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2021秋八年级数学上册 第13章 全等三角形13.1 命题、定理与证明 1命题学案(新版)华东师大版.doc

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资源描述

1、13.11 命题1. 能说出命题、真命题、假命题、公理和定理的含义2. 会区分命题的条件(题设)和结论,奠定推理论证的基础3. 能用举反例的方法证明或判断简单的假命题;进一步学习证明,熟悉证明的步骤与书写格式教材知识详析要点1命题可以判断正确或错误的句子叫做命题,或者说,具有判断性的语句叫做命题理解命题的定义要注意两点:命题必须是一个完整的句子,通常是一个陈述句;命题具有明确的判断性,这个判断既可以是肯定的,也可以是否定的命题的判断性是它最明显的特征,而且这个特征要明确、直截了当、毫不含糊如“我很喜欢老师”(叙述句)、“这个道理你明白吗?(疑问句)”这两句话都没有判断性,所以都不是命题要想使之

2、成为命题,都需改为“是”或“不是”的形式:“我是很喜欢老师的学生”、“这个道理是很明白的”,这才是命题.例1下列语句中不是命题的是()(1)两点之间,线段最短;(2)不许大声说话;(3)连结A、B两点;(4)花儿在春天开放;(5)不相交的两条直线叫做平行线;(6)无论为怎样的自然数,式子的值都是质数吗?A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个精析:抓住命题的两层含义:必须是陈述句;能作出肯定或否定的判断故(1)(4)(5)是命题;(2)(3)(6)不是,答案为:C.解答:C.归纳整理:凡是疑问句或命令性语句都不是命题要点2命题的结构一个命题由题设和结论两部分构成,题设是已知事项,结论是由

3、已知事项推导出的事项一般地,命题都可以写成“如果(若),那么(则)”的标准形式,其中“如果”后面引出的事项是题设,“那么”后面引出的事项是结论有些命题并没有写成“如果(若),那么(则)”的形式,我们可以在保持命题意思不变的情况下,改写成“如果(若),那么(则)”的标准形式,再找出它的题设和结论例2请写出下列命题的题设和结论(1)如果两条直线相交,那么一定有一个交点;(2)两条平行线被第三条直线所截,内错角相等;(3)等腰三角形的两底角相等精析:按照命题的标准形式”如果,那么”分析题设、结论解答:(1)题设:两条直线相交,结论:它们一定有一个交点(2)这个命题可以直接加上”如果,那么”,成为标准

4、形式”如果两条平行线被第三条直线所截,那么内错角相等”题设:两条平行线被第三条直线所截,结论:内错角相等(3)这个命题需要断开成两句话,然后扩充成标准形式为”如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等”题设:一个三角形是等腰三角形,结论:这个三角形的两个底角相等关键提醒:在把(3)改写成标准形式时,不能机械地从命题中间断开,然后加入”如果,那么”,应在理解命题意思的基础上改写,改写注意到:保持命题意思不变;题设、结论的语句完整要点3命题的真、假如果一个命题叙述的事情是正确的,则称它为真命题,如果一个命题叙述的事情是假的,则称它为假命题顿有所悟:(1)一个命题要么是真命题,要么是假

5、命题,只能是二者中的一个(2)真命题的条件和结论有着必然的逻辑关系,结论是条件的必然推理结果;而假命题的条件和结论没有必然的逻辑联系,即由条件无法推出结论(3)要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具有命题的结论,这种例子称为反例.例3判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,则举一个反例加以说明(1)直角都相等;(2)相等的角都是直角;(3)如果|a|b|,那么ab.精析:结合已知的数学知识进行判断解答:(1)是真命题,(2)为假命题,若AB100,但A、B不是直角;(3)也为假命题,若a5,b5,此时|a|b|5,但ab.关键提醒:构造反例的要点:符合命题

6、的题设,但不符合命题的结论要点4公理、定理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理本册教材把下列真命题作为公理:两点确定一条直线;两点之间线段最短;过直线外一点有且只有一条直线与之平行;同位角相等,两直线平行;全等三角形的对应边、对应角分别相等.数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法证明它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理命题、公理、定理之间的关系如下图:(1) 命题(2) 定理都是真命题,但真命题不一定都是定理,只有那些经过推理是正确的,且有很大实用价值的命题才叫

7、定理.(3) 在数学中与定理有关的名词还有定义、推论和公式等,推论是由定理派生的,公式是定理的符号化,它们都是真命题.例4下列真命题能作为公理的是( )A.等腰三角形的两个底角相等B.平行四边形的对角线互相平分C.经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D.全等三角形的对应边、对应角分别相等精析:公理是人们在长期的实践中总结出来的,它不需要证明C是在作图过程中通过度量得到的, A、B、C都是利用其他的公理或定理证明出来的,因此C是公理解答:D.归纳整理:理解公理需要明确两点:(1)公理是不需要推理证明的真命题;(2)公理可以作为判定其他命题真假的依据理解定理也要明确两点:(1)定理都是真命题,但

8、真命题不一定是定理;(2)定理可以作为推证其他命题真假的依据要点5证明几何命题的一般步骤1. 审题:理解命题的意思,分清题设、结论2. 画图:根据题意画出图形,并在图形上标明相应的字母注意:图形力求准确,且具有一般性,切忌将图形特殊化3. 写出已知、求证:把命题中用文字叙述的题设、结论,结合图形“翻译”成用数学符号表述的“已知”、“求证”4. 探究证明思路:从已知条件出发,结合学过的定义、公理、定理、性质、判定、公式、法则等,探索由已知推出结论的思路5. 写出证明过程:把探索的推理思路规范地书写出来,要求每一步有理有据,逻辑严密,最后得出结论注意,不能把结论当作已知条件使用例5证明等腰三角形底

9、边上任一点到两腰的距离之和等于腰上的高精析:按照证明几何命题的一般步骤进行已知:如图,在ABC中,ABAC,点D是BC边上任意一点,DEAB,垂足为点E,DFAC,垂足为点F,CGAB,垂足为点G.求证:DEDFCG.证明:连结AD.SABCSABDSACD,又SABCABGC,SABDABDE,SACDACDF,ABGCABDEACDF.ABAC,DEDFGC.拓展反思:本题运用面积法证明结论,“面积法”是几何解题中的一种重要方法拉分典例探究综合应用题例1(要点 推断类题型)如图1,把边长为4的正三角形各边四等分,连接各分点得到16个小正三角形(1)如图2,连接小正三角形的顶点得到的正六边形

10、ABCDEF的周长= .6(2)请你判断:命题“六个内角相等的六边形是正六边形”是真命题还是假命题如果是真命题,请你把它改写成“如果,那么”的形式;如果是假命题,请在图1中画图说明精析:(1)正六边形的各边长都等于1,所以周长=61=6(2)题中只判断了角,没有确定边,所以是假命题;解答:(1)正六边形的各边长都等于1,周长=61=6(2)命题“六个内角相等的六边形是正六边形”是假命题,题设为:一个六边形的六个内角相等,结论为:这个六边形是正六边形反例如下图等 探索发现:正六边形的各边长相等,各内角相等证明一个图形是正六边形,应从边和角两方面结合进行判断例2(要点 叙述类题型)追求真理是人类永

11、恒的目标数学不仅要回答“什么是数学真理”,还必须回答“为什么”它是数学真理为了证明数学真理,就需要证明,证明就是用人人皆同意的一些“公理”与规定名词的意义,把我们以前仅凭直观或实验探索发现过的结论成为公理的逻辑推论,这样就有很强的说服力请你在以下2个命题中任选一个加以逻辑证明,并在你选证的命题前面括号内打“”( )如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:“等角对等边”)( )两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行(简称:内错角相等,两直线平行).精析:若选择,首先画出图形,分析原命题,找出其条件与结论,然后根据B=C证明ABC为等腰三角形,从而得出结

12、论解答:已知:如图,在ABC中,B=C,求证:AB=AC.证明:在ABC中,B=C,ABC为等腰三角形,AB=AC归纳演绎:本题考查命题的证明,命题证明要画图,写出已知、求证,然后进行证明探究创新题例3(要点 信息给予类题型)对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列五个论断:ab;bc;ab;ac;ac,以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题_解析:这是一道探索性问题,题意是从五个论断中选取两个作为题设,剩下三个中取一个作为结论,组成真命题基本思考方法是:先写出可能的命题,再判断真假解答:真命题有:(1)a,b,c在同一平面内,如果ab,bc,那么ac;(2)a,b

13、,c在同一平面内,如果ab,ac,那么bc;(3)a,b,c在同一平面内,如果bc,ac,那么ab;(4)a,b,c在同一平面内,如果ab,ac,那么bc;(5)a,b,c在同一平面内,如果ac,bc,那么ab;(6)a,b,c在同一平面内,如果ab,bc,那么ac.归纳演绎:本题考查了命题的叙述形式,利用了平行线、垂线的判定方法例4(要点 图表信息类题型)郭老师在一次”探究性学习”中,设计如下数表:n2345a221321421521b46810c221321421521(1)请你分别观察a、b、c与n之间的关系,并用含有自然数n(n1)的代数式表示:a、b、c.(2)猜想:以a、b、c为边

14、的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想精析:(1)仔细观察表中数据不难得到an21,b2n,cn21;(2)由n2,3,4,5时,三角形都是直角三角形,于是猜想:以a、b、c为边的三角形是直角三角形,然后利用勾股定理的逆定理来判断解答:(1)an21,b2n,cn21;(2)是直角三角形,证明如下:因为a2b2(n21) 2(2n) 2n42n21,c2(n21) 2n42n21,所以a2b2c2,即以a、b、c为边的三角形是直角三角形技法规律:本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可例5. (要点 推断类题型)甲、乙

15、、丙、丁四个小朋友在院里玩球,忽听“砰”的一声,球击中了李大爷家的窗户李大爷跑出来查看,发现一块窗户玻璃被打裂了李大爷问:“是谁闯的祸?”甲说:“是乙不小心闯的祸”乙说:“是丙闯的祸”丙说:“乙说的不是实话”丁说:“反正不是我闯的祸”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的祸()A、甲 B、乙 C、丙 D、丁精析:若甲说的是实话,则丙说的也是实话,所以甲说的是假话,则一定不是乙闯的祸;若乙说的是真话,则丁说的也是真话,所以乙说的一定是假话,则不是丙闯的祸,所以丙说的话是真话,丁说的是假话则一定是丁闯的祸解答:本题可分三种情况进行讨论:若甲真,则乙假,丙真,丁真;这种情况下,三人说了实话,显然与条件不符;若甲假,乙真,则丙假,丁真;这种情况下,两人说了实话,显然与条件不符;若甲假,乙假,则丙真,丁假;这种情况下,只有丙说了实话,符合题目给出的条件由于丁说了假话,因此闯祸的人一定是丁故选D技法规律:此类题可以用假设的方法,根据只有一人说的是实话进行逐步推理

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