1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 必修1 集合与函数的概念 第一章 1.3 函数的基本性质第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值第二课时 函数的最值课堂典例讲练 2当 堂 检 测 3课 时 作 业 4课前自主预习 1课前自主预习你知道2008年北京奥运会开幕式时间为什么由原定的7月25日推迟到8月8日吗？通过查阅资料，我们了解到开幕式推迟的主要原因是天气，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事在日常生活中，我们会关心很多数据的变化(如食品的价格、燃油价格等)，所有这些数据的变化，用函数观点看，其实就是随着自变量的变化
2、，函数值是变大还是变小的问题，也就是本节我们所要研究的函数的最值问题.1.最大值和最小值 最大值最小值条件一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足；对于任意的xI，都有f(x)_Mf(x)_M存在x0I，使得_结论称M是函数yf(x)的最大值称M是函数yf(x)的最小值几何意义 f(x)图象上最_点的纵坐标f(x)图象上最_点的纵坐标f(x0)M高低知识拓展(1)定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)x2(xR)的最大值为0，有f(0)0.(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)M(
3、f(x)M)成立，也就是说，yf(x)的图象不能位于直线yM的上(下)方(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等式，也就是说yf(x)的图象与直线yM至少有一个交点2最值 定义函数的_和_统称为函数的最值几何意义 函数yf(x)的最值是图象_或_的纵坐标说明函数的最值是在整个定义域内的性质归纳总结 二次函数 f(x)ax2bxc(a0)在定义域 R上，当 a0 时，最小值是 f(b2a)，不存在最大值；当 a0 时，最大值是 f(b2a)，不存在最小值最大值最小值最高点最低点1.在函数 yf(x)的定义域中存在无数个实数满足 f(x)M，则 导学号 22840338(
4、)A函数 yf(x)的最小值为 MB函数 yf(x)的最大值为 MC函数 yf(x)无最小值D不能确定 M 是函数 yf(x)的最小值答案 D答案 C解析 因为二次函数开口向下，所以当x1时，函数有最大值8，无最小值2 二 次 函 数 y 2(x 1)2 8 的 最 值 情 况 是导学号 22840339()A最小值是 8，无最大值B最大值是2，无最小值C最大值是 8，无最小值D最小值是2，无最大值3函数 y1x在2,3上的最小值为_，最大值为_；在3，2上的最小值为_，最大值为_.导学号 22840340答案 13 12 12 134函数 yx22x3 在2,0上的最小值为_，最大值为_；在
5、2,3上的最小值为_，最大值为_；在 1,2 上 的 最 小 值 为 _，最 大 值 为_.导学号 22840341答案 3 5 3 0 4 0课堂典例讲练利用图象求函数的最值(1)求函数 f(x)1x，0 x1，x，1x2的最值；(2)写出函数 f(x)|x1|2x|，x(，3的单调区间和最值.导学号 22840342思路分析(1)利用图象法求函数的最值时，应写最高(低)点的纵坐标，还是横坐标？(2)如何将函数 f(x)|x1|2x|的绝对值去掉？解析(1)函数 f(x)的图象如图由图象可知，f(x)的最小值为 f(1)1，无最大值(2)f(x)12x，x，1，3，x1，2，2x1，x2，3
6、.其图象如图由图象，得单调递减区间为(，1，单调递增区间为2,3，有最小值 3，无最大值规律总结 利用图象法求函数最值的方法(1)利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法这种方法以函数最值的几何意义为依据，对图象易作出的函数求最值较常用(2)图象法求最值的一般步骤是：导学号 22840343(1)如图为函数 yf(x)，x4,7的图象，指出它的最大值、最小值(2)作出函数 y|x2|(x1)的图象，说明函数的单调性，并判断是否存在最大值和最小值分析 利用图象法求函数最值，要注意函数的定义域函数的最大值、最小值分别是图象的最高点和最低点的纵坐标解析(1)观察函数图象可以知道，图象上位置最高的
7、点是(3,3)，最低的点是(1.5，2)，所以函数 yf(x)当 x3 时取得最大值即 ymax3；当 x1.5 时取得最小值即 ymin2.(2)解：当 x2，即 x20 时，y(x2)(x1)x2x2(x12)294；当 x2，即 x20 时，y(x2)(x1)x2x2(x12)294.所以 yx12294，x2.x12294，x2.画出该分段函数的图象，如图由图象可知，函数 y|x2|(x1)在(，12，2，)上是增函数；在12，2上是减函数观察函数图象可知，函数既不存在最大值，也不存在最小值.利用函数的单调性求最值利用单调性定义证明函数 f(x)x4x在1,2上的单调性并求其最值.导学
8、号 22840344思路分析(1)判断 f(x)的单调性的一般步骤是什么？(2)如果 f(x)是单调函数，那么 f(x)在a，b上的最值在哪里取得？解析 设 1x1x22，即 f(x1)f(x2)x14x1x24x2(x1x2)4x2x1x1x2(x1x2)x1x24x1x21x1x22，x1x20,1x1x24，x1x240，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)f(x)x4x在1,2上是减函数从而函数的最大值是 f(1)145，最小值是 f(2)224.规律总结 1.利用函数单调性求最值的一般步骤：(1)判断函数的单调性(2)利用单调性写出最值2利用单调性求最值的三个常用结论(1
9、)如果函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，则f(x)在区间a，b的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值(2)如果函数f(x)在区间(a，b上是增函数，在区间b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)(3)如果函数f(x)在区间(a，b上是减函数，在区间b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)【互动探究】本例中，若所给区间是1,4，则函数最值又是什么？解析 按例题的证明方法，易证f(x)在区间2,4上是增函数，又函数在1,2上是减函数，所以函数f(x)的最小值是4.又f(1)f(4)5，所以函数的最大值是5.导学号 22840
10、345(2015包头高一检测)已知函数 f(x)x1x2.(1)求证：f(x)在3,5上为增函数；(2)求 f(x)在3,5上的最大值和最小值解析(1)任取 x1，x23,5且 x1x2，则f(x1)f(x2)x11x12x21x22x11x22x21x12x12x22x1x22x1x22x1x22x2x12x12x223x1x2x12x22x1，x23,5且 x1x2，x1x20，x220，f(x1)f(x2)0，f(x1)1 时，f(x)0，且 f(xy)f(x)f(y).导学号 22840348(1)求 f(1)；(2)证明 f(x)在定义域上是增函数；(3)如果 f(13)1，求满足不
11、等式 f(x)f(x2)2 的 x 的取值范围思路分析(1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f(xy)f(x)f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(xy)f(x)f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为f g(x)f(a)的形式，再利用f(x)的单调性来求解解析(1)令 xy1，得 f(1)2f(1)，故 f(1)0.(2)证明：令 y1x，得 f(1)f(x)f(1x)0，故 f(1x)f(x)任取 x1，x2(0，)，且 x11，故 f(x2x1)0，从而 f(x2)f(x1)f(x)在(0，)上是增函数(3)由于 f(13)1，而 f(13
12、)f(3)，故 f(3)1.在 f(xy)f(x)f(y)中，令 xy3，得f(9)f(3)f(3)2.故所给不等式可化为 f(x)f(x2)f(9)，f(x)f9(x2)，x94，又x0 x20，2x94，x 的取值范围是(2，94规律总结 本题中的函数是抽象函数，涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式的求解在本题的求解中，一个典型的方法技巧是根据所给式子 f(xy)f(x)f(y)进行适当的赋值或配凑这时该式及由该式推出的 f(1x)f(x)实际上已处于公式的地位，在求解中必须依此为依据导学号 22840349函数 yf(x)对于任意 x，yR，有 f(xy)f(x)f(y)1，
13、当 x0 时，f(x)1，且 f(3)4，则()Af(x)在 R 上是减函数，且 f(1)3Bf(x)在 R 上是增函数，且 f(1)3Cf(x)在 R 上是减函数，且 f(1)2Df(x)在 R 上是增函数，且 f(1)2答案 D解析 设任意 x1，x2R，x1x2，f(x2)f(x1)f(x2x1)x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)1.x2x10，又已知当 x0 时，f(x)1，f(x2x1)1.f(x2)f(x1)0，即 f(x1)f(x2)f(x)在 R 上是增函数f(3)f(12)f(1)f(2)1f(1)f(1)f(1)113f(1)24，f(1)2
14、.忽视端点值致误已知函数 f(x)a1x12a，x1，a1x2，x1为 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围为_.导学号 22840350错解 因为函数 f(x)a1x12a，x1，a1x2，x1为 R 上的减函数，所以 f(x)(a1)x12a 在(，1上是减函数，且 f(x)(a1)x2 在(1，)上是减函数，所以a10，a10，解得 a1.所以 a 的取值范围为a|a1错因分析 上述解法只考虑了分段函数在每一段的单调性，而忽视了接点处两段函数值的大小关系，从而导致答案错误规律总结 在处理分段函数单调性时，易错在当每一段函数为单调递增时，误以为整个函数也是单调递增，还需要看分界点处函数值
15、的大小关系正解 因为函数 f(x)a1x12a，x1，a1x2，x1为 R 上的减函数，所以a10，a10，a1112aa1，解得 a4.所以 a 的取值范围为a|a4导学号 22840351已知函数 f(x)1x，x10kx1，x10，若 f(x)在 R 上是减函数，求实数 k 的取值范围解析 因为 f(x)在 R 上是减函数，故其两段 f(x)1x(x10)和 f(x)kx1(x10)均为减函数，所以 k0.又 f(10)110，应有 10k1 110，即 k 9100综上，9100k0.故实数 k 的取值范围为k|9100k0当 堂 检 测1函数 y1x在(0，)上 导学号 228403
16、52()A仅有最大值B仅有最小值C既有最大值，又有最小值D既无最大值，也无最小值答案 D答案 B解析 y3x22的图象开口向下，对称轴为x0，因此在1,0上递增在0,2上递减，在x0处取得最大值2，故选B.2 函 数 y 3x2 2 在 区 间 1,2 上 的 最 大 值 为导学号 22840353()A1 B2C0D43函数 yx2x1 的值域是 导学号 22840354()ARB1，)C34，)D(，34答案 C解析 因为二次函数开口向上，所以它的最小值为41112434.故值域为34，)4若函数 f(x)4x1，则 x3,5的最大值为_，最小值为_.导学号 22840355答案 2 1解析 f(x)4x1在3,5上为递减函数，当 x3 时 f(x)max2，当 x5 时 f(x)min1.5已知函数 f(x)x22ax2，x5,5求实数 a 的取值 范 围，使 函 数f(x)在 区 间 5,5 上 是 单 调 函数.导学号 22840356解析 函数 f(x)(xa)22a2 的图象的对称轴为 xa.因为 f(x)在区间5,5上是单调函数，所以a5 或a5.所以 a 的取值范围 a5 或 a5.课 时 作 业（点此链接）
