1、银川一中2019/2020学年度（下）高一期末考试数 学 试 卷一、选择题（每小题5分，共60分）1.下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中真命题的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】分别对四个命题进行判断，通过举例证明错误的命题不成立，通过不等式的性质证明正确的命题，从而得到答案.【详解】命题中若,则，故错误；命题，若，则由，得到故错误；命题，在分母，所以，因此，所以可以由，得到，故正确；命题，若，则，所以错误；故选项【点睛】本题考查判断命题的正确，不等式的性质，属于简单题.2.设x，y满足约束条件，则z=x-y的取值范围是A. 3,0B.
2、 3,2C. 0,2D. 0,3【答案】B【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.目标函数即，易知直线在轴上的截距最大时，目标函数取得最小值；在轴上的截距最小时，目标函数取得最大值，即在点处取得最小值，为；在点处取得最大值，为.故的取值范围是3,2.所以选B.【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即运用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点处或边界上取得.3.已知数列满足（）,且，则（ ）A. B. C. D. 【答案
3、】C【解析】【分析】由递推关系式可知数列为等差数列，根据和求得公差；利用求得结果.【详解】由得：为等差数列 本题正确选项：【点睛】本题考查利用递推关系式证得等差数列，进而求解等差数列中的项的问题，关键是能够将递推公式化为符合等差数列定义的形式，证得数列为等差数列.4.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）A. 96里B. 48里C. 192里D. 24里【答案】
4、A【解析】【分析】根据题意,此人每天走路程构成了公比的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,设该数列为,其前项和为则有,解得,故,故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.5.在正项等比数列中，数列的前项之和为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质，即可解出答案【详解】故选B【点睛】本题考查等比数列的性质，同底对数的运算，属于基础题6.下列函数的最小值为2的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对各选项一一分析是否具备了应用基本不等式的条
5、件，即“一正，二定，三相等”.【详解】对于A. ,当时，所以最小值为不是2，A错误；对于B. ，所以时，即，此时无解，所以原式取不到最小值2 ，B错误.对于C. ，当且仅当，此方程无解，则的最小值取不到2，C错误；对于D,，因为，所以，当且仅当，即时，有最小值2，满足，D正确；故选：D.【点睛】本题考查了使用基本不等式的应用条件，属于基础题.7.设数列前n项和为，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用得出，先求出，再利用递推式求出即可.详解】解：当时，整理得，又，得，得，得，故选：C.【点睛】本题考查数列递推式的应用，是基础题.8.已知数列通项公式为，要使数列的前
6、项和最大，则的值为A. 14B. 13或14C. 12或11D. 13或12【答案】D【解析】【分析】由题可得：数列是以为首项，公差的等差数列，即可求得，利用二次函数的性质即可得解【详解】因为，所以数列是以为首项，公差的等差数列，所以由二次函数的性质可得：当或时，最大故选D【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及等差数列的前项和公式，还考查了二次函数的性质及计算能力，属于中档题9.设数列的前项和为，若，成等差数列，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】因为成等差数列，所以，当时，；当时，即，即，数列是首项，公比的等比数列，故选B.10.不等式对于一切成立，则的最小值
7、为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质求解，即记，由求出不等式恒成立的必要条件，再在必要条件中验证其中的最小值也是充分的即得【详解】记，不等式对于一切成立，则必须有，解得，时，在上单调递减，满足题意，的最小值是故选：B【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时可结合二次函数的性质求解11.已知 ，且，则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运用乘1法，可得由x+y（x+1）+y1（x+1）+y（）1，化简整理再由基本不等式即可得到最小值【详解】由x+y（x+1）+y1（x+1）+y11（x+1）+y2（）12（213+4
8、7当且仅当x，y4取得最小值7故选C【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题12.设等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，给出下列结论：；的值是中最大的；使成立的最大自然数等于198其中正确的结论是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出正确利用等比数列的性质及不等式的性质判断出正确利用等比数列的性质判断出错误利用等比数列的性质判断出正确，从而得出结论【详解】解：，又，且，即正确；，即，故错误；由于，而，故有，故错误；中，故正确正确为，故选：【点睛】本题考查的知识
9、点是等比数列的性质：若则有其中根据已知条件得到，是解答本题的关键，属于中档题二、填空题（每小题5分，共20分）13.对一切，恒成立，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求出的最大值，然后解相应的不等式即可得【详解】，由得或故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题，根据参数出现的位置，首先求出三角式的最大值，然后只要解不等式即可得这实质上就是不等式恒成立问题中的分离参数法，只是本题中不等式已经参变分离了14.已知数列为等差数列，为其前n项和，则_.【答案】14【解析】【分析】根据等差数列通项公式，将等式化成，再由等差数列的前项和公式计算【详解】因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】
10、本题考查等差数列通项公式及性质、前项和公式，考查基本运算能力，属于基础题.15.若，且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】将式子适当变形后，利用基本不等式的性质即可得出【详解】，且，解得，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，解题关键是对式子进行适当变形，从而利用基本不等式求最值，属于常考题.16.已知为数列的前项和，若，且，则_.【答案】【解析】【分析】由递推公式依次计算出数列的前几项，得出数列是周期数列，从而可求和【详解】由题意，数列是周期数列，且周期为4.故答案为：【点睛】本题考查数列的周期性，考查求周期数列的和，解题时可根据递推公式依次计算数列的项，然后
11、归纳出周期性三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为若，(1)求数列与的通项公式；(2)求数列的前项和【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）先由题中条件得到，再设等差数列的公差为，结合题中数据求出公差，进而可得的通项公式；设等比数列的公比为，求出公比，即可得出通项公式；（2）先由（1）的结果，得到，再由分组求和法，结合等差数列与等比数列前项和公式，即可得出结果.【详解】(1) 由，则设等差数列的公差为，则，所以.所以设等比数列的公比为，由题，即，所以.所以；(2) ，所以的前项和为.【点睛】本题主要考查等差数列与
12、等比数列，熟记通项公式、前项和公式即可，属于常考题型.18.解关于的不等式.【答案】当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【解析】【分析】将原不等式因式分解化为，对参数分5种情况讨论：，分别解不等式【详解】解：原不等式可化为，即，当时，原不等式化为，解得，当时，原不等式化为，解得或，当时，原不等式化为.当，即时，解得；当，即时，解得满足题意；当，即时，解得.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【点睛】本题考查含参不等式的求解，求解时注意
13、分类讨论思想的运用，对分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述.19.已知等差数列满足：，的前n项和为，（1）求及；（2）令（），求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，由已知条件列出方程组解得后可得通项公式和前项和；（2）由（1）得，用裂项相消法求【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d，因为，所以有，解得，所以；（2）由（1）知，所以，所以，即数列的前n项和【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和前项和，考查裂项相消法求数列的和，解题方法是基本量法20.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投
14、入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】（1）；（2）年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.【解析】【分析】（1）根据年利润销售收入成本，即可得出函数解析式；（2）分类讨论和时对应的利润，结合基本不等式，即可得出结论.【详解】解：（1）每件商品售价为0.05万元x千件商品销售额为万元当时，根据年利润销售收入成本；当时，根据年利润销售收入成本.综合可
15、得，（2）当时当时，取得最大值万元；当时当且仅当，即时，取得最大值万元.综合，由于年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.【点睛】本题主要考查了分段函数模型的实际应用，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.21.设函数（1）若不等式的解集，求的值；（2）若，求的最小值；若在上恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）（2）9，【解析】【分析】（1）根据不等式的端点值是对应方程的实数根，利用根与系数的关系，得到的值；（2）根据求的最值，可利用求最值；利用二次函数恒成立问题求解.【详解】由已知可知，的两根是 所以 ，解得.（2） ，当时等号成立，因为， 解得时等号成立，此时的最小值是9
16、.在上恒成立， ，又因为 代入上式可得 解得：.【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程和一元二次不等式的问题，和基本不等式求最值，属于基础题型.22.设数列的前项和为，满足：，数列满足：.（1）求证：数列为等差数列；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先求出，然后当时，有，用已知的式子减去此式，化简得，再得一个式子，相减可证得是等差数列；（2）当时，由，得，两式相减可得（需要验证），从而可得的通项公式，再利用错位相减法求和即可.【详解】（1），当时，恒成立.当时，相减得到：.整理得到：，故，相减得到：，故数列为等差数列.（2），故，.，当时，.当时，相减得到，故.验证时成立，故.所以，故.，相减得到：.整理得到：.【点睛】此题考查了判断等差数列，错位相减法求和，考查了数列的前项和与通项的关系，考查了计算能力，属于中档题题.
