1、2019-2020学年高一数学下学期开学测试试题（含解析）注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.本试卷满分150分，测试时间120分钟.5.考试范围：必修一：第1章第3章，必修四：第1章第3章.第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用列举法,表示出两个集合的若干个元素,根据元素特征即可判断两个集合的关系.【详解】因为则则根据
2、集合与集合的关系可知故选:A【点睛】本题考查了集合与集合关系的判断,数集表示的意义,属于基础题.2.函数的图象的对称轴方程可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用ycosx的对称轴方程以及整体代入思想求出ycos（2x）的所有对称轴方程的表达式，然后看哪个答案符合要求即可【详解】ycosx的对称轴方程为xk，函数ycos（2x）中，令2xkx，kZ即为其对称轴方程上面四个选项中只有符合故选B【点睛】本题主要考查余弦函数的对称性以及整体代入思想的应用解决这类问题的关键在于牢记常见函数的性质并加以应用3.若点在角的终边上,则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B
3、【解析】【分析】先求出的值，确定点的坐标，结合定义求解的值.【详解】因为，所以点的坐标为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，已知角终边上一点，结合定义可求三角函数值,属于容易题.4.已知向量，满足，则（ ）A. 0B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量数量积的运算,代入化简即可求解.【详解】因为向量,满足,则故选:D【点睛】本题考查了向量数量积的运算,属于基础题.5.已知函数，在上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分段函数在R上单调递减,两段函数各自递减,且满足在左段的右端点大于等于右段的左端点,即在整个实数集
4、内为单调递减,即可求得实数的取值范围.【详解】因为函数,在上是减函数由函数的图像与性质可知,实数需满足解不等式组可得,即所以故选:B【点睛】本题考查了一次函数与二次函数单调性性质,分段函数单调性的判断方法,属于基础题.6.已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设扇形所在圆的半径为,扇形的弧长为,根据弧度定义求得与的关系.再根据扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形所在圆的半径为,扇形的弧长为由弧度定义可知,即 而扇形的周长为 代入可得解得所以扇形面积为 故选:C【点睛】本题考查了扇形的弧长与半径关系,扇形面积公式的求
5、法,属于基础题.7.已知定义在R上的函数满足，当时，则函数在上的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由,令代入可得,即可由求得时的解析式.再根据函数的解析式判断函数图像即可.【详解】由题意函数满足则若，则因为当时,所以当时, ,化简可得由函数解析式可知,函数图像在为以抛物线,对称轴为,顶点坐标为 函数在上为一直线,与轴交点为,结合选项可知B为正确选项故选:B【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质的综合应用,求得函数的解析式并判断图像,属于中档题.8.设函数，记，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式及函数定义,依次求得.由规
6、律即可求得的解析式.【详解】函数则 所以故选:A【点睛】本题考查了函数的定义及解析式的应用,通过前几项找函数解析式的规律,属于基础题.9.定义新运算，若方程在上的解为，则的值为（ ）A. B. C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】根据定义,将方程化简.结合余弦的降幂公式及正弦二倍角公式化简,即可得.由正弦函数的图像与性质,即可求得其在内的一条对称轴,可得，的等量关系,进而带入利用诱导公式化简即可求解.【详解】根据定义,则可化由余弦降幂公式及正弦二倍角公式化简可得由辅助角公式化简可得令当时,函数所以为的一条对称轴所以时,且即所以由诱导公式化简可知故选:B【点睛】本题考查了新定义的应用,由三
7、角函数降幂公式、二倍角公式及辅助角公式化简三角函数式,三角函数诱导公式化简求值,属于中档题.10.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据偶函数性质可判断在区间上单调递减,结合条件即可得关于的不等式,解不等式即可求得满足条件的取值范围.【详解】因为偶函数在区间上单调递增则在区间上单调递减不等式成立则,化简可得解得或即故选:C【点睛】本题考查了偶函数的性质与单调性的综合应用,由单调性解不等式,属于基础题.11.将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.如图是的部分图像，其中是其与轴的两个交点，是其上的点，且是等腰直角三角形
8、.则与的值分别是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】先由求出，然后根据是等腰直角三角形，求得，得到周期求出的值，将A点代入函数中去，解出.【详解】解：将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数为，因为是等腰直角三角形，所以，即，解得，所以周期，即，故，解得，当时，即，解得：，因为，所以，故选D.【点睛】本题考查了根据三角函数图像求解参数的问题，三角函数中常见的几个参数的一般解法是：由的值可以解出的值，由最值可以得出的值，由特殊点可以得出的值.12.在中，D为线段AC的中点，点E在边BC上，且，AE与BD交于点O，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析
9、】根据向量共线基本定理,可设.由向量线性运算,用不同方法表示出,可得关于和的方程组,解方程即可求得和的值,进而得的表示形式.【详解】根据题意, 在中,D为线段AC中点,点E在边BC上,且,AE与BD交于点,如下图所示:因为共线, 共线可设则同时由上述两式可得,解得所以代入故选:A【点睛】本题考查平面向量共线基本定理的应用,平面向量线性运算的应用,属于中档题.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.集合，若，则_【答案】【解析】【分析】根据集合的互异性原则,可知.令,再由集合的互异性及可得,即可解方程求得的值,进而求得的值.【详解】因为,且因为在集合A与集合B中,是等价的所以由可知,
10、不妨设则而由可知由集合互异性和集合可知所以而所以解得,或根据集合互异性可知或符合要求即此时 故答案为:【点睛】本题考查了集合互异性原则的应用,属于基础题.14.已知单位向量，不共线，当时，与的夹角为_【答案】【解析】【分析】根据向量垂直的数量积为0,结合向量的数量积运算,即可求得与的夹角.【详解】单位向量,不共线,满足由向量垂直时满足的关系为展开化简可得设与的夹角为 由平面向量数量积定义可得因为代入求得由可得故答案为:【点睛】本题考查了向量数量积的应用,向量垂直时的关系,属于基础题.15.若，则_【答案】【解析】【分析】根据诱导公式,将三角函数式化简可得,再由诱导公式及余弦的二倍角公式,化简即
11、可得解.【详解】因为化简可得,即由诱导公式化简得而由余弦的二倍角公式可知故答案为: 【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数化简中的应用,余弦二倍角公式的简单应用,属于中档题.16.定义函数，表示函数与较小的函数设函数，p为正实数，若关于x的方程恰有三个不同的解，则这三个解的和是_【答案】【解析】【分析】根据新定义,将函数分类讨论确定解析式形式.对分类讨论,确定的取值范围.进而得符合题意的解析式.根据解析式判断函数的单调性,结合函数示意图,即可求得方程的三个根,进而求得三个零点的和.【详解】因为,则 , 所以,当时, ,所以此时则若,当时, ,所以此时,则;当时, ,所以此时,则综上可知, 此时在
12、R上只有两个根,与题意恰有三个不同的解矛盾,所以不成立因而不成立,所以若,当时, ,由可解得所以此时 当时, ,此时,所以因为,即综上可知,此时 所以在上单调递减,此时在上单调递增,此时在上单调递减,此时在上单调递增,此时函数图像示意图如下图所示:当时,即 解得 所以三个零点的和为故答案为:【点睛】本题考查了函数在新定义中的应用,分类讨论确定函数解析式,函数零点的意义及求法,综合性强,属于难题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，（1）求集合B及；（2）已知集合，若，求实数a取值范围【答案】（1）; （2）【解析】【分析】（1）解不等式求得集合B,再根据并集运算
13、可求得.（2）根据集合与集合的关系,可得关于的不等式组,解不等式组即可求得参数的取值范围.【详解】（1）因为因为可化为解得所以因为集合所以由集合并集运算可得（2）集合,集合若则满足解得,即【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合并集的运算,根据集合的包含关系求参数的取值范围,属于基础题.18.已知向量，设函数，（1）求的最小正周期和最大值；（2）讨论在区间上的单调性【答案】（1）最小正周期为 ;最大值为（2）当时单调递增;当时, 单调递减.【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积定义,结合辅助角公式,求得函数的解析式,由周期公式及正弦函数的性质即可求得周期和最大值.（2）根据自变量的取值范
14、围,先求得的范围,结合正弦函数的单调性即可求得的单调区间.【详解】（1）因为向量,则由周期公式可得最小正周期为 由可得的最大值为（2）因为则由正弦函数的图像可知,当时为单调递增,此时时为单调递减,此时综上可知,当时单调递增;当时, 单调递减【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算,辅助角公式化简三角函数式,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于基础题.19.已知函数（1）用定义证明函数在R上是减函数；（2）探究是否存在实数a，使得函数为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（3）若，解不等式【答案】（1）证明见解析;（2）（3）【解析】【分析】（1）根据定义,利用作差法可证明函数在
15、R上是减函数;（2）利用奇函数的定义,代入即可求得的值.（3）利用奇函数的定义,将不等式变形,结合函数的单调性即可解不等式,求得的取值范围.【详解】（1）证明: 函数,定义域为R任取且则因为所以则,即所以函数在R上是减函数（2）若函数在R上是奇函数则满足即化简可得所以当时函数在R上是奇函数（3）由（2）可知,当时函数在R上是奇函数则可变形为由（1）可知函数在R上是减函数所以不等式可化为即解不等式可得或,即【点睛】本题考查了利用定义证明函数的单调性,利用奇函数定义求参数的值,并根据奇函数与单调性解不等式,综合性较强,属于中档题.20.如图，在梯形中，（）若，求实数的值； （）若，求数量积的值【答
16、案】（）（）【解析】【分析】（）根据平面向量基本定理求解，（）根据向量数量积定义求解.【详解】（）因为，所以,因此，（）【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量数量积，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.21.已知函数，是函数的零点，且的最小值为.（）求的值；（）设，若，求的值.【答案】() () 【解析】【分析】()利用二倍角公式和辅助角公式整理出，根据周期求得；()根据解析式可求解出，；再利用同角三角函数关系求出，；代入两角和差余弦公式求得结果.【详解】()的最小值为 ,即 ()由()知： 又 ，【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同
17、角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型.22.已知函数（1）若不等式在上恒成立，求a的取值范围；（2）若函数恰好有三个零点，求b的值及该函数的零点【答案】（1）（2）,函数的三个零点分别为【解析】【分析】（1）利用换元法,将不等式变形,构造成二次函数形式,结合二次函数的对称性及单调性即可求得的取值范围.（2）根据零点定义,可得对应的方程.利用换元法,将方程变形,由方程有三个零点和函数的对称性,可确定其中的一个解.将方程的解代入即可求得的值,再将的值代入即可求得方程的三个根,即函数的三个零点.【详解】（1）令,由可得则不等式在上恒成立,可化为在上恒成立即,变形可得所以因为,则所以根据二次函数的图像与性质可知实数满足所以实数的范围为（2）令,则由对数的性质可知函数的三个零点需满足所以,化简可得即化简可得因为恰好有三个实数根则必有一根为（否则根据函数的对称性可知会有四个根）即代入方程可解得 则方程可化为,解方程可得或当时,即,解得 综上可知,函数的三个零点分别为【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题的解法,二次函数图像与性质的综合应用,函数零点的定义及对应方程的解法,综合性强,属于难题.
