1、第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标1.会算一个向量在另一个向量上的投影,会运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义.2.以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念,从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究.通过作图分析,使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别.3.由具体的功的概念到向量的数量积,再到共线、垂直时的数量积,使学生学习从特殊到一般,再由一般到特殊的认知规律,体会数形结合思想、类比思想,体验法则学习研究的过程,培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:一辆小车,在力F的作用下,从A处到
2、B处拉动的位移为s,那么请问力F在这个运动过程中所做的功?(1)力F所做的功W=.(2)请同学们分析公式的特点:W(功)是量,F(力)是量,s(位移)是量.(3)师生共同探讨矢量乘矢量以及引出向量乘以向量.二、信息交流,揭示规律1.数量积的概念已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,我们把数量叫做 a与 b的数量积(或内积),记作.问题2:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?问题3:数量积的几何意义是什么?2.由数量积的定义可以得到下面几个重要结果:(1)当=0时,;当=180时,.(2)cos=.(3)当b=a时,有=0,所以aa=|a|a|=,即|a|=.(4)当=90时,ab,因此
3、,ab=cos90=0,因此对非零向量a,b,有ab.3.可以验证,向量的数量积满足下面的运算律:(1)(2)(3)注意:一般地,向量的数量积不满足结合律,即a(bc)(ab)c.三、运用规律,解决问题【例1】判断下列各题正确与否:(1)若a=0,则对任一向量b,有ab=0.()(2)若a0,则对任一非零向量b,有ab0.()(3)若a0,ab=0,则b=0.()(4)若ab=0,则a,b至少有一个为零.()(5)若a0,ab=ac,则b=c.()(6)若ab=ac,则b=c当且仅当a0时成立.()(7)对任意向量a,b,c,有(ab)ca(bc). ()(8)对任意向量a,有a2=|a|2
4、.()【例2】已知=5,=4,向量a与b的夹角是120,求ab.【例3】已知|a|=|b|=,ab=-,求.【例4】已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.四、变式演练,深化提高练习1:四边形ABCD中,=a,=b,=,=d,且ab=b=d=da,试问四边形ABCD是什么图形?练习2:已知=5,=4,向量a与b的夹角是120,求.五、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?布置作业课本P108习题2.4A组第1,2,3题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:(1)力F所做的功W=Fscos.(2)W(功)是标量,F(力
5、)是矢量,s(位移)是矢量.(3)W=Fs.二、信息交流,揭示规律1.数量积的概念|a|b|cosab 问题2:数量积的结果是实数,线性运算的结果是向量.问题3:数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos的乘积.2.(1)ab=|a|b|ab=-|a|b|(2)(3)|a|2(4)ab=03.(1)ab=ba(2)(a)b=(ab)=a(b)(3)(a+b)c=ac+bc三、运用规律,解决问题【例1】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【例2】解:ab=|a|b|cos120=54(-)=-10.【例3】解:cos=-.由于0180,所以=135
6、.【例4】解:由(a+3b)(7a-5b)=07a2+16ab -15b2=0(a-4b)(7a-2b)=07a2-30ab+8b2=0两式相减:2ab=b2,代入或得:a2=b2,设a,b的夹角为,则cos=,=60.四、变式演练,深化提高练习1:解:四边形ABCD是矩形,这是因为:一方面:a+b+d=0,a+b=-(+d),(a+b)2=(+d)2,即|a|2+2ab+|b|2=|2+2d+|d|2,由于ab=d,|a|2+|b|2=|2+|d|2同理有|a|2+|d|2=|2+|b|2由可得|a|=|,且|b|=|d|即四边形ABCD两组对边分别相等.四边形ABCD是平行四边形.另一方面,由ab=b,有b(a-)=0,而由平行四边形ABCD可得a=-,代入上式得b(2a)=0,即ab=0,ab,即ABBC.综上所述,四边形ABCD是矩形.练习2:解:=(a+b)(a+b)=a2+b2+2ab=25+16-20=21,所以.五、反思小结,观点提炼1.掌握数量积的定义、重要性质及运算律;2.能应用数量积的重要性质及运算律解决问题;3.了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直、共线等问题.
