1、2016年四川省南充市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1设全集U=x|1x4，集合A=x|0log2x1，则UA=（）Ax|1x2Bx|2x3Cx|2x4Dx|2x42sin15sin75=（）ABCD3二项式（1x）6的展开式中x2的系数是（）A20B15C15D204设a，bR，且b1是“a+b2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5执行下面的程序框图，若输入x=5，y=4，则输出的有序数对为（）A（8，9）B（9，10）C（10，11）D（11，12）6
2、已知P是ABC内一点， +4=，现将一粒黄豆撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是（）ABCD7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A180B360C144+72D1088双曲线C：y2=1的左右顶点分别为A1，A2，点P在双曲线C上，且直线PA1的斜率的取值范围为1，2，那么直线PA2的斜率的取值范围是（）A，B（，）C，D（，）9下列四个图象中，有一个是函数f（x）=x3+ax2+（a29）x+1（aR，a0）的导函数y=f（x）的图象，则f（1）=（）ABCD110设抛物线C1：y2=2px（p0），点M在抛物线C1上，且|FM|=10，若以线段FM为直径的圆C2过点A
3、（0，3），则圆心C2到抛物线的准线的距离为（）A6B6或14C14D2或18二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共16分.11设i是虚数单位，复数z满足（zi）（1+i）2=2i，则z=_12用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的奇数共有_个（用数字作答）13在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知2sinA=3sinB，ab=c，则cosC=_14定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f在直角坐标系中，定义两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“直角距离”为d（A，B）=|x1x2|+|y1y2|现有以下命题：若A，B是x
4、轴上两点，则d（A，B）=|x1x2|；已知点A（1，2），点B在线段x+y=1（x0，1）上，则d（A，B）为定值；已知点A（2，1），点B在椭圆+y2=1上，则d（A，B）的取值范围是（1，5）；若|AB|表示A，B两点间的距离，那么|AB|d（A，B）其中真命题的是_（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知数列an的前n项和Sn满足an+1=2Sn+a1，且a1，a2+2，a3成等差数列（）求数列an的通项公式an；（）证明+对任意正整n成立1740名高三学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（）求频率
5、分布直方图中x的值；（）分别求出成绩落在从成绩落在已知函数f（x）=2sinxsin（x）+2cos2x+a的最大值为3（）求f（x）的对称轴方程和a的值；（）试讨论函数f（x）在区间，上的单调性19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ADBC，侧棱PA底面ABCD，且PA=AB=BC=2，AD=1（）试作出平面PAB与平面PCD的交线EP（不需要说明画法和理由）；（）求证：直线EP平面PBC；（）求二面角CPBD的余弦值20已知椭圆C： +=1（ab0）过点（0，1），且离心率e=（）求椭圆C的方程；（）已知直线l与椭圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
6、且OAB的面积为S，其中O为坐标原点，当S取得最大值时，求y+y的值21设函数f（x）=b+axex，其中a，b为实数，e=2.71828（）当b=0时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求函数f（x）在区间0，1上的最大值；（）若函数g（x）=f（x）+ax2+（ba）xb+1，g（1）=0，且g（x）在（0，1）内有零点，求a的取值范围2016年四川省南充市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1设全集U=x|1x4，集合A=x|0log2x1，则UA=（）Ax|
7、1x2Bx|2x3Cx|2x4Dx|2x4【考点】补集及其运算【分析】求出集合A，从而求出A的补集即可【解答】解：U=x|1x4，集合A=x|0log2x1=x|1x2，则UA=x|2x4，故选：D2sin15sin75=（）ABCD【考点】二倍角的正弦【分析】利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简，根据特殊角的三角函数值即可计算得解【解答】解：sin15sin75=sin15cos15=sin30=故选：A3二项式（1x）6的展开式中x2的系数是（）A20B15C15D20【考点】二项式定理的应用【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中x2的系
8、数【解答】解：二项式（1x）6的展开式的通项公式为Tr+1=（x）r，令r=2，可得展开式中x2的系数是=15，故选：C4设a，bR，且b1是“a+b2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】b1，取b=1.5，a=0，无法推出a+b2，反之也不成立，例如取a=3，b=0即可判断出结论【解答】解：b1，取b=1.5，a=0，无法推出a+b2，反之也不成立，例如取a=3，b=0因此b1是“a+b2”的既不充分也不必要条件故选：D5执行下面的程序框图，若输入x=5，y=4，则输出的有序数对为（）A（8，9）B（9
9、，10）C（10，11）D（11，12）【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出有序数对（x，y）的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当n=1时，满足进行循环的条件，x=5，y=6，n=2；当n=2时，满足进行循环的条件，x=7，y=8，n=3；当n=3时，满足进行循环的条件，x=9，y=10，n=4；当n=4时，不满足进行循环的条件，故输出的有序数对为（9，10），故选：B6已知P是ABC内一点， +4=，现将一粒黄豆撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是（）ABCD【考点】几何概型【分析】根据向量加法的平
10、行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是ABC边BC上的中线AO的三等分点再根据几何概型公式，将PBC的面积与ABC的面积相除可得本题的答案【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则，+4=，+=4，得=4=2=4，即=2，由此可得，P是ABC边BC上的中线AO的一个三等分点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的SPBC=SABC将一粒黄豆随机撒在ABC内，黄豆落在PBC内的概率为P=，故选：C7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A180B360C144+72D108【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图，我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一
11、个四棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为6的直角三角形，高为6，四棱锥的底面是一个以6为边长的正方形，高为6，分别求出棱柱和棱锥的体积，进而可得答案【解答】解：由已知中的该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，故选A8双曲线C：y2=1的左右顶点分别为A1，A2，点P在双曲线C上，且直线PA1的斜率的取值范围为1，2，那么直线PA2的斜率的取值范围是（）A，B（，）C，D（，）【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的顶点，设P（m，n），代入双曲线的方程，求得kk=，由已知斜率，即可得到所求的斜率【解答】解：双曲线C的左右顶点分别为A1（，0），A2（，0），设P（m，n），则
12、n2=1，即有n2=，可得kk=，由k1，2，即有直线PA2的斜率的取值范围为，故选：A9下列四个图象中，有一个是函数f（x）=x3+ax2+（a29）x+1（aR，a0）的导函数y=f（x）的图象，则f（1）=（）ABCD1【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先求出f（x）=（x+a）29，根据开口方向，对称轴，判断哪一个图象是导函数y=f（x）的图象，再根据图象求出a的值，最后求出f（1）【解答】解：f（x）=x3+ax2+（a29）x+1，f（x）=x2+2ax+（a29）=（x+a）29，开口向上，对称轴x=a，aR，a0只有第三个图是导函数y=f（x）的图象，a29=0，x=a0
13、，a=3，f（x）=x33x2+1，f（1）=，故选：C10设抛物线C1：y2=2px（p0），点M在抛物线C1上，且|FM|=10，若以线段FM为直径的圆C2过点A（0，3），则圆心C2到抛物线的准线的距离为（）A6B6或14C14D2或18【考点】抛物线的简单性质【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得|MN|=|FM|=10，求得M的横坐标，再由直角三角形的性质：斜边的中线为斜边的一半，以及中点坐标公式可得圆C2的圆心为（5，3），求得M（10，6），代入抛物线的方程，解得p的值，即可得到所求距离【解答】解：抛物线C1：y2=2px（p0）的焦点为（，0），准线为l：x=
14、，由|FM|=10，由抛物线的定义可得|MN|=|FM|=10，即有xM+=10，即xM=10，以线段FM为直径的圆C2过点A（0，3），连接AM，AF，可得|AC2|=|FM|=5，可得圆C2的圆心为（5，3），由中点坐标公式可得M（10，6），代入抛物线的方程可得36=2p（10），解得p=2或18则圆心C2到抛物线的准线的距离为5+=5+1=6或5+9=14故选：B二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共16分.11设i是虚数单位，复数z满足（zi）（1+i）2=2i，则z=1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据复数的运算法则的计算即可【解答】解：（zi）（1+i）2=2
15、i，（zi）2i=2i，z=1+i，故答案为：1+i12用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的奇数共有120个（用数字作答）【考点】计数原理的应用【分析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为1、3、5中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，首位数字为5时，首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案【解答】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为1、3、5中其中1个；分两种情况讨论：首位数字为5时，末位数字
16、有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有224=48个，首位数字为4时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有324=72个，共有72+48=120个故答案：12013在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知2sinA=3sinB，ab=c，则cosC=【考点】余弦定理【分析】由已知及正弦定理可得a=，结合ab=c，解得c=2b，利用余弦定理即可计算求得cosC的值【解答】解：在ABC中，2sinA=3sinB，由正弦定理可得：2a=3b，即a=，ab=b=c，解得：c=2b
17、，cosC=故答案为：14定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f=f（x1）f（x2）推导可得f（x）=f（x3）=f（x6），从而解得【解答】解：f（x）=f（x1）f（x2）=f（x2）f（x3）f（x2）=f（x3），f（x）=f（x3）=f（x6），故f=f（0）=llog3（20）=log32，故答案为：log3215在直角坐标系中，定义两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“直角距离”为d（A，B）=|x1x2|+|y1y2|现有以下命题：若A，B是x轴上两点，则d（A，B）=|x1x2|；已知点A（1，2），点B在线段x+y=1（x0，1）上，则d（A，B）为定值；已
18、知点A（2，1），点B在椭圆+y2=1上，则d（A，B）的取值范围是（1，5）；若|AB|表示A，B两点间的距离，那么|AB|d（A，B）其中真命题的是（写出所有真命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据题意，可得y1=y2=0，根据定义直接判断；利用定义可得出d（A，B）=|1x|+|1+x|，利用x的范围去绝对值可得结论；利用换元法得出则d（A，B）=32sin（+），进而求出d的范围；根据均值定理公式ab，结合定义和距离的内在关系得出结论【解答】解：若A，B是x轴上两点，y1=y2=0，则d（A，B）=|x1x2|，故正确；已知点A（1，2），点B在线段x+y=1（x0，1）
19、上，则d（A，B）=|1x|+|1+x|=2，故正确；已知点A（2，1），点B在椭圆+y2=1上，设x=sin，则y=cos，则d（A，B）=32sin（+），故d的取值范围是（1，5），故正确；若|AB|表示A，B两点间的距离，设a=|x1x2|，b=|y1y2|，ab，d2=a2+b2+2ab，d2a2b2=2ab，|AB|d（A，B），故正确故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知数列an的前n项和Sn满足an+1=2Sn+a1，且a1，a2+2，a3成等差数列（）求数列an的通项公式an；（）证明+对任意正整n成立【考点】数列递推
20、式；数列与不等式的综合【分析】（）首先讨论，从而可得数列an满足an+1=3an，再结合a1，a2+2，a3成等差数列求得a1=1，从而写出通项公式；（）由等比数列前n项和公式求和，从而证明【解答】解：（）当n=1时，a2=3a1，当n2时，an+1=2Sn+a1，an=2Sn1+a1，两式作差可得，an+1=3an，故数列an满足an+1=3an，又a1，a2+2，a3成等差数列，a1+9a1=2（3a1+2），解得，a1=1，故数列an是以1为首项，3为公比的等比数列，故通项公式an=3n1（）证明：由（）知， =，故+=（1）对任意正整n成立1740名高三学生某次数学考试成绩（单位：分）
21、的频率分布直方图如下：（）求频率分布直方图中x的值；（）分别求出成绩落在从成绩落在由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出x（）先求出成绩落在成绩落在由频率分布直方图，得：（0.0052+2x+0.015+0.020+0.035）10=1，解得x=0.01（）成绩落在成绩落在=，P（X=1）=，P（X=2）=，X的分布列为： X 0 1 2 PEX=18已知函数f（x）=2sinxsin（x）+2cos2x+a的最大值为3（）求f（x）的对称轴方程和a的值；（）试讨论函数f（x）在区间，上的单调性【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（）由三角函数公式化简可得f（x）=2
22、sin（2x+）+a+1，由已知最值可得a=0，解2x+=k+可得对称轴方程；（）解2k2x+2k+可得单调递增区间，和已知区间取交集可得单调递增区间，同时可得单调递减区间【解答】解：（）由三角函数公式化简可得f（x）=2sinxsin（x）+2cos2x+a=2sinxcosx+2cos2x+a=sin2x+cos2x+a+1=2sin（2x+）+a+1，函数的最大值为3，2+a+1=3，解得a=0，故f（x）=2sin（2x+）+1，令2x+=k+可得x=k+，故f（x）的对称轴方程为x=k+，kZ；（）令2k2x+2k+可得kxk+，kZ，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为，函数f
23、（x）在区间，上的单调递减19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ADBC，侧棱PA底面ABCD，且PA=AB=BC=2，AD=1（）试作出平面PAB与平面PCD的交线EP（不需要说明画法和理由）；（）求证：直线EP平面PBC；（）求二面角CPBD的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）延长BA，CD，交于点E，由此作出平面PAB与平面PCD的交线EP（）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线EP平面PBC（）求出平面PBC的法向量和平面PBD的法向量，利用向量法能求出二面角CPBD的余弦
24、值【解答】解：（）延长BA，CD，交于点E，连结EP，由此作出平面PAB与平面PCD的交线EP证明：（）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ADBC，侧棱PA底面ABCD，且PA=AB=BC=2，AD=1，以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，E（0，2，0），P（0，0，2），B（0，2，0），C（2，2，0），=（0，2，2），=（0，2，2），=（2，2，2），=0+44=0， =0+44=0，EPPC，EPPB，又PCPB=P，直线EP平面PBC解：（）设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，1），设平面PBD
25、的法向量=（a，b，c），D（1，0，0），=（1，0，2），取b=1，得=（2，1，1），设二面角CPBD的平面角为，则cos=二面角CPBD的余弦值为20已知椭圆C： +=1（ab0）过点（0，1），且离心率e=（）求椭圆C的方程；（）已知直线l与椭圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且OAB的面积为S，其中O为坐标原点，当S取得最大值时，求y+y的值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）运用离心率公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（）设直线l的方程为x=my+t，代入椭圆方程可得（4+m2）y2+2mty+t24=0，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线
26、的距离公式，三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到最大值，计算化简即可得到所求值为1【解答】解：（）由题意可得b=1，且e=，a2b2=c2，解得a=2，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（）设直线l的方程为x=my+t，代入椭圆方程可得（4+m2）y2+2mty+t24=0，判别式为4m2t24（4+m2）（t24）0，即为4+m2t2，y1+y2，y1y2=，则S=d|AB|=|t|=，当且仅当t2=4+m2t2，即4+m2=2t2，S取得最大值即有y+y=（y1+y2）22y1y2=（）22=121设函数f（x）=b+axex，其中a，b为实数，e=2.71828（）当b=0时，求曲线
27、y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求函数f（x）在区间0，1上的最大值；（）若函数g（x）=f（x）+ax2+（ba）xb+1，g（1）=0，且g（x）在（0，1）内有零点，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数的导数，计算，f（0），f（0），求出切线方程即可；（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，从而求出函数的最大值即可；（）求出导数，g（1）=0，可得b=ea1，得到g（x）=ax2+（ea1）xex+1，结合（）运用函数零点存在定理，结合函数的单调性，即可得到所求范围【解答】解：（）b=0时
28、，f（x）=axex，f（x）=aex，f（0）=1，f（0）=a1，故切线方程是：y+1=（a1）x，即y=（a1）x1；（）f（x）=aex，a0时，f（x）0，f（x）在0，1递减，f（x）max=f（0）=b1；a0时，令f（x）=0，解得：x=lna，令f（x）0，解得：xlna，令f（x）0，解得：xlna，f（x）在（，lna）递增，在（lna，+）递减，lna0即0a1时，f（x）在0，1递减，f（x）max=f（0）=b1；0lna1即1ae时，f（x）在0，lna）递增，在（lna，1递减，f（x）max=f（lna）=ba+alna，lna1即ae时，f（x）在0，1递增
29、，f（x）max=f（1）=b+ae；综上，a1时，f（x）max=b1，1ae时，f（x）max=ba+alna，ae时，f（x）max=b+ae；（）g（x）=ax2+bxex+1，由g（1）=0，可得b=ea1，g（x）=ax2+（ea1）xex+1，g（x）=ax+（ea1）ex，又g（0）=0若函数g（x）在区间（0，1）内有零点，设x0为g（x）在区间（0，1）内的一个零点，则由g（0）=g（x0）=0可知，g（x）在区间（0，x0）内不可能单调递增，也不可能单调递减，则g（x）在区间（0，x0）内不可能恒为正，也不可能恒为负故g（x）在区间（0，x0）内存在零点x1同理g（x）在
30、区间（x0，1）内存在零点x2故函数g（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，g（x）在区间（0，1）内至少有两个零点，g（x）=aex，由（）知当a1或ae时，函数g（x）在区间0，1内单调，不可能满足“函数g（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求若1ae，此时g（x）在区间（0，lna）内单调递增，在区间（lna，1）内单调递减因此x1（0，lna），x2（lna，1），由g（x）max=g（lna）=（+e1）lnaa+1，不妨令h（x）=（+e1）lnxx+1，（1xe），则h（x）=lnx+，h（x）=，令h（x）0，解得：x，令h（x）0，解得：x，h（x）在（1，）递减，在（，e）递增，h（x）min=h（）= ln+10，h（x）在（1，e）递增，h（x）h（1）=0，即g（x）max0，于是，函数g（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，只需，即，解得：1a2；故满足条件的a的范围是（1，2）2016年9月9日
