1、推理与证明 M1合情推理与演绎推理图1317M12022湖北卷 在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图13中ABC是格点三角形，对应的S1，N0，L4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是_；(2)已知格点多边形的面积可表示为SaNbLc，其中a，b，c为常数，若某格点多边形对应的N71，L18，则S_(用数值作答)17(1)3，1，6(2)79解析 (1)把四边形面积分割，其中四个面积为的三角形，一个面积为1的正方形，故
2、其面积为S3；四边形内部只有一个格点；边界上有6个格点，故答案为3，6，1.(2)根据图中的格点三角形和四边形可得14bc，3a6bc，再选顶点为(0，0)，(2，0)，(2，2)，(0，2)的格点正方形可得4a8bc，由上述三个方程组解得a1，b，c1，所以SNL1，将已知数据代入得S719179.16B7，M12022山东卷 定义“正对数”：lnx现有四个命题：若a0，b0，则ln(ab)blna；若a0，b0，则ln(ab)ln alnb；若a0，b0，则lnlnalnb；若a0，b0，则ln(ab)lnalnbln 2.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)16解析 中，当ab1时，
3、b0，a1，lnabln abbln ablna；当0ab0，0a1，lnabblna0，正确中，当0ab1时，左边ln(ab)0，右边lnalnbln a0ln a0，不成立中，当1，即ab时，左边0，右边lnalnb0，左边右边，成立；当1时，左边ln ln aln b0，若ab1时，右边ln aln b，左边右边成立；若0ba1b0，左边ln ln aln bln a，右边ln a，左边右边成立，正确中，若0ab0，左边右边；若ab1，ln(ab)ln 2ln(ab)ln 2ln.又a或b，a，b至少有1个大于1，lnln a或lnln b，即有ln(ab)ln 2ln (ab)ln 2
4、lnlnalnb，正确13M12022陕西卷 观察下列等式(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135照此规律，第n个等式可为_13(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)解析 结合已知所给定的几项的特点，可知式子左边共n项，且从(n1)一直到(nn)，右侧第一项为2n，连乘的第一项为1，最后一项为(2n1)，故所求表达式为：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)M2直接证明与间接证明20M2，D2，D3，D52022北京卷 给定数列a1，a2，an，对i1，2，n1，该数列前i项的最大值记为Ai，后ni项ai1，ai2，an的最小值记为Bi，diAiBi.(1
5、)设数列an为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；(2)设a1，a2，an(n4)是公比大于1的等比数列，且a10.证明：d1，d2，dn1是等比数列；(3)设d1，d2，dn1是公差大于0的等差数列，且d10，证明：a1，a2，an1是等差数列20解：(1)d12，d23，d36.(2)证明：因为a10，公比q1，所以a1，a2，an是递增数列因此，对i1，2，n1，Aiai，Biai1.于是对i1，2，n1，diAiBiaiai1a1(1q)qi1.因此di0且q(i1，2，n2)，即d1，d2，dn1是等比数列(3)证明：设d为d1，d2，dn1的公差对1in2，因为BiBi1，d
6、0，所以Ai1Bi1di1BididBidiAi.又因为Ai1maxAi，ai1，所以ai1Ai1Aiai.从而a1，a2，an1是递增数列，因此Aiai(i1，2，n1)又因为B1A1d1a1d1a1，所以B1a1a2an1.因此anB1.所以B1B2Bn1an.所以aiAiBidiandi.因此对i1，2，n2都有ai1aidi1did，即a1，a2，an1是等差数列19M2，H5，H102022北京卷 直线ykxm(m0)与椭圆W：y21相交于A，C两点，O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0，1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OA
7、BC不可能为菱形19解：(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分 所以可设A，代入椭圆方程得1，即t.所以|AC|2 .(2)证明：假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以直线OB的斜率为.因为k1，所以AC与OB不垂直所以OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形10M22022浙江卷 设a，bR，定义运算“”和“”如下：abab若正数a，b，c，d
8、满足ab4，cd4，则()Aab2，cd2 Bab2，cd2Cab2，cd2 Dab2，cd210C解析 从定义知，abmin(a，b)，即求a，b中的最小值；abmax(a，b)，即求a，b中的最大值；假设0a2，0b2，则ab2，d2，则cd4，与已知cd4相矛盾，则假设不成立，故min(a，b)2，即cd2.故选择C.M3数学归纳法M4单元综合12022陕西安康模拟 已知f1(x)cos x，f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，f4(x)f3(x)，fn(x)fn1(x)，则f2022(x)()Asin x Bsin xCcos x Dcos x1D解析 由已知，有f1(x)co
9、s x，f2(x)sin x，f3(x)cos x，f4(x)sin x，f5(x)cos x，可以归纳出：f4n(x)sin x，f4n1(x)cos x，f4n2(x)sin x，f4n3(x)cos x(nN*)所以f2 011(x)f3(x)cos x.22022诸城模拟 如图K411所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(色括两个端点)有n(nl，nN*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则()图K411A. B. C. D.2B解析 由图案的点数可知a23，a36，a49，a512，所以an3n3，n2，所以，所以1，选B.32022绍兴模拟 已知123332433n3n13n(n
10、ab)c对一切nN*都成立，那么a，b，c的值分别为()Aa，bcBabcCa0，bcD不存在这样的a，b，c3A解析 令n1，2，3，得所以a，bc.42022广东汕头模拟 已知2 ，3 ，4 ，若6 (a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则at_429解析 类比等式可推测a6，t35，则at29.52022江门联考 已知等差数列an中，有，则在等比数列bn中，会有类似的结论：_.5.解析 由等比数列的性质可知，b1b30b2b29b11b20，所以62022福州模拟 已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数yax(a1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论a成立运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数ysin x(x(0，)的图像上的不同两点，则类似地有_成立6.sin解析 在函数ysin x，x(0，)的图像上任意取不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的下方，所以sin.
