1、郑州市智林学校2017-2018学年高三上学期期中考试数学文科试题题号一二三总分得分一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合或，则A. B. C. D. 2. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数是，点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数是A. B. C. D. 3. 把函数的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为A. B. C. D. 4. 若，则以下命题为真的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5. 若，则的值为A. B. C. D. 36. 对于函数，下列说法正确的是A. 函数的最小正周期为B. 函数关于中心对称C. 函数在处取得最大值D.
2、 函数在单调递减7. 在中，O为中线AM上的一个动点，若，则的最小值是A. B. C. 1D. 28. 若为定义在R上的偶函数，且，当时，则当时，A. B. C. D. 9. 在四面体中，平面，则该四面体的外接球的表面积为A. B. C. D. 10. 已知函数，若，则a的值是A. 3或B. 或5C. D. 3或或511. 已知数列为等比数列的前n项和，则A. B. C. D. 12. 函数与的图象关于直线对称，分别是函数图象上的动点，则的最小值为A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量，若，则实数_ 14. 已知函数的对应关系如表所示，数列满足，则_
3、 x12332115. 如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为_ 单位：16. 设是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；，则其中正确的命题序号为_ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在中，角的对边分别为，且满足求角B的大小；若的面积为，求的值18. 已知等差数列中，且成等比数列求数列的通项公式；当时，若数列的前n项和为，设，求数列的前n项和19. 已知函数若，求函数的极值；当时，判断函数在区间上零点的个数20. 已知向量若，求；设的三边满足，且边，且边b所对应的角为x，若关于x的方程有且仅有一个实数根，求m的值21. 四棱
4、锥中，平面底面为棱PB上任一点证明：平面平面PAD；若为等边三角形，平面MAC把四棱锥分成两个几何体，当着两个几何体的体积之比：4时，求的值22. 已知函数，其中若曲线在点处的切线的斜率为1，求a的值；求函数的单调区间答案和解析【答案】1. 解：集合或，全集为Z，又，则故选：C根据补集与交集的定义，进行计算即可此题考查了交集及补集的运算问题，是基础题目2. C2. 解：向量对应的复数是，即，点A关于虚轴的对称点为，则向量对应的复数是，故选：B根据向量，复数的几何意义，结合点的对称性进行求解即可本题主要考查复数的几何意义，根据向量，复数的几何意义是解决本题的关键比较基础3. B3. 解：把函数的
5、图象向右平移个单位后，可得的图象，再令，求得，函数所得函数图象的一条对称轴为，故选：A由题意根据函数的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，得出结论本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题4. A4. 解：，若，不妨取，显然，不成立不正确不妨取，显然，不成立不正确不妨取，显然，但是，不成立不正确若，则，满足不等式的基本性质，D正确故选：D利用特例判断A、B、C的大小，即可判断A、B、C的正误，利用不等式的基本性质判断D的正误本题考查命题真假的判断与应用，不等式的基本性质，考查基本知识的应用5. D5. 解：，则，故选：D由条件求得，再根据，计算求得
6、结果本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题6. C6. 解：对于函数，它的最小正周期为，故排除A；当时，故函数的图象关于中心对称，故B满足条件；函数在处取得最小值为，故排除C；在上，函数为增函数，故排除D，故选：B由条件利用正弦函数的图象和性质，可得结论本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题7. B7. 解：由题意画出草图：由于点M为中边BC的中点，为中线AM上的一个动点，即A、O、M三点共线，当且仅当“”时取等号，得，又，则的最小值为故选：A由题意画出草图分析，由于在中，O为中线AM上的一个动点，可得，则，而，利用均值不等式即可求得的最小值本题考查了三角
7、形的中线，两向量的和的平行四边形法则，均值不等式及不等式的性质，是中档题8. A8. 解：由题意知，函数是周期为2的周期函数，且是偶函数，当时，当时，当时，当时，故选：D是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，先求当时，的表达式；再求当时的表达式本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的周期性，其中根据函数的奇偶性，求出函数的解析式是解答的关键9. C9. 解：，三角形ABC的外接圆半径为，平面，由于三角形OSA为等腰三角形，O是外接球的球心则有该三棱锥的外接球的半径，该三棱锥的外接球的表面积为故选：D求出BC，利用正弦定理可得外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面
8、积本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键10. D10. 解：若，则舍去若，则综上可得，或故选B结合题意，需要对a进行分类讨论，若，则；若，则，从而可求a本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是确定的表达式，体现了分类讨论思想的应用11. B11. 解：数列为等比数列的前n项和，由得到：或舍去，则，故选：B由为等比数列的前n项和，由前n项和公式求得和q的数量关系，然后再来解答问题本题考查了等边数量的前n项和，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键，注意：本题中不需要求得首项和公比的具体数值12. B12. 解：，函数的图象与关于直线对称，函
9、数到直线的距离的最小值的2倍，即可的最小值直线的斜率，由，即，解得，此时对于的切点坐标为，过函数图象上点的切线平行于直线，两条直线间距离d就是函数图象到直线的最小距离，此时，由函数图象的对称性可知，的最小值为故选：D根据函数和关于直线，则利用导数求出函数到直线的距离的最小值即可本题主要考查导数的应用以及两点间距离的求解，根据函数的对称性求出函数到直线的距离是解决本题的关键13. D13. 解：，且，解得故答案为：2由向量垂直可得，解关于k的方程可得本题考查数量积与向量垂直的关系，属基础题14. 214. 解：，故答案为：1由题意可知，分别求得，求得，即可本题考查列表表示函数对应关系的方法，考查
10、数列通项公式，考查计算能力，属于基础题15. 115. 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为4的正方体，去掉一个半径为4的球体，所以该几何体的体积为故答案为：根据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为4的正方体，去掉一个半径为4的球体，由此求出它的体积本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目16. 16. 解：对于，由线面平行的性质定理可知该命题正确，故正确；对于，如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面互相平行，在这个定理中“两条相交直线”这个条件必不可少没有这个条件，两平面就不一定平行，也可以相交，故不正确；对于，由面面垂直的性质定理可知该命题正确，故正确
11、；对于可能在平面内，故不正确故答案为：由线面平行的性质定理可知该命题正确；由面面平行的判断定理可知该命题错误，缺少一个重要条件，m和n是两条相交直线；由面面垂直的性质定理可知该命题正确；可能在平面内本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中直线与直线，直线与平面及平面与平面之间各种位置关系的定义，判定，性质及几何特征，是解答本题的关键17. 17. 利用正弦定理化简，通过两角和与差的三角函数求出，即可得到结果利用三角形的面积求出，通过由余弦定理求解即可本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力18. 解：因为分所以分所以分分由得分由余弦定理得分分1
12、8. 由已知可得，然后利用等差数列的通项代入可求d与的关系，再由，可求，进而可求通项由及时，可求，则，利用裂项可求数列的和本题主要考查；等差数列的通项公式及等比数列的性质的应用，裂项求和的应用，属于等差数列与等比数列的综合应用19. 解：成等比数列，或分由，得，或分或分当时，分则分分19. 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；根据a的范围，求出函数的单调区间，从而求出在上的零点个数即可本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题20. 解：，令，解得：，令，解得：或，在递减，在递增，在递减，；，时，在递增，在递减
13、，故，在上各有1个零点，即在上2个零点20. 根据向量的数量积公式与三角恒等变换公式化简，得到，结合同角三角函数的关系算出，再进行配角，利用两角和的余弦公式即可算出的大小根据余弦定理与基本不等式算出，从而可得，即函数的定义域为再利用正弦函数的图象研究的单调性，可得当或时，有唯一的x与对应，由此即可得到满足条件的实数m的值本题以向量的数量积运算为载体，考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题同时考查了函数与方程、数列结合与转化化归等数学思想，解题时要注意灵活运用所学的知识21. 解：又，；由于，可得，由此可得：；，由余弦定理可得：，是三角形的内角，即由可得，由，可得，当时，
14、为单调增函数；当时，为单调减函数当时，；当时，此时只有一个x与对应，即直线和有一个公共点若关于x的方程有且仅有一个实数根，实数m的值为1或21.由勾股定理可得，进而由面面垂直的性质得到：平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到：平面平面PAD；取AD的中点E，连接，易证平面平面ABCD，过M作于点N，则平面ABCD，由：4可得：4，进而可得MN的长，最后由在中，得到答案本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答本题的关键22. 证明：在中，由，可得：，平面底面ABCD，平面底面底面ABCD，平面PAD，又平面MAC，平面平面PAD
15、；解：取AD的中点E，连接PE，则，则平面ABCD，且，连接BE，则平面平面ABCD，过M作于点N，则平面ABCD，故，由：4得：4，即：4，解得：在中，22.对函数求导，根据导数的几何意义可求的图象在点处的切线斜率k，结合已知可求a先求函数的定义域为，要判断函数的单调区间，需要判断导数的正负，分类讨论：分当时，当时，当时，当时四种情况分别求解本题主要考查了函数的导数的求解，利用导数判断函数的单调区间，体现了分类讨论思想的应用23. 解：由，可知，函数定义域为，且由题意，解得令，得当时，令，得；令，得则函数的单调递减区间为，单调递增区间为当，即时，令，得或则函数的单调递增区间为令，得则函数的单
16、调递减区间为当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为当，即时，令，得或，则函数的单调递增区间为令，得则函数的单调递减区间为【解析】12. 解：集合或，全集为Z，又，则故选：C根据补集与交集的定义，进行计算即可此题考查了交集及补集的运算问题，是基础题目23. 解：向量对应的复数是，即，点A关于虚轴的对称点为，则向量对应的复数是，故选：B根据向量，复数的几何意义，结合点的对称性进行求解即可本题主要考查复数的几何意义，根据向量，复数的几何意义是解决本题的关键比较基础34. 解：把函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再令，求得，函数所得函数图象的一条对称轴为，故选：A由题意根据函数的图象变换规律，
17、正弦函数、余弦函数的图象的对称性，得出结论本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题45. 解：，若，不妨取，显然，不成立不正确不妨取，显然，不成立不正确不妨取，显然，但是，不成立不正确若，则，满足不等式的基本性质，D正确故选：D利用特例判断A、B、C的大小，即可判断A、B、C的正误，利用不等式的基本性质判断D的正误本题考查命题真假的判断与应用，不等式的基本性质，考查基本知识的应用56. 解：，则，故选：D由条件求得，再根据，计算求得结果本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题67. 解：对于函数，它的最小正周期为，故排除A；当时
18、，故函数的图象关于中心对称，故B满足条件；函数在处取得最小值为，故排除C；在上，函数为增函数，故排除D，故选：B由条件利用正弦函数的图象和性质，可得结论本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题78. 解：由题意画出草图：由于点M为中边BC的中点，为中线AM上的一个动点，即A、O、M三点共线，当且仅当“”时取等号，得，又，则的最小值为故选：A由题意画出草图分析，由于在中，O为中线AM上的一个动点，可得，则，而，利用均值不等式即可求得的最小值本题考查了三角形的中线，两向量的和的平行四边形法则，均值不等式及不等式的性质，是中档题89. 解：由题意知，函数是周期为2的周期函数，且是偶函数，当时，当
19、时，当时，当时，故选：D是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，先求当时，的表达式；再求当时的表达式本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的周期性，其中根据函数的奇偶性，求出函数的解析式是解答的关键910. 解：，三角形ABC的外接圆半径为，平面，由于三角形OSA为等腰三角形，O是外接球的球心则有该三棱锥的外接球的半径，该三棱锥的外接球的表面积为故选：D求出BC，利用正弦定理可得外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键1011. 解：若，则舍去若，则综上可得，或故选B结合题意，需
20、要对a进行分类讨论，若，则；若，则，从而可求a本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是确定的表达式，体现了分类讨论思想的应用1112. 解：数列为等比数列的前n项和，由得到：或舍去，则，故选：B由为等比数列的前n项和，由前n项和公式求得和q的数量关系，然后再来解答问题本题考查了等边数量的前n项和，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键，注意：本题中不需要求得首项和公比的具体数值1213. 解：，函数的图象与关于直线对称，函数到直线的距离的最小值的2倍，即可的最小值直线的斜率，由，即，解得，此时对于的切点坐标为，过函数图象上点的切线平行于直线，两条直线间距离d就是函数图象到直线的最小距离，
21、此时，由函数图象的对称性可知，的最小值为故选：D根据函数和关于直线，则利用导数求出函数到直线的距离的最小值即可本题主要考查导数的应用以及两点间距离的求解，根据函数的对称性求出函数到直线的距离是解决本题的关键1314. 解：，且，解得故答案为：2由向量垂直可得，解关于k的方程可得本题考查数量积与向量垂直的关系，属基础题1415. 解：，故答案为：1由题意可知，分别求得，求得，即可本题考查列表表示函数对应关系的方法，考查数列通项公式，考查计算能力，属于基础题1516. 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为4的正方体，去掉一个半径为4的球体，所以该几何体的体积为故答案为：根据几何体的三视图，
22、得出该几何体是棱长为4的正方体，去掉一个半径为4的球体，由此求出它的体积本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目1617. 解：对于，由线面平行的性质定理可知该命题正确，故正确；对于，如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面互相平行，在这个定理中“两条相交直线”这个条件必不可少没有这个条件，两平面就不一定平行，也可以相交，故不正确；对于，由面面垂直的性质定理可知该命题正确，故正确；对于可能在平面内，故不正确故答案为：由线面平行的性质定理可知该命题正确；由面面平行的判断定理可知该命题错误，缺少一个重要条件，m和n是两条相交直线；由面面垂直的性质定理可知该命题正确；可能
23、在平面内本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中直线与直线，直线与平面及平面与平面之间各种位置关系的定义，判定，性质及几何特征，是解答本题的关键1718. 利用正弦定理化简，通过两角和与差的三角函数求出，即可得到结果利用三角形的面积求出，通过由余弦定理求解即可本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力1819. 由已知可得，然后利用等差数列的通项代入可求d与的关系，再由，可求，进而可求通项由及时，可求，则，利用裂项可求数列的和本题主要考查；等差数列的通项公式及等比数列的性质的应用，裂项求和的应用，属于等差数列与等比数列的综合应用1920. 求出函
24、数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；根据a的范围，求出函数的单调区间，从而求出在上的零点个数即可本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题2021. 根据向量的数量积公式与三角恒等变换公式化简，得到，结合同角三角函数的关系算出，再进行配角，利用两角和的余弦公式即可算出的大小根据余弦定理与基本不等式算出，从而可得，即函数的定义域为再利用正弦函数的图象研究的单调性，可得当或时，有唯一的x与对应，由此即可得到满足条件的实数m的值本题以向量的数量积运算为载体，考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题同时
25、考查了函数与方程、数列结合与转化化归等数学思想，解题时要注意灵活运用所学的知识2122.由勾股定理可得，进而由面面垂直的性质得到：平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到：平面平面PAD；取AD的中点E，连接，易证平面平面ABCD，过M作于点N，则平面ABCD，由：4可得：4，进而可得MN的长，最后由在中，得到答案本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答本题的关键2223.对函数求导，根据导数的几何意义可求的图象在点处的切线斜率k，结合已知可求a先求函数的定义域为，要判断函数的单调区间，需要判断导数的正负，分类讨论：分当时，当时，当时，当时四种情况分别求解本题主要考查了函数的导数的求解，利用导数判断函数的单调区间，体现了分类讨论思想的应用