1、学霸笔记苏教版2021-2022学年苏教版数学五年级下册同步重难点讲练3.1 因数与倍数第三单元 因数与倍数教学目标1使学生认识倍数和因数，能判断两个自然数间的因数和倍数关系；学会找一个数的因数和倍数的方法，能按顺序找出100以内自然数的所有因数，10以内自然数的所有倍数；了解一个数的因数、倍数的特点。2使学生经历探索求一个数的因数或倍数的方法、一个数的因数和倍数特点的过程，体会数学知识、方法的内在联系，能有条理地展开思考，培养观察、比较，以及分析、推理和抽象、概括等思维能力，发展数感。3使学生主动参与操作、思考、探索等活动，获得解决问题的成功感受，树立学好数学的信心，养成乐于思考、勇于探究等
2、良好品质。教学重难点教学重点：认识因数和倍数。教学难点：求一个数的因数、倍数的方法。【重点剖析】1.因数和倍数的意义：在 abc(a、b、c均是非0自然数)中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。2.求一个数的因数的方法：（1）找一个数的因数的方法：列乘法算式。有序地写出两个整数相乘得这个数的所有乘法算式，相乘的两个数都是这个数的因数。列除法算式。有序地写出用这个数分别除以大于或等于1且小于或等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数的所有除法算式，这些除数和商都是这个数的因数。（2）表示一个数的因数的方法： 列举法。集合法。（3）一个数的因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的
3、因数是1，最大的因数是它本身。3.求一个数的倍数的方法：（1）找一个数的倍数的方法：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积都是这个数的倍数。 （2）表示一个数的倍数的方法：列举法。集合法。（3）一个数的倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。【典例分析1】一个数的最小因数和最小倍数相加等于28，写出这个数的所有因数。【分析】一个数的最小倍数是它本身，一个数的最大因数也是它本身，因此，一个数的最小倍数和最大因数的和是28，则28是这个数2倍，然后用除法解答求出这个数，然后再按照顺序写出这个数的所有因数即可。【解答】解：因为一个数的最大因数和最小倍数是它本身，以
4、这个数是：28214，1411427，所以14的因数：1、2、7、14。【点评】此题考查的目的是理解掌握找一个数的因数与倍数的方法，明确：一个数的最小倍数是它本身，一个数的最大因数也是它本身。【典例分析2】食品店运来84个面包，选哪种包装盒能正好把这些面包装完？为什么？【分析】依据整除的意义，谁能整除84，就选那种包装盒，据此解答即可；【解答】解：84242（个）84328（个）84614（个）84712（个）84810（个）.4（个）答：包装盒A，B，C，D正好把这些面包装完，因为它们可以整除。【点评】此题主要依据整除的意义解决问题。因为它们能整除84。【题干】把下面的数填在合适的圈里。【题
5、干】五（1）班6名同学去给小树苗浇水，小树苗不到30棵，他们发现每人浇水棵数相同，这批小树苗可能有多少棵？【题干】如果312表示3是12的因数，请你用表示下图中其它各数间的关系一选择题（共5小题）1一个小于50的自然数，既是8的倍数，又是10的倍数，这个数是（）A8B10C402对于算式4832，下面说法错误的是（）A4和8都是因数，32是倍数B32是4和8的倍数C4和8是32的因数D以上选项都错误3一个自然数，它既是6的倍数，又是6的因数，这个数是（）A1B6C12D364甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，那么甲数是丙数的（）A倍数B因数C质因数D无法确定5下面（）的最大因数与最小因数的差
6、是99。A101B100C99D98二填空题（共5小题）6在3618中， 是 和 的倍数。7在3056和3065中， 和 是 的因数， 是 的倍数，也是 的倍数。8因为3694，所以 是 的因数， 是 的倍数。9在25，35，42，10，21，75，84中，7的倍数有 。10找出18的因数： 。（从小到大排列）三判断题（共5小题）11因为7749，所以49是倍数，7是因数。 1216有6个不同的因数。 13一个数越大，它的因数越多，一个数越小，它的因数就越少。 14一个数（0除外）的倍数的个数是无限的，最大的倍数是它本身。 15因为3515，所以3和5是因数 四计算题（共1小题）16写出每组数
7、的最小公倍数4和9 6和12 8和10五应用题（共4小题）17实验小学为鼓励学生阅读，新购进一批图书，数量在100到200之间，并且比26的倍数多13本实验小学新购进图书最多有多少本？18有一堆苹果，总数不到40个，把这堆苹果平均分给7个人，还余下3个苹果，这堆苹果有几个？19有42个同学表演团体操，每排的人数相同，有几种站法？（每排至少2人，至少2排）20为配合全民健身运动，春苑小区40名老年人参加体操表演，队形不能为一行1人或一行40人，要求每行人数相同，有几种排法？一选择题（共5小题）1一个数的最大因数加上3后就是39的最小倍数，那么这个数的全部因数共有（）个。A6B8C9D102下面的
8、数中，既是4的倍数，又是6的倍数的数有（）个。A2B3C43下列各组数中，（）的第一个数是第二个数的倍数。A24和0.8B6和30C36和124如果A是B的倍数，C是B的因数，那么A是C的（）A倍数B因数C无法确定5李老师为幼儿园买下面玩具中的一种用去114元，李老师买的玩具是（）A 9元B 5元C 6元二填空题（共5小题）6一箱鸡蛋有10个（鸡蛋数是一个三位数），每次从箱子里拿出8个，刚好拿完。箱子里原来有 个或 个鸡蛋。7在3618中， 是 和 的倍数。8在2045中 和 是 的因数。9在25，35，42，10，21，75，84中，7的倍数有 。1027的全部因数： ，30以内7的全部倍数
9、： 。三判断题（共5小题）11因为7749，所以49是倍数，7是因数。 12一个数越大，它的因数越多，一个数越小，它的因数就越少。 1316有6个不同的因数。 14一个数（0除外）的倍数的个数是无限的，最大的倍数是它本身。 15因为4559，所以45是倍数，5是因数。 四计算题（共1小题）16写出每组数的最小公倍数4和9 6和12 8和10五应用题（共4小题）17一堆糖果比25块多，比30块少，平均分给小明和他的6个同学，正好分完，这堆糖果一共有多少块？18把30个苹果平均分成若干份，要使每份的苹果个数同样多，一共有多少种不同的分法？（至少分2份）19育才小学五年级（1）班有36名同学排队表演
10、学校集体舞，要使每行人数相等（每行不能是1人和36人），一共有多少种不同的排法？20把27个球装在盒子里，每个盒子里球的个数相同，需要几个盒子？有几种装法？如果有11个球呢？【变式训练1】【分析】个位上有0，2，4，6，8的数是2的倍数，各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，5的倍数特征是末尾有0和5的数，同时是2、3、5的倍数特征是末尾有0的且各个数位上的数的和是3的倍数，据此解答。【解答】解：如图：【点评】本题主要考查2、3、5的倍数的特征，注意掌握只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，同时是2、3、5的倍数特征是末尾有0的，且每个数位上的数相加的和被3整除。【变式训练2】
11、【分析】根据题意，树苗棵数肯定是6的倍数，且小于30，小于30的，且是6的倍数的有：6、12、18、24，所以这批小树苗可能有6棵或12棵或18棵或24棵【解答】解：小于30的且是6的倍数的有：6、12、18、24棵；答：这批小树苗可能有6棵或12棵或18棵或24棵【点评】此题考查了学生运用求一个数的倍数的方法解决实际问题的能力【变式训练3】【分析】根据因数和倍数的意义，并结合题意可知：4是36的因数，4是24的因数，4是8的因数，8是24的因数，8是96的因数，24是96的因数；进而用箭头画出即可【解答】解：4是36的因数，4是24的因数，4是8的因数，8是24的因数，8是96的因数，24是
12、96的因数；进而用箭头画出，如下图：【点评】此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答基础达标练答案解析一选择题（共5小题）1【分析】一个数既是8的倍数，又是10的倍数，这个数是8和10的公倍数，找出8和10在50以内的公倍数即可。【解答】解：8在50以内的倍数有：8，16，24，32，40，48；10在50以内的倍数有：10，20，30，40，50；8和10在50以内的公倍数是：40。故选：C。【点评】此题主要考查找两个数的公倍数的方法。2【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。【解答】解：4832，则3248，即4和8是32的因数，3
13、2是4和8的倍数，因数和倍数是相互依存的。故选：A。【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。3【分析】据找一个数的因数的方法：一个数的因数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1；根据找一个数的倍数的方法，一个数的倍数是无限的，最小的一个倍数是它本身，可见一个数的本身既是其最大约数又是其最小倍数。【解答】解：由分析得：一个数既是6的倍数，又是6的因数，这个数是6。故选：B。【点评】根据找一个数的因数、倍数的方法进行解答即可。4【分析】设甲、乙、丙分别为A、B、C根据因数和倍数的意义可得AxB；ByC；故A（xy）C，所以甲数是丙数的倍数。【解答】解：设甲、乙、丙分
14、别为A、B、C因为甲数是乙数的倍数，则有AxB；丙数是乙数的因数，则有ByC；故 A（xy）C，所以甲数是丙数的倍数。故选：A。【点评】考查了因数和倍数的意义，本题的关键是由甲数是乙数的倍数，丙数是乙数的因数，得到甲数和丙数之间的关系。5【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，据此解答即可。【解答】解：10111001001999919898197所以，100的最大因数与最小因数的差是99。故选：B。【点评】本题主要考查因数的意义，注意一个数的最大因数是它本身，最小的因数是1。二填空题（共5小题）6【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b0），
15、a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可。【解答】解：因为3618，得出：1836，1863，18是3和6的倍数。故答案为：18，3，6。【点评】此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答。7【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。因数数与倍数是相互依存的，据此解答。【解答】解：在3056和3065中，5和6是30的因数，30是5和6的倍数。故答案为：5，6，30，5，6。【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。8【分析】因数与倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数（也叫因数）。因数与倍数是相互依存的，据此解答。【解
16、答】解：因为3694，所以9和4是36的因数，36是9和4的倍数。故答案为：9和4；36；36；9和4。【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。9【分析】能被7整除的数即为7的倍数，据此解答。【解答】解：在25，35，42，10，21，75，84中，7的倍数有35、42、21、84。故答案为：35、42、21、84。【点评】本题考查了求一个数倍数的方法，要熟练掌握。10【分析】运用分解因数的方法找出18的因数，再按照从小到大排列即可，据此解答。【解答】解：1811829361236918答：18的因数有1、2、3、6、9、18。故答案为：1、2、3、6、9、18。【点
17、评】本题考查的是求一个数因数的方法，应有顺序地写，做到不重复，不遗漏。三判断题（共5小题）11【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数（约数也叫因数），因数和倍数是相互依存的，据此解答。【解答】解：因为7749，所以49是7的倍数，7是49的因数，所以49是倍数，7是因数”的说法是错误的。故答案为：。【点评】本题主要考查因数和倍数的意义注意因数和倍数是相互依存的12【分析】16的因数由小到大为1，2，4，8，16，一共有5个不同的因数。【解答】解：经分析可知：1，2，4，8，16为16的因数，一共有5个不同的因数。所以本题说法错误。故答案为：。【点评】本题考查找一个数的因
18、数的方法。可以利用枚举法。13【分析】可以举例说明解答判断，99比24大，99的因数有1，3，33，99这4个因数，24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24这8个因数，据此可知，数大因数不一定多。【解答】解：据分析可知，一个数越大，它的因数不一定越多，一个数越小，它的因数不一定就少。因此原题说法错误。故答案为：。【点评】本题考查了因数的意义。14【分析】找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6一个数（0除外）的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。据此解答即可。【解答】解：一个数（0除外）的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。故原题说法错误。故答案为：。【点评】此
19、题主要考查了倍数的意义，要熟练掌握。15【分析】根据因数和倍数的意义，因数和倍数是相互依存的两个概念，因数离开倍数就不成立，倍数离开因数也不成立由此解答【解答】解：3515，3和5是15的因数，15是3和5的倍数；因为3515，所以3和5是因数这种说法是错误的故答案为：【点评】此题主要考查因数和倍数的意义，明确因数和倍数是相互依存的两个概念不能单独地说某个数是因数，某个数是倍数四计算题（共1小题）16【分析】求两个数的最小公倍数，如果两个数是互质数，它们的最小公倍数是这两个数的乘积；如果两个是倍数关系，较答的数是它们的最小公倍数；两个数是一般关系，可以利用分解质因数的方法，把这两个分解质因数，
20、公有质因数和各自质因数的连乘积就是它们的最小公倍数；由此解答【解答】解：4和9是互质数，最小公倍数是：4936；6和12是倍数关系，最小公倍数是：12；82221025最小公倍数是：222540；故答案为：36，12，40【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法五应用题（共4小题）17【分析】找出在100到200之间26的倍数，即可得出实验小学新购进图书最多有多少本【解答】解：100到200之间26的倍数有：104、130、156、182，182+13195（本），因为100195200，所以实验小学新购进图书最多有195本答：实验小学新购进图书最多有195本【点评】本题主要考查了找一个
21、数的倍数，正确找出100到200之间26的倍数是解答此题的关键18【分析】根据题意，把这堆苹果平均分给7个人，还余下3个苹果，说明这堆苹果的数量是比7的倍数多3的数，利用求倍数的方法求出7的倍数与40接近的数，再加3即可。【解答】解：7的倍数有7，14，21，28，35，42.，因为总数不到40个，所以选择的数应该小于40，35合适。35+338（个）答：这堆苹果有38个。【点评】解答此题的关键是利用乘乘以1、2、3、4、5、6.先求出7的倍数。19【分析】首先对42分解因数，然后找出42的因数，进而确定站法即可。【解答】解：将42分解因数，4214222131467，所以42的因数有1、2、
22、3、6、7、14、21、42。根据每排至少2人，至少2排，可得共有6种情况：每排2人，排成21排；每排3人，排成14排；每排6人，排成7排；每排7人，排成6排；每排14人，排成3排；每排21人，排成2排；答：有6种不同的排法。【点评】找出42的因数，进而分析确定排法是解答本题的关键所在。20【分析】根据找一个数的因数的方法，可以一对一对的找，最小的是1，最大的是它本身即40，1和40不符合题意，据此解答。【解答】解：40220404104058每排2人，排20排；每排4人，排10排；每排5人，排8排；每排8人，排5排；每排10人，排4排；每排20人，排2排。所以共6种排法。【点评】本题考查了找
23、一个数的因数的方法，解答此题关键是把48分解因数，有几个因数就有几种排法，进一步选择符合题意的排法。强化提优练答案解析一选择题（共5小题）1【分析】一个数的最大因数和最小的倍数都是它本身，因此这个数就是39336，找出36所有因数即可解答。【解答】解：39336，利用配对法找出36的所有因数。36136，218，312，49，66，总共有9个因数。故选：C。【点评】本题考查了找一个数因数的方法，可以分解质因数，也可以利用配对法解答。2【分析】根据题意，这个数必须可以除以4，还要能除以6，利用题目中的数据分别除以4或6即可选择。【解答】解：16、32、18不能同时除以4和6，12、18和24可以
24、同时除以4和6，一共有3个这样的数。故选：B。【点评】本题考查了求两个数的倍数的方法。3【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数，据此解答。【解答】解：A、因为倍数和因数是在非0的自然数范围内，不能是小数，故不符合题意；B、因为3065，所以30是6的倍数，即第二个数是第一个数的倍数，故不符合题意；C、因为36123，所以36是12的倍数，即第一个数是第二个数的倍数，故符合题意；故选：C。【点评】本题考查因数和倍数的意义，注意倍数和因数是在非0的自然数范围内，不能是小数。4【分析】根据因数和倍数的意义：如果数A能被数B整除（B0），A就叫做
25、B的倍数，B就叫做A的因数；由此解答即可。【解答】解：已知A是B的倍数C是B的因数，即B是C的倍数，所以A也是C的倍数。故选：A。【点评】解答此题的关键：认真审题，结合题意，并根据因数和倍数的意义，进行解答即可。5【分析】因为李老师买一种玩具用去114元，所买玩具的单价应被114整除，因此，李老师买的是花皮球。【解答】解：114912（个）.6（元）114522（个）.4（元）114619（个）答：李老师买的玩具是6元的花皮球。故选：C。【点评】此题主要考查了一个数的因数的判断。二填空题（共5小题）6【分析】一箱鸡蛋有10个（鸡蛋数是一个三位数），每次从箱子里拿出8个，刚好拿完。说明这个三位数
26、是8的倍数，我们利用8去乘1，2，3.，这样的方法找出符合题意的三位数即可。【解答】解：8的倍数且末尾有0的三位数有：815120，820160故答案为：120，160。【点评】本题考查了求8的倍数的方法，解答此题关键理解题意。7【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可。【解答】解：因为3618，得出：1836，1863，18是3和6的倍数。故答案为：18，3，6。【点评】此题应根据因数和倍数的意义进行分析、解答。8【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可。【
27、解答】解：在2045中，4和5是30的因数。故答案为：4，5，30。【点评】此题考查的是因数和倍数的意义，应根据其意义进行解答。9【分析】能被7整除的数即为7的倍数，据此解答。【解答】解：在25，35，42，10，21，75，84中，7的倍数有35、42、21、84。故答案为：35、42、21、84。【点评】本题考查了求一个数倍数的方法，要熟练掌握。10【分析】求一个数的因数，根据“找配对”的方法，写成两个数相乘的形式即可；求一个数的倍数，用这个数分别乘1、2、3.，据此解答。【解答】解：2712739717721473217428答：27的全部因数：1、3、9、27，30以内7的全部倍数：7
28、、14、21、28。故答案为：1、3、9、27；7、14、21、28。【点评】本题考查了求一个数因数和求一个数倍数的方法，要熟练掌握。三判断题（共5小题）11【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数（约数也叫因数），因数和倍数是相互依存的，据此解答。【解答】解：因为7749，所以49是7的倍数，7是49的因数，所以49是倍数，7是因数”的说法是错误的。故答案为：。【点评】本题主要考查因数和倍数的意义注意因数和倍数是相互依存的12【分析】可以举例说明解答判断，99比24大，99的因数有1，3，33，99这4个因数，24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24这8个因数，据
29、此可知，数大因数不一定多。【解答】解：据分析可知，一个数越大，它的因数不一定越多，一个数越小，它的因数不一定就少。因此原题说法错误。故答案为：。【点评】本题考查了因数的意义。13【分析】16的因数由小到大为1，2，4，8，16，一共有5个不同的因数。【解答】解：经分析可知：1，2，4，8，16为16的因数，一共有5个不同的因数。所以本题说法错误。故答案为：。【点评】本题考查找一个数的因数的方法。可以利用枚举法。14【分析】找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6一个数（0除外）的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。据此解答即可。【解答】解：一个数（0除外）的倍数的个数是无
30、限的，最小的倍数是它本身。故原题说法错误。故答案为：。【点评】此题主要考查了倍数的意义，要熟练掌握。15【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可【解答】解：因为4559，所以45是5的倍数，5是45的因数，因数和倍数不能单独存在，所以本题说法错误。故答案为：。【点评】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数是相对而言，不能单独存在。四计算题（共1小题）16【分析】求两个数的最小公倍数，如果两个数是互质数，它们的最小公倍数是这两个数的乘积；如果两个是倍数关系，较答的数是它们的最小公倍数；两个数是一般关系，可以利用分解质因数的
31、方法，把这两个分解质因数，公有质因数和各自质因数的连乘积就是它们的最小公倍数；由此解答【解答】解：4和9是互质数，最小公倍数是：4936；6和12是倍数关系，最小公倍数是：12；82221025最小公倍数是：222540；故答案为：36，12，40【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法五应用题（共4小题）17【分析】正好分完说明糖的总数是（6+1）的倍数，在2530之间找到7的倍数即可【解答】解：6+17因7428252830，所以这堆糖有28块答：这堆糖果一共有28块【点评】本题是找25到30之间的7的倍数，数字较小，可以直接求解18【分析】先找出30的因数，进而减去1和30两种情况
32、，进而得出结论。【解答】解：30的因数是1、2、3、5、6、10、15、30，除去1和30，还有6个因数，所以，一共有6种不同的分法。答：一共有6种不同的分法。【点评】解答此题的关键是根据求一个数的因数的方法，把所有因数都列举出来。19【分析】根据题意，即把36名同学平均分成若干行，那么行数和每行的人数相乘的积是36，又因为规定了每行的人数，所以看36有多少个因数，进而找出符合条件的排法即可。【解答】解：由题意可得，答：可以排1行，每行36人，因为每行不能是1人和36人，舍去，可以排2行，每行18人，可以排3行，每行12人，可以排4行，每行9人，可以排6行，每行6人，可以排9行，每行4人，可以
33、排12行，每行3人，可以排18行，每行2人可以排36行，每行1人，因为每行不能是1人和36人，舍去。有7种排法。答：一共有7种不同的排法。【点评】解答此题关键是将36进行分解因数，有几个因数就有几种排法，进而从中选择符合条件的排法。20【分析】根据分解因数的方法，把27和11分别写成2个整数乘积的形式，进而根据题意求出有几种不同的装法，据此解答。【解答】解：因为2712739，即27有1、3、9、27这4个因数，所以最多有4种装法，但由条件“每个盒子里球的个数相同”可知，至少要用2个盒子，所以共有3种装法，具体见下表：每个盒子装球个数139需要的盒子数279311只有1和11两个因数，所以只有一种装法，每个盒子装1个，需要11个盒子。答：可以用9个盒子，每个盒子里装3个球，或者用3个盒子，每个盒子里装9个球，可以用27个盒子，每个盒子里面装1个球，有三种装法。11个球的话，可以用11个盒子，每个盒子里装1个球。【点评】本题考查了求一个数因数的方法。
