1、绝密启用前郑州市盛同学校2017-2018学年高二上学期期中考试数学试卷（理科）注意：本试卷包含、两卷。第卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，集合A=2，3，5，9，集合B=4，5，6，7，9，则（UA）（UB）=（ ）A. 5，9B. 2，3C. 1，8，10D. 4，6，72. 已知在ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=（ ）A. 1：2：
2、3B. C. D. 3. 设x1，则x+的最小值是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 74. 设等差数列an的前n项和为Sn，若2a8=6+a11，则S9的值等于（ ）A. 54B. 45C. 36D. 275. 已知数列an为等比数列，其前n项和Sn=3n-1+t，则t的值为（ ）A. -1B. -3C. D. 16. 在ABC中，a=x，b=2，B=45，若该三角形有两个解，则x的取值范围是（ ）A. x2B. x2C. D. 7. 裴波那契数列的通项公式为an=（）n-（）n，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例，由此，a5=（ ）A. 3B. 5C. 8D. 138. 在
3、正项等比数列an中，a1008a1009=，则lga1+lga2+lga2016=（ ）A. 2015B. 2016C. -2015D. -20169. 关于x的不等式ax-b0的解集为（-，1），则不等式0的解集为（ ）A. （-1，2）B. （-，1）（1，2）C. （1，2）D. （-，-1）（-1，2）10. 在ABC中，若=，则ABC的形状是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形11. 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等据此可判断
4、丙必定值班的日期是（ ）A. 2日和5日B. 5日和6日C. 6日和11日D. 2日和11日12. 若关于x的方程x2+ax+a2-a-2=0的一根大于1，另一根小于1，则a的取值范围为（ ）A. 0a1B. a-1C. -1a1D. a1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=-1，an+1=2Sn，（nN*），则Sn= _ 14. 在约束条件下，目标函数z=|x-y+4|的最大值为_ 15. 在ABC中，C=90，CD是斜边上的高，已知CD=60，AD=25，求BD= _ 16. 若-1a0，则不等式-的最大值为_ 三、解答题（本大题共6
5、小题，共70.0分）17. 解不等式：ax2-2（a+1）x+4018. 已知数列an满足：an0，a1=，an-an+1=2anan+1（nN*）（1）求证：是等差数列，并求出an；（2）证明：a1a2+a2a3+anan+119. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC-bcosC=ccosB-ccosA，且C=120（1）求角A；（2）若a=2，求c20. 已知数列an的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列bn中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上（1）求a1和a2的值；（2）求数列an，bn的通项an和bn；（3）设cn=anbn
6、，求数列cn的前n项和Tn21. 小张打算在2001年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，按复利计算，要求从贷款开始到2010年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢（保留两位小数）？（提示：（1+4%）101.48）22. 在ABC中，a，b，c分别表示角A，B，C对边的长，满足（2b-c）cosA=acosC（1）求角A的大小；（2）已知BC=6，点D在BC边上，若AD为ABC的中线，且b=2，求AD长；若AD为ABC的高，且AD=3，求证：ABC为等边三角形答案和解析【答案】1. C2. C3. B4. A5. C6. C7. B8. D9. C
7、10. D11. C12. C13. -3n-114. 515. 14416. -3-217. 解：ax2-2（a+1）x+40，（ax-2）（x-2）0，1、a=0时，原不等式的解集为x|x2；2、a0时，原不等式的解集为x|x2；3、0a1时，原不等式的解集为x|x或x2；4、a=1时，原不等式的解集为：x|x2，xR；5、a1时，原不等式的解集为x|x或x218. 证明：（1）a1=，an-an+1=2anan+1可得-=2，则是首项为3，公差为2的等差数列，=+2（n-1）=3+2（n-1）=2n+1，即有an=；（2）证明：a1a2+a2a3+anan+1=+=（-+-+-）=（-）
8、=-19. 解：由正弦定理，得：sinAcosC-sinBcosC=sinCcosB-sinCcosA，整理得：sinAcosC+sinCcosA=sinCcosB+sinBcosC，即sin（A+C）=sin（B+C），sinB=sinA，又C=120，B=A=30，a=2，b=2，由余弦定理得：a2+b2-2abcosC=4+4-222（-）=12，c=220. 解：（1）an是Sn与2的等差中项Sn=2an-2a1=S1=2a1-2，解得a1=2 a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4 （2）Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，又Sn-Sn-1=an，n2 an=2an-2a
9、n-1，an0，=2（n2），即数列an是等比数列，a1=2，an=2n点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，bn-bn+1+2=0，bn+1-bn=2，即数列bn是等差数列，又b1=1，bn=2n-1，（3）cn=（2n-1）2nTn=a1b1+a2b2+anbn=12+322+523+（2n-1）2n，2Tn=122+323+（2n-3）2n+（2n-1）2n+1因此：-Tn=12+（222+223+22n）-（2n-1）2n+1，即：-Tn=12+（23+24+2n+1）-（2n-1）2n+1，Tn=（2n-3）2n+1+621. 解：50万元10年产生本息和与每年存入x万元的本
10、息和相等，故有购房款50万元十年的本息和：50（1+4%）104 分每年存入x万元的本息和：x（1+4%）9+x（1+4%）8+x（8分）=x（10分）从而有 50（1+4%）10=x解得：x6.17（万元）12分22. （本小题满分16分）解：（1）由正弦定理得（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC（ 2分）所以2sinBcosA=sinB，所以cosA=，（4分）因为0A180，所以A=60（ 5分）（不给A的范围扣1分）（2）由正弦定理得=，又因为BC=6，b=，A=60，所以sinB=（ 7分）因为0B180，所以B=30或B=150（8分）因为A+B180，所以B=30（
11、 10分）因为D是BC的中点，所以DC=3由勾股定理知AD=（ 11分）因为=，又因为AD=，BC=6，sinA=，所以ABAC=36（13分）因为BC2=AB2+AC2-2ABACcosA，所以AB2+AC2=72，（15分）所以AB+AC=12，所以AB=AC=6所以ABC为等边三角形（16分）本题第3问若用两角和与差的正切公式也给分【解析】1. 解：全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，集合A=2，3，5，9，集合B=4，5，6，7，9，UA=1，2，4，6，7，8，10，UB=1，2，3，8，10，则（UA）（UB）=1，8，10故选：C根据全集U，以及A与B，求出A与B的
12、补集，找出两补集的交集即可此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2. 解：由题意：角A，B，C是ABC的内角，B+A+C= A：B：C=1：2：3，A=30，B=60，C=90 根据正弦定理：sinA：sinB：sinC=a：b：ca：b：c=1：2 故选C根据三角形内角和定理和正弦定理即可求解本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题3. 解：x1，+1=5当且仅当x=3时取等号故选B利用基本不等式即可得出熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键4. 解：2a8=a11+6 由等差数列的性质可得，2a8=a11+a5=a11+6 从而可得，a
13、5=6 由等差数列的前n项和可得，故选：A由已知2a8=a11+6，结合等差数列的性质可得，2a8=a11+a5=a11+6从而可得，a5=6，代入等差数列的前n项和，然后利用利用等差数列的性质及所求的a5的值代入可求得答案本题主要考查了等差数列的前n项和的求解，关键是由已知2a8=a11+6，结合等差数列的性质可得，2a8=a11+a5=a11+6，求出a5，在求和时利用等差数列的和时又一次利用了性质a1+a9=2a5灵活利用等差数列的性质是解得本题的关键5. 解：等比数列an的前n项和Sn=3n-1+t，n=1时，a1=S1=1+t；n2时，an=Sn-Sn-1=3n-1+t-（3n-2+
14、t）=23n-2，n=1时上式成立，1+t=23-1，解得t=-故选：C等比数列an的前n项和Sn=3n-1+t，n=1时，a1=S1；n2时，an=Sn-Sn-1，n=1时上式成立，即可得出本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6. 解：由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，当A=90时，圆与AB相切；当A=45时交于B点，也就是只有一解，45A90，sinA1，由正弦定理以及asinB=bsinA可得：a=x=2sinA，2sinA（2，）x的取值范围是（2，）故选：C由题意判断出三角形有两解
15、时，A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出x的范围即可此题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键7. 解：an=（）n-（）n，a1=1，同理可得：a2=1，a3=2，a4=3，a5=5故选：B利用通项公式即可得出本题考查了裴波那契数列、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8. 解：由正项等比数列an的性质可得：a1a2016=a2a2015=a1008a1009=，则lga1+lga2+lga2016=lg（a1a2a2015a2016）=-2016故选：D由正项等比数列an的性质可得：a1a2016=a2a2015=
16、a1008a1009，再利用对数的运算性质即可得出本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9. 解：关于x的不等式ax-b0的解集为（-，1），a0，且=1则不等式0即0，解得1x2，故选：C由题意可得a0，且=1，不等式0即0，由此求得不等式的解集本题主要考查一次不等式、分式不等式的解法，注意a的符号，体现了转化的数学思想，属于中档题10. 解：=，可得：（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sinC，2Rsin（A-B）=2R（sinAcosB-cosAsinB）=2RsinAcosB-2RsinBcosA=a-b=，已知等式变形得：（a2+b
17、2）=（a2-b2），a2=b2或a2+b2=c2，则ABC是等腰三角形或直角三角形故选：D先利用三角函数的和角公式化左边=2R（sinAcosB-cosAsinB），再利用余弦化成三角形边的关系化简已知等式“（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sinC”，得到a2=b2或a2+b2=c2，从而得出该三角形是等腰三角形或直角三角形此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，考查了转化思想，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题11. 解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在
18、8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选：C确定三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，即可确定丙必定值班的日期本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础12. 解：关于x的方程x2+ax+a2-a-2=0的一根大于1，另一根小于1，令f（x）=x2+ax+a2-a-2，则f（1）=1+a+a2-a-2=a2-10，求得-1a1，故选：C利用一元二次方程的根的分布与系
19、数的关系，二次函数的性质，求得a的取值范围本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题13. 解：an+1=2Sn，an=2Sn-1（n2），两式相减得：an+1-an=2an，即an+1=3an（n2），又a1=-1，a2=2S1=-2不满足上式，an=，Sn=an+1=（-2）3n-1=-3n-1，故答案为：-3n-1通过an+1=2Sn与an=2Sn-1（n2）作差，进而可知从第二项起数列an构成以-2为首项、3为公比的等比数列，进而计算可得结论本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题14. 解：画出满足条件的平面区域，
20、如图示：，由z=|x-y+4|，得：y=x+4z，结合图象：若4z=2，则，|z|=2，若4z=-1，则|z|=5，故答案为：5画出满足条件的平面区域，结合图象求出|z|的最大值即可本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题15. 解：如图所示，由射影定理可得：CD2=ADBD，=144故答案为：144由射影定理可得：CD2=ADBD，代入解出即可本题考查了射影定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16. 解：设f（a）=-，f（a）=-+=，-1a0，令f（a）=0，解得a=-2+，当f（a）0，即（-2+，0）单调递减，当f（a）0，即（-1，-2+）单调递增，当a=
21、-2+函数f（a）有最大值，即f（-2+）=，故答案为：-3-2设f（a）=-，求导，根据导数求出函数的最值本题考查了函数导数和函数的最值的关系，关键时构造函数，属于中档题17. 由于ax2-2（a+1）x+4=（ax-2）（x-2），对a分a=0，a0，0a讨论，当a0时，再比较与2的大小即可求得ax2-2（a+1）x+40的解集本题考查一元二次不等式的解法，着重考查含参数的不等式的解法，突出考查分类讨论思想的运用，属于中档题18. （1）两边除以anan+1，由等差数列的定义和通项公式，即可得证，由等差数列的通项公式即可得到；（2）运用数列的求和方法：裂项相消求和，运用不等式的性质，即可得
22、证本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，注意运用不等式的性质，属于中档题19. 利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，再利用诱导公式化简，根据C的度数，求出A与B的度数，得到A与B的度数相等，利用等角对等边得到a=b，由a的值求出b的值，然后由a，b及cosC的值，利用余弦定理即可求出c的值此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键20. （1）先利用an是Sn与2的等差中项把1代入即可求a1，再把2代入即可求a2的值；（2）利用Sn=2an-2，可得
23、Sn-1=2an-1-2，两式作差即可求数列an的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；对于数列bn，直接利用点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，代入得数列bn是等差数列即可求通项；（3）先把所求结论代入求出数列cn的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和本题考查了数列求和的错位相减法错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列考查计算能力21. 设出每年应还款的数额，分别求出50万元10年产生本息和与每年存入x万元的本息和，列等式后求得每年应还款数本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，关键是列出贷款和还款本息的等式，是中档题22. （1）由正弦定理化简可得2sinBcosA=sinB，求得cosA=，进而可求得A=60（2）由正弦定理及已知可求得sinB=，进而可求B的值，再求得DC的值，从而由勾股定理求得AD的值由=可求得ABAC=36，由余弦定理可求得AB2+AC2=72，从而求得：AB+AC=12，即有：AB=AC=12本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，属于中档题