1、第1节直线的方程考试要求1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线的倾斜角的取值范围是|0180.2.直线的斜率(1)定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即kt
2、an_.(2)计算公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率k.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2)是直线l上的两点，则向量(x2x1，y2y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线1.直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系：000不
3、存在k0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k的取值范围是0，).(3)解由题意可知k0，再由l的方程，得A，B(0，12k).依题意得解得k0.S|OA|OB|12k|(224)4，当且仅当4k，即k，等号成立，Smin4，此时直线l的方程为x2y40.感悟提升1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”.若直线的方程为yk(x1)2，则直线过定点(1，2).2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求
4、解.训练3 已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当AOB面积最小时，求直线l的方程.解法一设直线l的方程为y1k(x2)，则可得A，B(0，12k).l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，k0.于是SAOB|OA|OB|(12k)4.当且仅当4k，即k时，AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为y1(x2)，即x2y40.法二设所求直线l的方程为1(a0，b0)，则1.又2，ab4，当且仅当，即a4，b2时，AOB面积Sab有最小值为4.此时，直线l的方程是1，即x2y40.1.倾斜角为120且在y轴上的截距为2的直线方程为()A.yx
5、2 B.yx2C.yx2 D.yx2答案B解析斜率为tan 120，利用斜截式直接写出方程，即yx2.2.(2022广东七校联考)若过点P(1a，1a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是()A.(2，1)B.(1，2)C.(，0)D.(，2)(1，)答案A解析由题意知0，即0，解得2a1.3.(2021北京丰台区模拟)若直线yaxc经过第一、二、三象限，则有()A.a0，c0 B.a0，c0C.a0，c0 D.a0，c0答案A解析直线yaxc经过第一、二、三象限，直线的斜率a0，在y轴上的截距c0.4.直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.答
6、案B解析直线2xcos y30的斜率k2cos ，因为，所以cos ，因此k2cos 1，.设直线的倾斜角为，则有tan 1，.又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.5.过点(0，1)且与直线2xy10垂直的直线方程是()A.x2y10 B.x2y20C.2xy10 D.2xy20答案B解析所求直线的斜率为，由所求直线过点(0，1)，则直线方程为yx1，即x2y20.6.过函数f(x)x3x2图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为()A. B.C. D.答案B解析f(x)x22x(x1)211，斜率ktan 1，解得倾斜角.7.在平面直角坐标系xOy中，经过点P(1，1)的直
7、线l与x轴交于点A，与y轴交于点B.若2，则直线l的方程是()A.x2y30 B.x2y10C.2xy30 D.2xy10答案A解析设A(a，0)，B(0，b)，由2，可得a12(01)，012(b1)，则a3，b.由截距式可得直线l的方程为1，即x2y30.8.(多选)若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为()A.xy10 B.xy30C.2xy0 D.xy10答案ABC解析当直线经过原点时，斜率为k2，所求直线为y2x，即2xy0.当直线不经过原点时，设所求直线方程为xyk，把点A(1，2)代入可得12k或12k，求得k1或k3，故所求的直线方程为xy10
8、或xy30.9.把直线xy10绕点(1，)逆时针旋转15后，所得直线l的方程是_.答案yx解析已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45，绕点逆时针旋转15后，得到的直线l的倾斜角451560，直线l的斜率为tan tan 60，直线l的方程为y(x1)，即yx.10.已知三角形的三个顶点A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为_.答案x13y50解析BC的中点坐标为，BC边上中线所在直线方程为，即x13y50.11.设直线l的方程为2x(k3)y2k60(k3)，若直线l的斜率为1，则k_；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k_.答案51解析因为直线l的斜率
9、存在，所以直线l的方程可化为yx2.由题意得1，解得k5.直线l的方程可化为1，由题意得k320，解得k1.12.(2022重庆质检)若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为_.答案解析依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得从而可知直线l的斜率为.13.(2022长沙调研)设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为()A. B.1，0C.0，1 D.答案A解析由题意知，y2x2，设P(x0，y0)，则在点P处的切线的斜率k2x02.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，
10、则0k1，即02x021，故1x0.14.(多选)已知直线xsin ycos 10(R)，则下列命题正确的是()A.直线的倾斜角是B.无论如何变化，直线不过原点C.直线的斜率一定存在D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1答案BD解析根据直线倾斜角的范围为0，)，而R，所以A不正确；当xy0时，xsin ycos 110，所以直线必不过原点，B正确；当时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S1，所以D正确.15.已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当
11、a_时，四边形的面积最小，最小值为_.答案解析由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a4，故当a时，四边形面积的最小值为.16.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45和30角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线yx上时，则直线AB的方程是_.答案(3)x2y30解析由题意可得kOAtan 451，kOBtan(18030)，所以直线lOA：yx，lOB：yx.设A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中点C.由点C在直线yx上，且A，P，B三点共线得解得m，所以A(，).又P(1，0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直线AB的方程为(3)x2y30.
