1、第4节基本不等式考试要求1.了解基本不等式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在生活实际中的应用.1.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.3.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值2.(2)已知x，y都是正数，如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值S
2、2.1.2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号.2.ab.3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)不等式a2b22ab与成立的条件是相同的.()(2)函数yx的最小值是2.()(3)函数ysin x，x的最小值是4.()(4)“x0且y0”是“2”的充要条件.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)不等式a2b22ab成立的条件是a，bR，成立的条件是a0，b0.(2)由于x(，0)(0，)，故函数y
3、x无最小值.(3)sin x的最小值不为4.(4)“2”的充要条件是xy0.2.(易错题)当x0时，函数yx()A.有最大值4 B.有最小值4C.有最大值4 D.有最小值4答案A解析yx24.当且仅当x2时等号成立，故选A.3.(易错题)函数yx(32x)的最大值为()A.3 B. C. D.答案D解析yx(32x).当且仅当2x32x，即x时等号成立.4.(2022滨州三校联考)若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于()A.1 B.1C.3 D.4答案C解析当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3，故
4、选C.5.(2021长沙月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则当这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大.答案15解析设矩形的长为x m，宽为y m.则x2y30(0x18)，所以Sxyx(2y)，当且仅当x2y，即x15，y时取等号.6.(2021天津卷)若a0，b0，则b的最小值为_.答案2解析a0，b0，b2bb22，当且仅当且b，即ab时等号成立，b的最小值为2.考点一利用基本不等式求最值角度1配凑法例1 (1)已知0x，则x的最大值为_.答案解析0x，12x20，xx.当且仅当2x212x2，即x时等号成立.(2)已知x，则f(x)4x2的最小值为
5、_.答案5解析x，4x50，f(x)4x24x53235，当且仅当4x5，即x时取等号.(3)已知函数f(x)(x1)，则()A.f(x)有最小值4 B.f(x)有最小值4C.f(x)有最大值4 D.f(x)有最大值4答案A解析f(x)(x1)2.因为x1，所以x10，所以f(x)224，当且仅当(x1)，即x2时，等号成立.故f(x)有最小值4.角度2常数代换法例2 若直线2mxny20(m0，n0)过点(1，2)，则的最小值为()A.2 B.6C.12 D.32答案D解析因为直线2mxny20(m0，n0)过点(1，2)，所以2m2n20，即mn1，所以(mn)332，当且仅当，即nm时取
6、等号，所以的最小值为32.角度3消元法例3 已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_.答案6解析法一(换元消元法)由已知得x3y9xy，x0，y0，x3y2，3xy，当且仅当x3y，即x3，y1时取等号，x3y9，即(x3y)212(x3y)1080，令x3yt，则t0且t212t1080，解得t6，即x3y的最小值为6.法二(代入消元法)由x3yxy9，得x，x3y3y3(1y)6261266，当且仅当3(1y)，即x3，y1时等号成立，x3y的最小值为6.感悟提升1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.2.常数代换法，主要解决形如“已知xyt(t为常数
7、)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.训练1 (1)已知0x2，则x(52x)的最大值为_.答案解析因为0x2，所以2x0，52x0，则x(52x)2x(52x)，当且仅当2x52x，即x时等号成立，故x(52x)的最大值为.(2)正实数x，y满足4x2y2xy1，则xy的最大值为_；2xy的最大值为_.答案解析1xy4x2y
8、24xy，5xy1，xy，当且仅当y2x时取等号.4x2y2xy1，(2xy)23xy1，(2xy)213xy2xy，即(2xy)21(2xy)2，(2xy)2，2xy，当且仅当2xy时取等号.(3)(2020江苏卷)已知5x2y2y41(x，yR)，则x2y2的最小值是_.答案解析由题意知y0.由5x2y2y41，可得x2，所以x2y2y22，当且仅当4y2，即y时取等号，所以x2y2的最小值为.考点二基本不等式的综合应用角度1与其他知识交汇的最值问题例4 已知D，E分别是ABC的边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点(不包含D，E两点)，且满足，则的最小值为_.答案64解析由于M是线段
9、DE上的一动点(不包含D，E两点)，D，E分别是AB，AC的中点，则22，所以，0且221.(22)664，当且仅当，时取等号，故的最小值为64.角度2求参数值或取值范围例5 (2022杭州调研)对任意m，n(0，)，都有m2amn2n20，则实数a的最大值为()A. B.2 C.4 D.答案B解析对任意m，n(0，)，都有m2amn2n20，m22n2amn，即a恒成立，22，当且仅当，即mn时取等号，a2，故实数a的最大值为2，故选B.感悟提升(1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用
10、基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围.训练2 (1)设0m，若k22k恒成立，则k的取值范围为_.答案2，4解析由于0m，则，而12m0，且2m(12m)1，由基本不等式可得2m(12m)2，所以2m(12m)，所以8.当且仅当2m12m，即m时取等号.由已知不等式恒成立可知k22k8，即k22k8，解得2k4.(2)设等差数列an的公差为d，其前n项和是Sn，若a1d1，则的最小值是_.答案解析因为ana1(n1)dn，Sn，所以，当且仅当n，即n4时取等号，所以的最小值是.考点三基本不等式的实际应用例6 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面
11、造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A.80元 B.120元 C.160元 D.240元答案C解析由题意知，体积V4 m3，高h1 m，所以底面积S4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y20410(2x)8020160，当且仅当2x，即x2时取得等号.感悟提升(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.训练3 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，
12、运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_.答案30解析由题意得，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为64x48240(万元)，当且仅当x30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x的值是30.基本不等式链若a0，b0，则(a0，b0).当且仅当ab时等号成立，其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.一、利用基本不等式链求最值例1 当x时，函数y的最大值为_.答案2解析由，得ab2，则y22，当且仅当，即x时等号成立.二、利用基本不等式链证明不等式例2 (2021衡水市联考)已知a，b，c都是非负实数，求证：(abc).证明.即
13、(ab)，同理，(bc)，(ca)，相加可得(ab)(bc)(ca)(abc)，当且仅当abc时等号成立.1.下列等式中最小值为4的是()A.yx B.y2tC.y4t(t0) D.yt答案C解析运用基本不等式的条件是“一正、二定、三相等”，A，B，D均不满足“一正”条件，故选C.2.已知a0，且b0，若2ab4，则ab的最大值为()A. B.4 C. D.2答案D解析42ab2，即2，两边平方得42ab，ab2，当且仅当a1，b2时，等号成立，ab的最大值为2.3.若a0，b0，lg alg blg(ab)，则ab的最小值为()A.8 B.6 C.4 D.2答案C解析依题意abab，abab
14、，即ab，ab4，当且仅当ab时取等号，ab的最小值为4.4.设x0，则33x的最大值是()A.3 B.32C.1 D.32答案D解析x0，3x22，当且仅当x时，等号成立，2，则33x32.5.(多选)下列四个函数中，最小值为2的是()A.ysin xB.yln x(x0，x1)C.yD.y4x4x答案AD解析对于A，因为0x，所以0sin x1，则ysin x2，当且仅当sin x，即sin x1时取等号，符合题意；对于B，当0x1时，ln x0，此时yln x为负值，最小值不是2，不符合题意；对于C，y，设t，则t，则y，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y4x4x4x22，当且仅当x
15、0时取等号，故y4x4x的最小值为2，符合题意.故选AD.6.若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值是()A.6 B. C.4 D.答案B解析x2y2xy1(xy)2xy1，xy，当且仅当xy时取等号，(xy)21，即(xy)21，xy，xy的最大值是.故选B.7.(2021南通一模)已知a0，b0，且ab1，则的最小值为_.答案42解析(ab)44242，当且仅当，即a，b时等号成立.8.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为yx218x25(xN*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是_万
16、元.答案8解析每台机器运转x年的年平均利润为万元，由于x0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元.9.命题“x(1，)，x2axa20”为真命题，则实数a的取值范围是_.答案(，22)解析依题意x(1，)，x2axa20恒成立，即a(x1)x22，即a恒成立.(x1)222，当且仅当x1，即x1时，等号成立，a22.10.(1)当x1时，求2x的最小值；(2)当x1时，求的最小值.解(1)2x22，x1，x10，2x22210，当且仅当x1，即x3时，取等号.(2)令y(x1)2.因为x10，所以y228，当且仅当x1，即x4时，y取最小值
17、为8.11.已知x0，y0，且2x8yxy，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值.解(1)xy2x8y2，即xy8，即xy64，当且仅当2x8y，即x16，y4时，等号成立，xy的最小值为64.(2)由2x8yxy，得1，则xy(xy)1010218.当且仅当，即x12，y6时等号成立，所以xy的最小值为18.12.(2022济南模拟)已知ABC的面积为1，内切圆的半径也为1，若ABC的三边长分别为a，b，c，则的最小值为()A.2 B.2C.4 D.22答案D解析因为ABC的面积为1，内切圆的半径也为1，所以(abc)11，所以abc2，所以222，当且仅当且abc2，即c22时，等号成立，所以的最小值为22.13.(多选)(2021石家庄一模)若a，b，cR，且abbcca1，则下列不等式成立的是()A.abc B.(abc)23C.2 D.a2b2c21答案BD解析由基本不等式可得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，2(a2b2c2)2(abbcca)2，a2b2c21，当且仅当abc时，等号成立.(abc)2a2b2c22(abbcca)3，abc或abc.若abc，则30，求的最小值.解(1)因为a0，b0，ab1，所以原式24，当且仅当，即ab4时，等号成立.故的最小值为4.(2)a，bR，ab0，4ab24，当且仅当即时取得等号.15
