即3a-b-6=0.联立,解得a=3,b=3,B(3,3).于是AB的方程为,即2x+y-9=0.解方程组即l与AB的交点坐标为P(2,5).(2)如图乙所示,设C关于l的对称点为C,连接AC交l于点Q,此时的Q满足|QA|+|QC|的值最小.图乙设C的坐标为(x,y),解得C.由两点式得直线AC的方程为,即19x+17y-93=0.解方程组得所求点Q的坐标为.
