1、第4讲 因数与倍数第一关 约数与倍数【知识点】（1）约数与倍数 若数a能被b整除，则称数a为数b的倍数，数b为数a的约数其中，一个数的最小约数是1，最大约数是它本身【例1】 a，b和c是三个非零自然数，在a=bc中，能够成立的说法是（）Ab和c是互质数Bb和c都是a的质因数Cb和c都是a的约数Db一定是c的倍数来源:Zxxk.Com【答案】C【例2】 从111这11个整数中任意取出6个数，则下面结论正确的共多少个？其中必有两个数互质；其中必有一个数是其中另一个数的倍数；其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数【答案】2个【例3】 一个比20小的两位数，它既是36的因数，又是6的倍数，这个数是多
2、少？【答案】18或12【例4】 2004的约数中，比100大且比200小的约数是多少？【答案】167【例5】 在所有是20的倍数的正整数中，不超过2014并且是14的倍数的数之和是多少？【答案】14700【例6】 某工厂买来长0.7m和0.8m的两种钢条各若干根这些钢条可以通过焊接得到许多不同长度的钢条（钢条不允许切割），那么在3.3m、3.6m、3.7m、3.8m、3.9m这些长度中，_是不能通过焊接得到的【答案】3.3m【例7】 设n是小于50的自然数，那么使得4n+5和7n+6有大于1的公约数的所有n的可能值之和为多少？【答案】94【例8】 小明想找一个三位数，这个三位数的各位数字互不相
3、同，并且还是45的倍数，那么满足小明要求的三位数有多少个？【答案】15【例9】 工地需要0.7米和1.1米这两种钢筋，仓库仅有4.1米长的钢筋，现请你设想：应把4.1米长的钢筋切割成0.7米长、1.1米长的各多少根才最节省钢材？【答案】0.7米长的1根、1.1米长的3根第二关 公约数与公倍数【知识点】（1）几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数（2）几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数【例10】 下列四组数中，两个数只有公约数1的数是（）A13和91B21和51C34和51D15和28【答案】D【例11】 沿小路一边从头开始插彩旗，每隔4米插一面，插到另外一端共插了37面彩旗
4、如果改成每隔6米插一面彩旗，可以有多少面彩旗不用移动？【答案】13【例12】 有一条拉直的绳子，如果将它9等分的点涂上红色记号，10等分的点涂上蓝色记号，那么红色记号与蓝色记号之间的长度最短是2厘米，这根绳子长多少厘米？【答案】180【例13】 有一根木棍上有两种刻度第一种刻度将木棍分成10等份，第二种刻度将木棍分成12等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，请问木棍共被锯成多少段？【答案】20【例14】 在老区和新区之间一条路上安排公交站点，第一种安排将道路分成十等份；第二种安排将道路分成十二等份；第三种安排将道路分成十五等份这三种安排分别通过三路不同的公交车实现，则此道路上其有多少个公交站点？（
5、含起点和终点）【答案】29【例15】 在1200这些数中，既不是3的倍数，又不是5的倍数的有多少个？【答案】107【例16】 父子二人在雪地散步，父亲在前，每步80厘米，儿子在后，每步60厘米，其中有一些脚印与父亲重合，在120米内一共留下多少个脚印？【答案】301【例17】 一箱山楂有一百多粒，3粒3粒地数，多1粒；4粒4粒地数，多2粒；5粒5粒地数，多3粒；6粒6粒地数，多4粒这箱山楂最多有多少粒？【答案】178【例18】 一堆桔子，按每4个一堆分少1个，按每5个一堆分也少1个，按每6个一堆分还是少1个这堆桔子至少有多少个？【答案】59【例19】 有5000多根牙签，可按六种规格分成小包如
6、果10根一包，那么最后还剩9根如果9根一包，那么最后还剩8根第三、四、五、六种的规格是，分别以8、7、6、5根为一包，那么最后也分别剩7、6、5、4根原来一共有多少牙签根？【答案】5039【例20】 一筐苹果，5个人均分正好分完，6个人均分正好分完，7个人均分剩1个那么7个人均分比6个人均分，每人得的苹果至少要少多少个？【答案】3【例21】 有4个自然数，它们的和是1111，如果要求这四个数的公约数尽可能大，那么这四个数的公约数最大可能是多少？【答案】101 【例22】 在一根长2000厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红色点，同时自右向左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点将木棍逐级锯开，
7、那么长度是4厘米的短木棍有多少根？【答案】133 第三关 最大公约数与最小公倍数【知识点】（1）最大公约数几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数（2）最小公倍数几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数（3）两个数如果存在着倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是其最小公倍数 （4）互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积（5）利用短除法求取三个数的最大公约数和最小公倍数时要注意二者的区别：求取三个数的最大公约数时，只需短除到三个数没有共同的因数（除l外）即可；而
8、求取三个数的最小公倍数时，需要短除到三个数两两互质为止（6）多于三个数的最大公约数与最小公倍数的求法与三个数的求法相似【例23】 10和12的最小公倍数是多少？【答案】60【例24】 请问：36和54的最大公因数是多少？【答案】18【例25】 一个数的最大约数和最小倍数都是15，这个数是多少？【答案】15来源:Zxxk.Com【例26】 a、b都是非零自然数，并且ba=9，那么a和b的最小公倍数是多少？【答案】b【例27】 如果a能被b整除，c又是b的约数，那么a、b、c三个数的最小公倍数是多少？【答案】a【例28】 将2004加上一个整数，使和能被23与31整除，加的整数要尽可能小，那么所加
9、的整数是135来源:学。科。网【答案】135来源:学科网【例29】 冥王星有3颗卫星绕冥王星一周卫星需6天，卫星需10天，卫星需15天从图中所示的位置开始，三颗卫星最少需要多少天才能同时回到原来的位置。【答案】30【例30】 小明发现今年的年份2016是一个非常好的数，它既是6的倍数，又是8的倍数，还是9的倍数，那么下一个既是6的倍数，又是8的倍数，还是9的倍数的年份是多少？【答案】2088年【例31】 早上8：00某公交总站同时发出3辆公交车，其中1路公交车每12分钟发一辆，2路公交车每15分钟发一辆，3路公交车每20分钟发一辆，那么，还需经过多少分钟这个公交总站再次同时发出3辆车？【答案】
10、60【例32】 一个电子钟，每9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点时，电子钟恰好又亮灯又响铃，问下次既亮灯又响铃是什么时候？【答案】下午3点【例33】 一种长方形地砖，长24厘米，宽16厘米不得对地砖进行任何切割，用这种地砖铺一个正方形至少要多少块？【答案】6【例34】 将长、宽、高分别为3厘米、4厘米、5厘米的长方体积木，叠成最小的正方体，最少要积木多少块？【答案】3600来源:Z*xx*k.Com【例35】 将120名男生和140名女生分成若干小组，要求每组男生的人数相同，女生的人数也相同，则最多可以分成多少组？【答案】20【例36】 今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本
11、70册，平均分成若干堆每堆中这三种课本的数量分别相等，那么最多可分多少堆？【答案】14【例37】 美术老师要在一张长12分米、宽84厘米的纸上裁出同样大小的正方形手工纸若干张，且没有纸剩下，那么每张正方形手工纸的边长最大是多少厘米？一共能够裁出多少张这样的手工？【答案】12；70第四关 【例38】 有两个二位数，它们的最大公约数8，最小公倍数是96，这两个数的和是多少？【答案】56【例39】 已知两个正整数的最大公因数是4，最小公倍数是24，那么这两个数和的最大值是多少？【答案】28【例40】 a=23m，b=37m（m是自然数且m0），如果a和b的最大公约数是27，则m是多少？a和b的最小公
12、倍数是多少？【答案】9；378【例41】 三个连续奇数的最小公倍数是105，这三个奇数的和是多少？【答案】15【例42】 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是多少？【答案】23【例43】 有两个合数是互质数，它们的最小公倍数是210，这样的数有多少对？【答案】3【例44】 甲、乙两个自然数的和是80，这两个数的最小公倍数与最大公因数的差也是80，这两个数相乘的积是多少？【答案】1536【例45】 已知自然数A，B不互质，且A，B的最大公约数与最小公倍数之和为35，那么A+B的最小值多少？【答案】25【例46】 A、B两奇数的最大公约数是3，那么A+B和A-B的公约数中，可能的最大数是多少？【答案】6【例47】 两个自然数a，b的最小公倍数等于50，问a+b有多少种可能的数值？【答案】8【例48】 自然数b与175的最大公约数记为d如果 176（b-11d+1）=5d+1，求b。【答案】385【例49】 两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到两个商的和是16，写出这两个整数.【答案】385与175【例50】 已知两个正整数之和为432，这两个正整数的最小公倍数与最大公约数之和为7776则这两个正整数的乘积是多少？【答案】46620
