1、专题能力提升练(五)圆锥曲线一、选择题(每小题5分)1过点(5,2)且在y轴上截距是x轴上截距的2倍的直线方程是()A2xy120B5x10y120C2xy120或2x5y0Dx2y90或2x5y0解析：设直线在x轴上截距为a，则在y轴上截距为2a，若a0，得直线方程是2x5y0；若a0，则方程为1，又直线过点(5,2)，得a6，得直线方程是2xy120.答案：C2已知命题p：4r0)上恰好有2个点到直线4x3y20的距离等于1，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：因为圆心(3，5)到直线4x3y20的距离等于5，所以当圆(x3)2(y5)2r2
2、(r0)上恰好有2个点到直线4x3y20的距离等于1时，4r0)与圆x2y24交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|，那么k的取值范围是()A(，) B，)C，2) D，2)解析：当|时，A，B，O三点为等腰三角形的三个顶点，其中|OA|OB|，AOB120，从而圆心O到直线xyk0(k0)的距离为1，此时，k；当k时，|，又直线与圆x2y24存在两交点，故k2.综上，k的取值范围为，2)答案：C6已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为()A. B(1,2)C(，0)(1,2) D(，1)解析：依题意得不等式组，解得m1或1mb0)，则，解得所以椭圆的标准方程为1.答案：D8过
3、抛物线yax2(a0)的焦点F作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AF，BF的长分别为m，n，则等于()A. B.C2a D.解析：设直线方程为ykx，与yax2联立消去y得ax2kx0，设A(x1，ax)，B(x2，ax)，则x1x2，x1x2，xx，max，nax，可得mn，mn，.答案：B9设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，过点F且斜率为1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段BF的中点，则双曲线C的离心率e()A. B.C. D.解析：由题意知，直线l的方程为y(xc)，解方程组，得A，解方程组，得B，因为A为线段BF的中点，所以c，即b3a，所以e21
4、910，所以e.答案：A10与抛物线y22x相切，且与双曲线1的渐近线平行的直线方程为()Ayx或yxByx或yxCyx或yxDyx或yx解析：双曲线1的渐近线为yx，设所求直线的方程为yxm.把yxm代入抛物线y22x，得x2xm20，由24m20，得m，所以切线方程为yx；把yxm代入抛物线y22x，得x2xm20，由24m20，得m，所以切线方程为yx.综上，切线方程为yx或yx.答案：A二、填空题(每小题5分)11直线xky10与圆O：x2y24相交于两点A、B，则动弦AB中点M的轨迹方程是_解析：设动点M的坐标为(x，y)，易知直线恒过定点P(1,0)，由垂径定理可得，故x(x1)y
5、20，即2y2.答案：2y212两条互相垂直的直线2xy20和ax4y20的交点为P，若圆C过点P和点M(3，2)，且圆心C在直线yx上，则圆C的标准方程为_解析：由2xy20和ax4y20垂直得2a40，故a2，代入直线方程，联立解得交点坐标为P(1,0)，易求得线段MP的垂直平分线l的方程为xy30.设圆C的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则圆心(a，b)为直线l和直线yx的交点，联立，解得圆心C的坐标为(6，3)，从而解得r234，所以圆C的标准方程为(x6)2(y3)234.答案：(x6)2(y3)23413过抛物线x24y上一点M(x0，y0)(x00)作抛物线的切线与抛
6、物线的准线交于点N(x1，y1)，则x0x1的最小值为_解析：由x24y，得yx2，则yx，抛物线的准线方程为y1.因为点M(x0，y0)是抛物线x24y上一点，所以y0x，且过点M的抛物线的切线的斜率kx0，切线方程为yy0x0(xx0)，即yxx0(xx0)，令y1，得x1x0，所以x0x1x02，所以x0x1的最小值为2.答案：214在平面直角坐标系中，点P为椭圆y21上的一个动点，则点P到直线xy60的最大距离为_解析：设直线xya0与椭圆相切，则方程组有唯一解，消去x，得4y22aya230，4a216(a23)0，解得a2，所以直线xy20与椭圆相切，所以点P到直线xy60的最大距
7、离为直线xy20与直线xy60间的距离，最大距离为4.答案：415过双曲线x21左焦点F的直线交双曲线于A，B两点，若|AB|3，则AOB的面积为_解析：根据题意知，直线AB的斜率存在，设为k，F(2,0)，则直线AB的方程为yk(x2)，代入双曲线方程x21，得3x2k2(x2)230，即(3k2)x24k2x4k230.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，(x1x2)2(x1x2)24x1x224，所以|AB|3，解得k，所以直线AB的方程为y(x2)，原点到直线AB的距离为d1，所以AOB的面积为31.答案：三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20
8、题13分，第21题14分)16过平面内M点的光线经x轴反射后与圆C：x2(y2)22相切于A，B两点(1)若M点的坐标为(5,1)，求反射光线所在直线的方程；(2)若|AB|，求动点M的轨迹方程解：(1)由光的反射原理知，反射光线所在直线必过点(5，1)，设反射光线所在直线的斜率为k，则此直线方程可以设为y1k(x5)，即kxy5k10(*)又反射光线与圆C：x2(y2)22相切，所以，解得k1或，代入(*)化简整理，得反射光线所在直线的方程为xy40或7x23y120.(2)设动点M的坐标为(x，y)(y0)，则反射光线所在直线必过点M关于x轴的对称点Q(x，y)，设动弦AB的中点为P，则|
9、AP|，故|CP|.由射影定理|CP|CQ|AC|2，得|CQ|8，即8，即x2(y2)2128(y0)17已知直线l1：mxy0，l2：xmy2m20.(1)证明：m取任意实数时，l1和l2的交点总在一个定圆C上；(2)直线AB与(1)中的圆C相交于A，B两点，若弦AB被点P平分，求直线AB的方程若直线AB经过定点(2,3)，求使ABC的面积取得最大值时的直线AB的方程解：(1)设l1和l2的交点坐标为(x，y)，则有，消去m得，x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22，所以l1和l2的交点总在圆心坐标为(1,1)，半径为的圆上(2)当弦AB被点P平分时，CPAB，因为kCP1，所以kA
10、B1，由点斜式方程，得直线AB的方程为y，即xy10.当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x2，可求得|AB|2，SABC211；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y3k(x2)，即kxy32k0，则圆心C到直线AB的距离d，又SABCd2，当d221，即k时，ABC面积取得最大值1，此时，直线AB的方程为y3(x2)，即3x4y60.综上所求直线AB的方程为x2或3x4y60.18已知抛物线D的顶点是椭圆1的中心，焦点与椭圆的右焦点重合(1)求抛物线D的方程；(2)已知动直线l过点P(4,0)，交抛物线D于A，B两点是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为
11、定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由解：(1)由题意，可设抛物线D的方程为y22px(p0)由431，得抛物线的焦点为(1,0)，p2.抛物线D的方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，假设存在直线m：xa满足题意，则圆心M，过M作直线xa的垂线，垂足为E，设直线m与圆M的一个交点为G.则|EG|2|MG|2|ME|2，即|EG|2|MA|2|ME|22ya(x14)a2x14x1a(x14)a2(a3)x14aa2.当a3时，|EG|23，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值2.因此存在直线m：x3满足题意19已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2y210
12、x200相切过点P(4,0)作斜率为的直线l，使得直线l和双曲线G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，|PA|PB|PC|2.(1)求双曲线G的方程；(2)椭圆S的中心在原点，焦点在y轴上，它的短轴是G的实轴如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程解：(1)设双曲线G的渐近线的方程为ykx，则由已知可得，所以k，即双曲线G的渐近线的方程为yx.设双曲线G的方程为x24y2m，A(xA，yA)，B(xB，yB)由，得3x28x164m0，则xAxB，xAxB.(*)因为|PA|PB|PC|2，P，A，B，C共线且P在线段AB上，所以(x
13、PxA)(xBxP)(xPxC)2，整理得：4(xAxB)xAxB320，将(*)代入上式，解得：m28.所以双曲线G的方程为1.(2)由题可设椭圆S的方程为：1(a2)，弦的两个端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为Q(x0，y0)，由，得0，因为4，x1x22x0，y1y22y0，所以0，所以S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹为直线0截在椭圆S内的部分又这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以，所以a256，椭圆S的方程为1.20已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)点D在椭
14、圆C上，且ADAB，直线BD与x轴交于点M，在第一象限内是否存在A点，使得AM与椭圆相切？若存在，求出A点的坐标；若不存在，说明理由解：(1)由e，得a2b，把点代入椭圆方程可得：1b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)假设存在A(x1，y1)(x10，y10)，则B(x1，y1)，直线AB的斜率kAB，又ABAD，所以直线AD的斜率k，设直线AD的方程为ykxm，D(x2，y2)，由题意知k0，m0，由，可得(14k2)x28mkx4m240.所以x1x2，因此y1y2k(x1x2)2m，由题意知，x1x2，所以kBD，所以直线BD的方程为yy1(xx1)，令y0，得x3x1，即M(3x1,
15、0)，可得kAM.设过点A的直线l：ytxp与椭圆相切，则把ytxp代入y21，得(14t2)x28ptx4p240有两个相等实根，所以(8pt)244(p21)(14t2)0，所以4t2p21.又方程的解为x1，即x1，y1，所以t.若AM是椭圆的切线，则，即x2y，又因为y1，所以x，y，所以x1，y1，所以在第一象限内存在点A，使得AM与椭圆相切21已知焦距为2的椭圆C：1(ab0)的左焦点为F1、上顶点为D，直线DF1与椭圆C的另一个交点为H，且|DF1|7|F1H|.(1)求椭圆的方程；(2)点A是椭圆C的右顶点，过点B(1,0)且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x3于M，N两点，线段MN的中点为P.记直线PB的斜率为k，求证：kk为定值解：(1)椭圆C的焦距为2，F1(，0)，又D(0，b)，|DF1|7|F1H|，点H的坐标为，则1，解得a24，则b2431，椭圆C的方程为y21.(2)根据已知可设直线l的方程为yk(x1)由，得(4k21)x28k2x4k240.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1x2，x1x2.直线AE，AF的方程分别为：y(x2)，y(x2)，令x3，则M，N，P.kk.
