1、第2讲空间点、线、面的位置关系考情分析高考对该部分的考查，小题主要体现在两个方面：一是空间线面关系的命题的真假判断；二是体积、表面积的求解，空间中以垂直或平行关系的证明为主，中等难度考点一空间线、面位置关系的判定核心提炼判断空间线、面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断例1(1)已知直线a，b，平面，下列命题正确的是()A若，a，则aB若a，b，c，则abcC若a，ba，则bD若，a，b，则ba答案A解析A中，若，a，则a，该说法正确；B中，若
2、a，b，c，在三棱锥PABC中，令平面，分别为平面PAB，平面PAC，平面PBC，交线a，b，c为PA，PB，PC，不满足abc，该说法错误；C中，若a，ba，有可能b，不满足b，该说法错误；D中，若，a，b，正方体ABCDA1B1C1D1中，令平面，分别为平面ABCD，平面ADD1A1，交线a为AD，当直线b为A1C1时，满足b，不满足ba，该说法错误(2)(2019全国)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBM
3、EN，且直线BM，EN是异面直线答案B解析如图，取CD的中点O，连接ON，EO，因为ECD为正三角形，所以EOCD，又平面ECD平面ABCD，平面ECD平面ABCDCD，所以EO平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO，ON1，所以EN2EO2ON24，得EN2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP，CP，所以BM2MP2BP222227，得BM，所以BMEN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线易错提醒(1)定理中的条件理解不全面(2)直接将平面几何中的结论引入到立体几何中跟踪演练1(1)若
4、m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m，n，则mn答案A解析对于选项A，由n，可得n或n，又m，所以可得mn，故A正确；对于选项B，由条件可得mn或mn，或m与n既不垂直也不平行，故B不正确；对于选项C，由条件可得mn或m，n相交或m，n异面，故C不正确；对于选项D，由题意得mn，故D不正确(2)(多选)如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别为AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是()AM，N，P，Q四点共面BQMECBDCBCDMEQD四边形MNPQ为梯形答案ABC解析由三角形的
5、中位线定理，易知MQBD，MEBC，QECD，NPBD.对于A，有MQNP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；对于B，根据等角定理，得QMECBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知QMECBD，MEQBCD，所以BCDMEQ，故C说法正确；对于D，由三角形的中位线定理，知MQBD，MQBD，NPBD，NPBD，所以MQNP，MQNP，所以四边形MNPQ是平行四边形，故D说法不正确考点二空间平行、垂直关系核心提炼平行关系及垂直关系的转化考向1平行、垂直关系的证明例2(2020山西省长治第二中学月考)如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点求证：
6、(1)PA平面BDE；(2)平面PAC平面BDE.证明(1)如图，ACBDO，连接OE，在PAC中，O是AC的中点，E是PC的中点，OEAP，又OE平面BDE，PA平面BDE.PA平面BDE.(2)PO底面ABCD，BD底面ABCD，POBD，又ACBD，且ACPOO，AC平面PAC，PO平面PAC，BD平面PAC，而BD平面BDE，平面PAC平面BDE.考向2翻折问题例3(2020莆田第一联盟体联考)如图，正方形ABCD的边长为2，以AC为折痕把ACD折起，使点D到达点P的位置，且PAPB.(1)证明：平面PAC平面ABC；(2)若M是PC的中点，设(01)，且三棱锥ABMN的体积为，求的值
7、(1)证明如图，取AC的中点O，连接PO，BO.因为PCPA，所以POAC.在POB中，POOBAC2，PBPA2，则PB2PO2OB2，所以POOB，又ACOBO，且AC，OB平面ABC，所以PO平面ABC，又PO平面PAC，所以平面PAC平面ABC.(2)解因为平面PAC平面ABC，又平面PAC平面ABCAC，且BOAC，所以OB平面PAC，所以VABMNVBAMNSAMNBO.又因为OB2，VABMN，所以SAMN.因为，所以SAMN(1)SAPMSPAC.又SPACPAPC4，所以4，得.易错提醒(1)证明线面平行时，忽略“直线在平面外”“直线在平面内”的条件(2)证明面面平行时，忽略
8、“两直线相交”“两直线在平面内”的条件(3)证明线面垂直时，容易忽略“平面内两条相交直线”这一条件跟踪演练2(2019全国)图是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图.(1)证明：图中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图中的四边形ACGD的面积(1)证明由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，又BEBCB，且BE，BC平面BCGE，故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以
9、平面ABC平面BCGE.(2)解如图，取CG的中点M，连接EM，DM.因为ABDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG.由已知，四边形BCGE是菱形，且EBC60，得EMCG，DEEME，DE，EM平面DEM，故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中，DE1，EM，故DM2.所以四边形ACGD的面积为SCGDM224.专题强化练一、单项选择题1.如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线ACB直线ABC直线CDD直线BC答案C解析由题意知，Dl，l，D.又DAB，D平面ABC，点D在平面ABC与平面的交线上又C平面ABC，C，点
10、C在平面与平面ABC的交线上，平面ABC平面直线CD.2设直线m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A若m，n，mn，则B若m，n，mn，则C若m，n，mn，则D若m，n，mn，则答案D解析对于A，m，n，mn，则与可能平行，也可能相交，所以A不正确；对于B，n，mn，则m，又m，则，所以B不正确；对于C，m，n，mn，则与可能平行也可能相交，所以C不正确；对于D，m，mn，则n，又n，所以，所以D正确故选D.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1DA1EAC答案C解析在正方体中连接A1D，AD1，B1
11、C，由正方体的性质知AD1A1D，CDAD1，又A1DCDD，且A1D，CD平面A1B1CD，AD1平面A1B1CD，又BC1AD1，BC1平面A1B1CD，A1E平面A1B1CD，BC1A1E.4点E，F分别是三棱锥PABC的棱AP，BC的中点，AB6，PC8，EF5，则异面直线AB与PC所成的角为()A90B45C30D60答案A解析如图，取PB的中点G，连接EG，FG，则EGAB，GFPC，EGAB，GFPC，则EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角，在EFG中，EGAB3，FGPC4，EF5，EG2FG2EF2，所以EGF90.5.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，
12、M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面平面AMN，则平面截该正方体所得截面的面积为()A.B.C.D.答案B解析如图，分别取C1D1，B1C1的中点P，Q，连接PQ，B1D1，DP，BQ，NP，易知MNB1D1BD，ADNP，ADNP，所以四边形ANPD为平行四边形，所以ANDP.又BD和DP为平面DBQP内的两条相交直线，AN，MN为平面AMN内的两条相交直线，所以平面DBQP平面AMN，四边形DBQP的面积即所求因为PQDB，所以四边形DBQP为梯形，PQBD，梯形的高h，所以四边形DBQP的面积为(PQBD)h.6已知正方体ABCDA1B1C1D1的体积为16，点P在正方
13、形A1B1C1D1上且A1，C到P的距离分别为2，2，则直线CP与平面BDD1B1所成角的正切值为()A.B.C.D.答案A解析易知AB2，连接C1P，在RtCC1P中，可计算C1P2，又A1P2，A1C14，所以P是A1C1的中点，连接AC与BD交于点O，易证AC平面BDD1B1，直线CP在平面BDD1B1内的射影是OP，所以CPO就是直线CP与平面BDD1B1所成的角，在RtCPO中，tanCPO.二、多项选择题7如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，翻折ABD和ACD，使得平面ABD平面ACD.下列结论正确的是()ABDACBBAC是等边三角形C三棱锥DABC是正三棱锥
14、D平面ADC平面ABC答案ABC解析由题意易知，BD平面ADC，又AC平面ADC，故BDAC，A中结论正确；设等腰直角三角形ABC的腰为a，则BCa，由A知BD平面ADC，CD平面ADC，BDCD，又BDCDa，由勾股定理得BCaa，ABACBC，则BAC是等边三角形，B中结论正确；易知DADBDC，又由B可知C中结论正确，D中结论错误8.如图，点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论正确的是()A三棱锥AD1PC的体积不变BA1P平面ACD1CDPBC1D平面PDB1平面ACD1答案ABD解析对于A，连接AD1，CD1，AC，D1P，如图，由题意知AD1BC
15、1，AD1平面AD1C，BC1平面AD1C，从而BC1平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面的三棱锥AD1PC的体积不变，故A正确；对于B，连接A1B，A1C1，A1P，则A1C1AC，易知A1C1平面AD1C，由A知，BC1平面AD1C，又A1C1BC1C1，所以平面BA1C1平面ACD1，又A1P平面A1C1B，所以A1P平面ACD1，故B正确；对于C，由于DC平面BCC1B1，所以DCBC1，若DPBC1，则BC1平面DCP，BC1PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故C错误；对于D，连接DB1，PD，由DB1AC且DB1AD1，可得
16、DB1平面ACD1，从而由面面垂直的判定定理知平面PDB1平面ACD1，故D正确三、填空题9.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1DC1的位置关系是_答案平行解析易证A1C1，A1D都与平面AB1C平行，且A1DA1C1A1，所以平面AB1C平面A1DC1.10正方体ABCDA1B1C1D1的棱和六个面的对角线共有24条，其中与体对角线AC1垂直的有_条答案6解析如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BDAC.C1C平面BCD，BD平面BCD，C1CBD，又ACCC1C，BD平面ACC1，又AC1平面ACC1，AC1BD.同理A1B，A1D，B1D1，C
17、D1，B1C都与AC1垂直正方体ABCDA1B1C1D1的棱中没有与AC1垂直的棱，故与体对角线AC1垂直的有6条11(2020全国改编)设有下列四个命题：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；过空间中任意三点有且仅有一个平面；若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；若直线l平面，直线m平面，则ml.则上述命题中所有真命题的序号是_答案解析是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知为真命题；是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；是假命题，因为空间两条
18、直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线从而为真命题12.如图，已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB，AD，AA1的中点，又P，Q分别在线段A1B1，A1D1上，且A1PA1Qx(0x1)设平面MEF平面MPQl，现有下列结论：l平面ABCD；lAC；直线l与平面BCC1B1不垂直；当x变化时，l不是定直线其中成立的结论是_(写出所有成立结论的序号)答案解析连接BD，B1D1，A1PA1Qx，PQB1D1BDEF，易证PQ平面MEF，又平面MEF平面MPQl，PQl，lEF，l平面ABCD，故
19、成立；又EFAC，lAC，故成立；lEFBD，易知直线l与平面BCC1B1不垂直，故成立；当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故不成立四、解答题13.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，侧面BCC1B1底面ABC，E，F分别为棱BC和A1C1的中点(1)求证：EF平面ABB1A1；(2)求证：平面AEF平面BCC1B1.证明(1)如图，取A1B1的中点G，连接BG，FG，在A1B1C1中，因为F，G分别为A1C1，A1B1的中点，所以FGB1C1，且FGB1C1.在三棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1.又E为棱BC的中点，所以FGBE，且FGBE，所以四边形BEF
20、G为平行四边形，所以EFBG，又因为BG平面ABB1A1，EF平面ABB1A1，所以EF平面ABB1A1.(2)在ABC中，因为ABAC，E为BC的中点，所以AEBC，又侧面BCC1B1底面ABC，侧面BCC1B1底面ABCBC，且AE平面ABC，所以AE平面BCC1B1，又AE平面AEF，所以平面AEF平面BCC1B1.14.如图，菱形ABCD的边长为a，D60，点H为DC的中点，现以线段AH为折痕将DAH折起使得点D到达点P的位置，且平面PHA平面ABCH，点E，F分别为AB，AP的中点(1)求证：平面PBC平面EFH；(2)若三棱锥PEFH的体积等于，求a的值(1)证明因为在菱形ABCD
21、中，E，H分别为AB，CD的中点，所以BECH且BECH，所以四边形BCHE为平行四边形，则BCEH，又EH平面PBC，所以EH平面PBC.因为点E，F分别为AB，AP的中点，所以EFBP，又EF平面PBC，所以EF平面PBC.又EFEHE，所以平面PBC平面EFH.(2)解在菱形ABCD中，D60，则ACD为正三角形，所以AHCD，DHPHCHa，AHa，折叠后，PHAH，又平面PHA平面ABCH，平面PHA平面ABCHAH，PH平面PHA，从而PH平面ABCH.在PAE中，点F为AP的中点，则SPEFSAEF，所以VHPEFVHAEFVHPAEVPAEHSAEHPHaaaa3，所以a38，故a2.
