1、高考重点突破课四 概率与统计题型一频率分布直方图例1 某乡镇加大投资建设美丽乡村，大力发展乡村旅游产业，显著提高了农民收入.为了提升旅游质量，打造特色旅游品牌，镇政府聘请有关专家和环保部门工作人员50人，对A，B两个特色旅游村进行评价(满分100分)，并得到A村评价分数(单位：分)的频数分布表和B村评价分数的频率分布直方图，如下：A村评价分数的频数分布表分数60，65)65，70)70，75)75，80)人数25810分数80，85)85，90)90，95)95，100人数14641B村评价分数的频率分布直方图有关专家与环保部门工作人员对旅游村的评价分数的规定如下：分数60，75)75，90)
2、90，100等级级级级等级越高旅游资源开发越好，如级好于级.(1)估计A村评价分数的众数，并求a的值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)从参与评价的50人中随机抽取1人，估计该人对A村评价分数等级比B村评价分数等级高的频率；(3)以评价分数为依据，比较A，B两村旅游产业发展质量情况.解(1)因为A村评价分数频数最多的出现在80，85)，所以估计A村评价分数的众数为82.5(分).由5(0.01220.0200.0242a0.0360.040)1，解得a0.028.(2)设从参与评价的50人中随机抽取1人，该人“对A村评价分数等级为”的事件为A2，“对A村评价分数等级为”的事件为A
3、3；“对B村评价分数等级为”的事件为B1，“对B村评价分数等级为”的事件为B2.由题表可知，P(A2)0.6，P(A3)0.1.由题图可知，P(B1)(0.0120.0200.028)50.3，P(B2)(0.0360.0400.024)50.5.A村评价分数等级比B村评价分数等级高的概率为P(A2B1)P(A3B1)P(A3B2)P(A2)P(B1)P(A3)P(B1)P(A3)P(B2)0.60.30.10.30.10.50.26，所以该人对A村评价分数等级比B村评价分数等级高的概率估计值为0.26.(3)A村评价分数的平均数A62.567.572.577.582.587.592.597.
4、579.3(分).B村评价分数的平均数B50.012(62.597.5)0.02067.50.028(72.592.5)0.03677.50.04082.50.02487.580.4(分).因为AB，所以从评价分数来看，B村旅游产业发展质量要高于A村.感悟提升1.频率分布直方图的性质.(1)小长方形的面积组距频率；(2)各小长方形的面积之和等于1；(3)小长方形的高.2.要理解并记准频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关系.训练1 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小
5、鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).解(1)由已知得0.70a0.200.15，故a0.35，b10.050.150.700.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.1530.2040.3050.2060.1070.054.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为30
6、.0540.1050.1560.3570.2080.156.00.题型二成对数据的统计分析角度1回归方程及其应用例2 下表是国际数据公司(IDC)研究的全球近6年每年数字媒体阅读产生的数据量(单位：ZB)及相关统计量的值：年份201520162017201820192020序号x123456年数据量y7917223443 (xi)2 (zi) (zi)2 (xi)(zi)3.522218141249表中ziln yi，zi.(1)根据上表数据信息判断，方程yc1ec2x(e是自然对数的底数)更适宜作为该公司统计的年数据量y关于年份序号x的回归方程类型，试求此回归方程；(2)根据(1)中的回归方
7、程，预计2024年的全世界数字媒体阅读产生的数据量是2021年的多少倍？并说明理由.(参考数据：e2.718，1.648，结果精确到0.1)参考公式：回归方程x中，斜率最小二乘法公式，.解(1)由yc1ec2x，两边同时取自然对数得ln yln(c1ec2x)ln c1c2x，设zln y，则zln c1c2x.因为3.5，2， (xi)218， (xi)(zi)9，所以2，ln 1220.53.50.25.所以z0.250.5xln y，所以ye0.250.5x.(2)令x7，得1e0.250.57e3.75.令x10，得2e5.25，e1.5e4.5，预计2024年全世界产生的数据规模是2
8、021年的4.5倍.角度2独立性检验例3 (2020新高考全国卷改编)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：g/m3)，得下表：SO2PM2.50，50)150，475合计0，75)64168075，115101020合计7426100依据小概率值0.01的独立性检验，分析该市一天中空气中PM2.5浓度是否和SO2浓度有关？解零假设为H0：该市一天中空气中PM2.5浓度与SO2浓度无关.27.484 46.635x0.01，依据小概率值0.01的独立性检验，可以判断H0不成立，即认为该市一天中空气中PM2.5浓
9、度和SO2浓度有关.感悟提升成对数据的统计分析包括：(1)成对数据的相关性，主要是建立一元线性回归模型；(2)独立性检验：通过计算随机变量2的值，推断两个分类变量是否有关系.训练2 (2022济南模拟)某创新公司在第1个月至第7个月的5G经济收入y(单位：百万元)关于月份x的数据如下表：时间(月份)1234567收入(百万元)611213466101196根据以上数据绘制散点图：(1)根据散点图判断，yaxb与ycdx(a，b，c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)并根据你的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程；(2
10、)请你预测该公司8月份的5G经济收入.参考数据：yivixiyixivi100.45100.5446210.782 71150.122.823.47其中设vlg y，vilg yi.参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(xi，vi)(i1，2，3，n)，其回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.解(1)根据散点图判断，ycdx适宜作为5G经济收入y关于月代码x的回归方程类型.ycdx，两边同时取常用对数得lg ylg(cdx)lg clg dx.设lg yv，vlg clg dx.(1234567)4，vi10.781.54，x12223242526272140，lg 0.25
11、，把样本中心点(4，1.54)代入vlg clg dx，得1.54lg 0.254，lg 0.54，0.540.25x，lg 0.540.25x，y关于x的回归方程为100.540.25x3.47100.25x.(2)当x8时，3.47100.258347，预测8月份的5G经济收入为347百万元.题型三概率与统计角度1离散型随机变量及其分布列例4 (12分)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2023年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个444
12、的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为，记抽奖一次中奖的礼品价值为.(1)求P(3)；(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望.规范答题解(1)64个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个
13、没有着色，P(3).4分(2)的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，的取值为50，30，10，0，5分P(50)P(6)，6分P(30)P(5)，7分P(10)P(4)，8分P(0)1.9分所以随机变量的分布列为5030100P10分E()5030100.12分第一步确定随机变量的所有可能值第二步求每一个可能值所对应的概率第三步列出离散型随机变量的分布列第四步求均值和方差第五步反思回顾、查看关键点、易错点和答题规范 角度2概率与统计的综合问题例5 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成
14、0，10)，10，20)，20，30)，30，40)，40，50)，50，60六组，并作出频率分布直方图(如图)，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.(1)请根据直方图中的数据填写下面的22列联表，试根据小概率值0.05的独立性检验，判断“课外体育达标”与性别是否有关？课外体育不达标课外体育达标合计男60女110合计(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为，求的分布列和数学期望.解(1)由题意得“课外体育达标”人数为200(0.020.005)1050，则
15、“课外体育不达标”人数为150，列联表如下：课外体育不达标课外体育达标合计男603090女9020110合计15050200假设H0为“课外体育达标”与性别无关.26.0613.841x0.05.根据小概率0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“课外体育达标”与性别有关.(2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意知：的所有可能取值为1，2，3，P(1)；P(2)；P(3)；故的分布列为123P故的数学期望为E()123.感悟提升解决此类问题要先提取统计中的有用信息，用以解决概率问题.角度3正态分布的综合问题例6 (2022
16、保定模拟)某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份其中5天的日销售量y(单位：千克)与该地当日最低气温x(单位：)的数据，如下表：x258911y1210887(1)求出y与x的回归方程x；(2)判断y与x之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6 ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；(3)设该地1月份的日最低气温XN(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2，求P(3.8X13.4).附：回归方程x中，.3.2，1.8.若XN(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5.解(1)xi7，yi9，xiyi521251088981175
17、7928，x522252829211257250，0.56.9(0.56)712.92.所求的回归方程是0.56x12.92.(2)由0.560知，y与x之间是负相关，将x6代入回归方程可预测该店当日的销售量0.56612.929.56(千克).(3)由(1)知7，由2s2(27)2(57)2(87)2(97)2(117)210，得3.2.从而P(3.8X13.4)P(X2)P(X)P(X2)P(X)P(2X2)0.818 6.感悟提升数形结合，将所求区间转化为三个特殊区间求解.训练3 (2022广州调研)某城市A公司外卖配送员底薪是每月1 800元，设一人每月配送的单数为X，若X1，300，
18、每单提成3元，若X(300，600，每单提成4元，若X(600，)，每单提成4.5元.B公司外卖配送员底薪是每月2 100元，设一人每月配送单数为Y，若Y1，400，每单提成3元，若Y(400，)，每单提成4元.小王想在A公司和B公司之间选择一份外卖配送员工作，他随机调查了A公司外卖配送员甲和B公司外卖配送员乙在2022年4月份(30天)的送餐量数据，如下表：表1A公司外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x/单131416171820天数2612622表2B公司外卖配送员乙送餐量统计日送餐量y/单111314151618天数4512351(1)设A公司外卖配送员月工资(单位：元)为f(X)，B公司外
19、卖配送员月工资(单位：元)为g(Y)，当XY且X，Y(300，600时，比较f(X)与g(Y)的大小关系；(2)将甲、乙4月份的日送餐量的频率视为对应公司的外卖配送员日送餐量的概率.计算外卖配送员甲和乙的日送餐量的数学期望E(x)和E(y)；请利用所学的统计学知识为小王做出选择，并说明理由.解(1)当XY且X，Y(300，600时，g(Y)g(X)；当X(300，400时，f(X)g(Y)f(X)g(X)(1 8004X)(2 1003X)X3000；当X(400，600时，f(X)g(Y)f(X)g(X)(1 8004X)(2 1004X)300g(Y)；当X(400，600时，f(X)g(
20、Y).(2)甲的日送餐量x的分布列为：x131416171820P乙的日送餐量y的分布列为：y111314151618P则E(x)13141617182016，E(y)11131415161814.E(X)30E(x)480，480(300，600；E(Y)30E(y)420，420(400，).所以A公司外卖配送员的平均月薪约为1 8004E(X)3 720(元)，B公司外卖配送员的平均月薪约为2 1004E(Y)3 780(元)，3 72054.4，即E(Y)E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.2.某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前、后生产的大量产品中各抽
21、取了100件产品作为样本，检测某项质量指标值，该项质量指标值落在20，40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.设备改造前样本的频率分布直方图如图所示.下表是设备改造后样本的频数分布表：质量指标值15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)40，45频数2184814162(1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标值的平均数(同一组数据用该组数据所在区间的中点值表示)；(2)设备改造后，企业将不合格品全部销毁，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在25，30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在20，25)或30，35)内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格
22、品定为三等品，每件售价120元.根据上表中的数据，用该样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有合格产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望.解(1)根据题图可知，设备改造前样本的质量指标值的平均数为5(0.00817.50.03222.50.08027.50.02432.50.03637.50.02042.5)30.2.根据设备改造前样本的质量指标值的平均数估计设备改造前总体的质量指标值的平均数为30.2.(2)根据样本的频率分布估计总体的概率分布，合格的样本中一、二、三等品的频率分别为，故从所有合
23、格产品中随机抽一件，抽到一、二、三等品的概率分别为，.易知随机变量X的取值为240，300，360，420，480，则P(X240)，P(X300)C，P(X360)C，P(X420)C，P(X480).所以随机变量X的分布列为X240300360420480P所以E(X)240300360420480400.3.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额(元)
24、支付方式(0，1 000(1 000，2 000大于2 000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和均值；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由.解(1)由题意知，样本中仅使用A的学生有189330(人)，
25、仅使用B的学生有1014125(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人，故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有1003025540(人).所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率为0.4.(2)X的所有可能值为0，1，2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”.由题设知，事件C，D相互独立，且P(C)0.4，P(D)0.6，所以P(X2)P(CD)P(C)P(D)0.24.P(X1)P(CD)P(C)P()P()P(D
26、)0.4(10.6)(10.4)0.60.52，P(X0)P()P()P()0.24.所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的均值E(X)00.2410.5220.241.0.(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额大于2 000元”.假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得P(E).答案示例1：可以认为有变化.理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化.答案示例2：无法确定有没有变化.理由如
27、下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还有是可能发生的，所以无法确定有没有变化.4.某土特产超市为预估2023年元旦期间游客购买土特产的情况，于2022年元旦期间90位游客的购买情况进行统计，得到如下人数分布表.购买金额/元0，15)15，30)30，45)45，60)60，75)75，90人数101520152010(1)根据以上数据完成22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与性别有关.不少于60元少于60元总计男40女18总计(2)为吸引游客，该超市推出一种优惠方案：购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖的概率为p(每次抽奖
28、互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率)，中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X(元)的分布列并求其数学期望.附参考公式：2，其中nabcd.附表：0.1500.1000.0500.0100.005x2.0722.7063.8416.6357.879解(1)22列联表如下：不少于60元少于60元总计男124052女182038总计306090零假设为H0：购买金额是否少于60元与性别无关.25.833.841x0.05，根据小概率值0.05的2独立性检验，我们推断H0不成立，因此能在犯错误的概率不超过0.05
29、的情况下认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)X的所有可能取值为65，70，75，80，且p.P(X65)C，P(X70)C，P(X75)C，P(X80)C，X的分布列为X65707580PE(X)6570758075.5.(2022福州模拟)某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式ycxb(b，c为大于0的常数).按照某指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(0.302，0.388)内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：尺寸x(mm)384858687888质量y(g)16.818.820.722.42425.5质
30、量与尺寸的比0.4420.3920.3570.3290.3080.290(1)现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率；(2)根据测得的数据作了初步处理，得相关统计量的值为下表： (ln xiln yi) (ln xi) (ln yi) (ln xi)275.324.618.3101.4根据所给统计量，求y关于x的非线性经验回归方程.附：对于样本(vi，ui)(i1，2，6)，其经验回归直线v的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.解(1)由已知，优等品的质量与尺寸的比(0.302，0.388)，则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为a，b，c，有3件为非优
31、等品，记为d，e，f，现从抽取的6件合格产品中再任选2件，样本点为：(a，b)，(a，c)，(c，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，选中的两件均为优等品的样本点为(a，b)，(a，c)，(b，c)，所以所求概率为.(2)对ycxb两边取自然对数得ln yln cbln x，令viln xi，uiln yi，则v，且ln c，由所给统计量及最小二乘估计公式有：，1，由ln c得ce，所以y关于x的非线性经验回归方程为ex0.5.6.(2021重庆诊断)水污染现状与工业废水排放密切相
32、关.某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水(A级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p(0p1).经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进入B系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测.多个污水样本检测时， 既可以逐个化验，又可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标，混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水可直接排放.现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一
33、起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验.若化验次数的期望值越小，则方案越“优”.(1)若p，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；(2)若p，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优”？若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围.解(1)因为该混合样本达标的概率是，所以根据对立事件可知，混合样本化验结果不达标的概率为1.(2)方案一：逐个化验，化验次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本化验时，若达标则化验次数为1，概率为；若不达标则化验次数为3，概率为.故将方案二的化验次数记为2，2的所有可能取值为2，4，6.P(22)，P(24)C，P(26)，其分布列如下：2246P所以方案二的期望E(2)246.方案四：混在一起化验，记化验次数为4，4的所有可能取值为1，5.P(41)，P(45)1，其分布列如下：415P所以方案四的期望E(4)15.比较可得E(4)E(2)4，故方案四最“优”.方案三：设化验次数为3，3的所有可能取值为2，5.其分布列如下：325Pp31p3E(3)2p35(1p3)53p3.方案四：设化验次数为4，4的所有可能取值为1，5，其分布列如下：415Pp41p4E(4)p45(1p4)54p4.由题意得E(3)E(4)，所以53p354p4，所以p.故所求p的取值范围为.21
