1、宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2020-2021学年高二数学12月月考试题 理（含解析）一.选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求及补集，再求和集合交集，即可得解.【详解】集合，可得：或，故选：B.2. 下列关于命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若，则、互为相反数”的逆命题是真命题B. 命题“若，则”的否命题是“若，则”C. 命题“若，则”的逆否命题是假命题D. 命题“若，则”逆否命题是“若，则”【答案】A【解析】【分析】写出原命题的逆命题，判断逆命题的真假可判断A选项的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与
2、原命题的真假一致可判断C选项的正误；利用四种命题之间的关系可判断B、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，命题“若，则、互为相反数”的逆命题为“若、互为相反数，则”，原命题的逆命题为真命题，A选项正确；对于B选项，命题“若，则”的否命题是“若，则”，B选项错误；对于C选项，命题“若，则”是真命题，其逆否命题也为真命题，C选项错误；对于D选项，命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，D选项错误.故选：A.【点睛】本题考查四种命题的关系，考查逆命题、否命题、逆否命题的改写以及原命题与逆否命题真假性一致的原则的应用，考查推理能力，属于基础题.3. 在ABC中,a=3,b=,A=,则C=（
3、）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理可得，再由大边对大角可得B，从而可得C.【详解】在ABC中,由正弦定理可得：，即得：，解得.又，所以，从而得：.所以C.故选B.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于常考题型.4. 意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2019项的和为（ ）A. 672B. 673C. 1346D. 2019【答案】C【解析】【分析】求出已知数列除以2所得的余数，归纳可得是周期为3的周期数列，求出一个周期中三项
4、和，从而可得结果.【详解】由数列各项除以2的余数，可得为，所以是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为，因为，所以数列的前2019项的和为，故选C.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，考查了递推关系求数列各项的和，属于中档题.利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.5. 方程y表示的曲线()A. 一条射线B. 一个圆C. 两条射线D. 半个圆【答案】D【解析】【分析】化简整理后为方程x2+y2=25，但还需注意y0的隐含条件，判断即可【详解】化简整理后为方程x2+y2=25，但y0所以曲线
5、的方程表示的是半个圆故选D【点睛】本题考查曲线与方程的应用，注意方程的隐含条件的应用，是基础题6. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出所求椭圆的焦点坐标，可得出的值，由已知条件可得出的值，由此可得出的值，进而可得出所求椭圆的标准方程.【详解】椭圆可化为标准方程，可知椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，故可设所求椭圆方程为，则.又，即，所以，故所求椭圆的标准方程为.故选：B.7. 已知双曲线上有一点P到一个焦点距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ）A. 4或20B. 20C. 4D. 6或18【答案】A【解析】【分析】设双曲
6、线的左右焦点分别为，利用双曲线的定义，根据题中条件即可求得结果【详解】设双曲线的左右焦点分别为，则，设P为双曲线上一点，不妨令，点可能在左支，也可能在右支， 由，得， 所以或4，均满足，所以点到另一个焦点的距离是或 故选：A8. 若抛物线上的点P到焦点的距离是5，则点P到x轴的距离是（ ）A 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由抛物线定义，可知点到准线的距离，再进行适当变换即可求得.【详解】由题意可得，因为点P到准线的距离等于到焦点的距离5，故则点P到x轴的距离是.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，属抛物线基础题.9. 设椭圆 的左、右焦点分别为 ，P是C上的点， 则椭
7、圆C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据题意判断是等腰直角三角形，为短轴顶点，即得，再结合和离心率公式即得结果.【详解】P是C上的点，故，即是等腰直角三角形，在的中垂线上，即为短轴顶点，即，故，所以.故选：C.10. 经过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设所求双曲线的方程，将点代入求出，从而求出方程【详解】设所求双曲线的方程为，将点代入得解得，所以双曲线方程为故选D.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，解题的关键是设所求双曲线的方程为，属于简单题11. 已知双曲线的左、右焦点分别为过作的一条渐近线的
8、垂线,垂足为,若三角形的面积为，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将三角形的面积转化成，分别计算，得到等式，再化简计算离心率即可.【详解】由题得，不妨设，则（也可记住结论).因为.所以，即：.所以，所以，即：.故选：【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，将已知三角形的面积为转化为数学等式，是常见的求离心率的方法，属于中档题.12. 如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”现有一对“共焦曲线”的焦点为，M是它们的一个公共点，且，设它们的离心率分别为，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设椭圆的长半轴为
9、，半焦距为，双曲线的实半轴为，半焦距为，利用余弦定理有，由椭圆和双曲线的定义可知，即得和，消去，再根据离心率公式和基本不等式计算即得.【详解】设椭圆长半轴为，半焦距为，双曲线的实半轴为，半焦距为，由余弦定理得，则有，消去，可得，则有，即，当且仅当时取等号，故.故选：【点睛】本题主要考查双曲线和椭圆的性质，以及离心率，利用了余弦定理和基本不等式，属于中档题.二.填空题（本大题共4小题，共20分）13. 抛物线的焦点坐标为_.【答案】（0,2）【解析】【详解】试题分析：抛物线方程可化为，则，所以焦点坐标为.考点：抛物线的标准方程与焦点坐标.14. 若，满足约束条件，则的最小值为_【答案】-2【解析
10、】【分析】在平面直角坐标中，画出可行解域，设，平移直线，找到截距最小的位置，求出的最小值.【详解】在平面直角坐标中，画出可行解域，如下图所示：设，平移直线，当直线经过时，有最小值为.【点睛】本题考查了求线性目标函数的最小值，考查了数形结合思想、运算能力.15. 已知椭圆 ，过点P（1，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB中点，则直线l斜率是_【答案】【解析】【分析】先设点坐标代入椭圆方程，作差得到，再根据中点和斜率公式求得斜率即可.【详解】依题意，设，则，两式作差得，即，而弦AB中点为P（1，1），故，故，又，故，即，所以直线l斜率是.故答案为：.【点睛】思路点睛：对椭圆上两点
11、构成的弦及其中点相关的题型，我们常用“点差法”，其中直线的斜率，中点的坐标M为，点代入椭圆方程作差，就可以得到弦中点与直线斜率的关系式16. 设A、P是椭圆上的两点，点A关于x轴的对称点为B（异于点P），若直线、分别交x轴于点M、N，则等于_.【答案】2【解析】【分析】设点，点，由题意求出，进而可求出的表达式，再由在椭圆上，进而可对表达式进行化简，即可求出答案.【详解】如图所示，设点，则，设点，则，解得，又，所以，故.故答案为:2.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系.本题的难点是计算量比较大.三.解答题（本大题共6小题，共70分）17. 求分别满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点坐标为
12、和，P为椭圆上的一点，且；（2）离心率是，长轴长与短轴长之差为2.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标为和，得知，再由，根据椭圆的定义，得到，然后由求解即可. （2）根据和 求解，注意两种情况.【详解】（1）因为焦点坐标为和，所以. 因为，所以，即 所以. 故所求椭圆的标准方程为. （2）由题意可得解得， 解得，. 故所求椭圆的标准方程为或.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.18. 已知双曲线：的实轴长为2.（1）若的一条渐近线方程为，求的值；（2）设、是的两个焦点，为上一点，且，的面积为9，求的标准方程.【答案】
13、（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）由双曲线的实轴长为2，求得，再由渐近线方程为，得到，即可求解；（2）由和的面积为9，求得，再结合直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，即可求解，得到双曲线的方程.【详解】（1）由题意，双曲线：的实轴长为2，即，则，又由双曲线一条渐近线方程为，所以，可得.（2）由双曲线定义可得，又因为，且的面积为9，即，所以，且又由，解得，所以，解得，故双曲线的标准方程为：.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19. 已知，命
14、题，命题（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若为假，为真，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据题意，分析、为真命题时的取值范围，又由若是真命题，即、同时为真，分析可得答案，（2）若为假，为真，即、一真一假，分真假和假真两种情况讨论，分别求出的取值范围，综合可得答案【详解】解：（1）根据题意，命题：“，”，若为真，必有在，上恒成立，则，命题：“，”，若为真，即方程有解，解得或若是真命题，即、同时为真，有，必有，即的取值范围为，（2）若假，为真，即、一真一假，当命题为真，命题为假时，有，其解集为，当命题为假，命题为真时，有，解得或，综合可得：的取值范围为20
15、. 在圆上任取一点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，（1）求线段PD的中点Q的轨迹方程.（2）若直线与（1）中的Q的轨迹交于A，B两点，求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，利用中点坐标公式得到点的坐标，代入圆的方程即可得出结果；（2）直线方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理和弦长公式即可得出结果.【详解】（1）设，是PD的中点，又P在圆上，即，.线段PD的中点的轨迹方程是.（2）由（1）知动点轨迹方程为，故，得，设，则，所以.21. 如图所示，分别为椭圆的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，椭圆C上的点到两点的距离之和为4.（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；（2
16、）过椭圆C的焦点作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求的面积.【答案】（1）；焦点坐标为（-1，0）和（1，0）；（2）.【解析】【分析】（1）先利用定义求a，再将点代入方程得到b，即得方程；（2）先利用平行求的直线，联立方程求得，即得面积即可.【详解】解：（1）由题设知：2a = 4，即a = 2， 将点代入椭圆方程得 ，解得b2 = 3，c2 = a2b2 = 43 = 1，故椭圆方程为；焦点F1、F2的坐标分别为（-1，0）和（1，0）； （2）由（1）知， PQ所在直线方程为， 由得 ，设P (x1，y1)，Q (x2，y2)，则， 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由椭圆的定义和椭
17、圆过的点求椭圆的方程，第二问的关键点是利用面积可以简化计算过程.22. 已知抛物线上横坐标为2的一点到焦点的距离为3.（1）求抛物线C的方程；（2）设动直线交于、两点，为坐标原点， 直线OA，OB的斜率分别为，且，证明：直线l经过定点，求出定点的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，（2，0）.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得：，即可求出，进而可得抛物线的方程；（2）设直线的方程为，代入抛物线方程化简得，利用根与系数的关系可得，再利用，列方程即可求出，进而可得直线经过定点【详解】（1）抛物线的准线方程为：，由抛物线的定义可得：，解得：，所以抛物线的标准方程为： （2）证明：设直线的方程为，代入抛物线方程化简得，. ，解得： 直线经过定点，且定点为.【点睛】关键点点睛：求抛物线方程的关键是利用抛物线的定义，点到准线的距离等于它到焦点的距离列出方程；第二问的关键是设出直线的方程和、两点坐标，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理得出，将用斜率公式表示出来即可求得，从而判断出所过的点到.
