1、选修4-4坐标系与参数方程练好题考点自测 1.改编题下面结论正确的个数是()(1)tan =1与=4表示同一条曲线.(2)点P的直角坐标为(-2,2),那么它的极坐标为(2,34).(3)过极点的倾斜角为的直线的极坐标方程可表示为=和=+.(4)圆心在极轴上的点(a,0)(a0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为=2asin .A.1B.2C.3D.42.若曲线C的参数方程为x=1+cos2,y=sin2(为参数),则曲线C上的点的轨迹是()A.直线x+2y-2=0B.以(2,0)为端点的射线C.圆(x-1)2+y2=1D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段3.2019天津,12,5分文设aR
2、,直线ax-y+2=0和圆x=2+2cos,y=1+2sin(为参数)相切,则a的值为.4.2020全国卷,23,10分文已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1:x=4cos2,y=4sin2(为参数),C2:x=t+1t,y=t-1t(t为参数).(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程.(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.拓展变式1.2018全国卷,22,10分文在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos
3、-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.2.2021陕西省部分学校摸底检测在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3+sin-2cos,y=cos+2sin(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为cos+2=0.(1)求曲线C1的极坐标方程并判断C1,C2的位置关系;(2)设直线=(-22,R)分别与曲线C1交于A,B两点,与曲线C2交于P点,若|AB|=3|OA|,求|OP|的值.3.2018全国卷,22,10分文在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为x=cos,y=sin(为参数),过点
4、(0,-2)且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点.(1)求的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.4.2020广东珠海三模在参数方程x=a+tcos,y=b+tsin(为直线l的倾斜角,t为参数)所表示的直线l上有B,C两点,它们对应的参数分别为t1,t2.(1)求线段BC的中点M对应的参数;(2)若a=b=1,直线l与曲线y2=2x交于点S,T,且(1,1)是弦ST的中点,求此时直线l的普通方程.5.2020东北三省四市二模已知曲线C的极坐标方程为2=123+sin2,直线l的参数方程为x=2-255t,y=3+55t(t为参数).(1)求曲线C的一个参数方程和直线l的普通方程;(2
5、)设点P为曲线C上的动点,点M和点N为直线l上的点,且|MN|=2,求PMN面积的取值范围.答 案选修4-4坐标系与参数方程1.A对于(1),tan =1与=4或=54表示同一条曲线,故(1)错误;对于(2),极坐标的表示方法不唯一,故(2)错误;对于(3),由直线的极坐标方程概念可知正确;对于(4),设M为圆上任意一点,由圆的性质可得,cos =|OM|2a=2a,所以=2acos ,故(4)错误.故正确结论的个数为1,选A.2.D将曲线的参数方程化为普通方程,得x+2y-2=0(0x2,0y1).故曲线C上的点的轨迹是一条以(2,0)和(0,1)为端点的线段.3.34由已知条件可得圆的普通
6、方程为(x-2)2+(y-1)2=4,其圆心为(2,1),半径为2,由直线和圆相切可得|2a-1+2|a2+1=2,解得a=34.4.(1)C1的普通方程为x+y=4(0x4).由C2的参数方程得x2=t2+1t2+2,y2=t2+1t2-2,所以x2-y2=4.故C2的普通方程为x2-y2=4.(2)由x+y=4,x2-y2=4得x=52,y=32,所以P的直角坐标为(52,32).设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0),由题意得x02=(x0-52)2+94,解得x0=1710.因此,所求圆的极坐标方程为=175cos .1.(1)由x=cos,y=sin得C2的直角坐标方程为(x+1)2
7、+y2=4.(2) 解法一(几何法)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,
8、A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.解法二(代数法)因为y=k|x|+2,(x+1)2+y2=4,所以(x+1)2+(k|x|+2)2=4,所以(1+k2)x2+(2x+4k|x|)+1=0,所以x0,(1+k2)x2+(2+4k)x+1=0或x0,得cos 23.设A(1,),B(2,),则1,2是方程2-6cos +4=0的两根,则1+2=6cos0,12=4.因为|AB|=3|OA|,所以|OB|=4|OA|,即2=41,由解得
9、1=1,2=4,cos =56,满足0,由cos+2=0,=得=-2cos=-125,所以|OP|=|=125.3.(1)O的普通方程为x2+y2=1.当=2时,l与O交于两点.当2时,记tan =k,则l的方程为y=kx-2.因为l与O交于两点,所以|-2|1+k21,解得k1,即(4,2)或(2,34).综上,的取值范围是(4,34).(2)l的参数方程为x=tcos,y=-2+tsin(t为参数,434).设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=tA+tB2,且tA,tB满足t2-22tsin +1=0.于是tA+tB=22sin ,tP=2sin .又点P的坐标(x,y)
10、满足x=tPcos,y=-2+tPsin,所以点P的轨迹的参数方程是x=22sin2,y=-22-22cos2(为参数,40,所以S,T对应的参数t3,t4满足t3+t4=-2sin-2cossin2.由(1)知,(1,1)对应的参数是t3+t42=-sin-cossin2,其值为零,即sin -cos =0,所以tan =1.故此时直线l的普通方程是 y-1=1(x-1),即x-y=0.【思维拓展】在本题中,如果点P在直线BC上,且BP=PC(-1),则点P对应的参数是t1+t21+.5.(1)由2=123+sin2得,32+2sin2=12,即3(x2+y2)+y2=12,整理得x24+y23=1.故曲线C的一个参数方程是x=2cos,y=3sin(为参数).将55t=y-3代入x=2-255t中,得x=2-2(y-3).整理得直线l的普通方程是x+2y-8=0.(2)设P(2cos ,3sin ),则SPMN=122|2cos+23sin-8|5=|4sin(+6)-8|5.因为|4sin(+6)-8|max=12,|4sin(+6)-8|min=4,所以PMN面积的取值范围是455,1255.