1、2016-2017学年山西省运城市康杰中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|（x1）（3x）0，B=x|2x2，则AB=（）A2，1）B（1，2C2，1）D（1，22已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3王安石在游褒禅山记中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的（）A充要条件B既不充分也不必要条件C充分条件D必要条件4已知x，y满足，则（x1）2
2、+（y1）2的取值范围是（）A5，25B1，25CD5如图是一个几何体的三视图，则此几何体的体积是（）ABCD6已知公差不为0的等差数列an满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为an的前n项和，则的值为（）A2B3CD47函数的图象可能是（）ABCD8执行如图所示的程序框图，数列an满足an=n1，输入n=4，x=3，则输出的结果v的值为（）A34B68C96D1029在三棱锥ABCD中AB=AC=1，DB=DC=2，AD=BC=，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为（）ABC4D710已知函数f（x）=2sin（x+）（0，0）在区间上单调递增，且函数值从2增大到0若，且f（x1）=f（x2）
3、，则f（x1+x2）=（）ABCD11已知双曲线，过其左焦点F作斜率为的直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A、B，若，则双曲线的两条渐近线方程为（）ABCy=xD12已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围为（）A（，2）B（，0）C（2，+）D（1，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知平面向量满足，且，则= 14已知cos（）=，则sin2= 15已知圆C：（xa）2+y2=1，若直线l：y=x+a与圆C有公共点，且点A（1，0）在圆C内部，则实数a的取值范围是 16已知在ABC中，三角A，B，C的对边分别为a，b
4、，c，其满足（a3b）cosC=c（3cosBcosA），AF=2FC，则的取值范围为 三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17已知正项等差数列an的前n项和为Sn，且满足（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和18在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA平面ABCD，PA=AB，M，N分别为PB，AC的中点，（1）求证：MN平面PAD； （2）求点B到平面AMN的距离19某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差
5、与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x/C101113128发芽数y/颗2325302616（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25的概率（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：，）20椭圆（ab0）与x轴，y轴的正半辆分别交于A，B两点，原点O
6、到直线AB的距离为，该椭圆的离心率为（）求椭圆的方程；（）过点的直线l与椭圆交于两个不同的点M，N，求线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围21已知函数（1）若曲线y=f（x）在P（1，f（1）处的切线平行于直线y=x+1，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若a0，且对任意x（0，2e时，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为=4（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆
7、C交于A，B两点，试求的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|xa|（）若不等式f（x）m的解集为1，5，求实数a，m的值；（）当a=2且0t2时，解关于x的不等式f（x）+tf（x+2）2016-2017学年山西省运城市康杰中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|（x1）（3x）0，B=x|2x2，则AB=（）A2，1）B（1，2C2，1）D（1，2【考点】1E：交集及其运算【分析】化简集合A，根据交集的定义写出AB即可【解答】解：集合A=x|（x1
8、）（3x）0=x|（x1）（x3）0=x|1或x3，B=x|2x2，则AB=x|2x1=2，1）故选：A2已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】由复数z求出和|z|，代入求出在复平面内对应的点的坐标得答案【解答】解：，=则复数在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第四象限故选：D3王安石在游褒禅山记中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的（）A充要条件B既不充分也不必要条件C充分条件D必要条件【考点】2L：必要条
9、件、充分条件与充要条件的判断【分析】非有志者不能至也”，可得能够到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必须有志，而有志者是未必到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的即可判断出结论【解答】解：非有志者不能至也”，可得能够到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必须有志，而有志者是未必到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的因此有志是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件故选：D4已知x，y满足，则（x1）2+（y1）2的取值范围是（）A5，25B1，25CD【考点】7C：简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可【解答】解：x，y满足的可行域如图：（x1）2+（y1）2的几何意义是可行域内的点与D（1
10、，1）的距离的平方，由图形可知DP距离的平方最小，DA距离的平方最大由，解得A（3，3）（x1）2+（y1）2的最小值为： =（x1）2+（y1）2的最大值为：（31）2+（31）2=20（x1）2+（y1）2的取值范围是，20故选：C5如图是一个几何体的三视图，则此几何体的体积是（）ABCD【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由已知得到几何体是圆锥与圆柱的组合体，由图中数据求体积【解答】解：由已知得到几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆锥的底面半径为2，高为2，圆柱的底面半径为2，高为1，所以体积为：；故选D6已知公差不为0的等差数列an满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为an的前n项
11、和，则的值为（）A2B3CD4【考点】85：等差数列的前n项和【分析】由a1，a3，a4成等比数列，利用等差数列的通项公式求出a1=4d，由此利用等差数列的前n项和公式能求出的值【解答】解：设等差数列an的首项为a1，公差为d（d0），因为a1，a3，a4成等比数列，所以，即a1=4d，所以故选：A7函数的图象可能是（）ABCD【考点】3O：函数的图象【分析】根据于函数不是偶函数，它的图象不关于y轴对称，故排除A；再根据当x0时，f（x）=x+是减函数，结合选项，得出结论【解答】解：由于函数不是偶函数，故它的图象不关于y轴对称，故排除A；当x0时，f（x）=x+是减函数，结合图象，只有B满足条
12、件，C、D不满足条件故排除C、D，故选：B8执行如图所示的程序框图，数列an满足an=n1，输入n=4，x=3，则输出的结果v的值为（）A34B68C96D102【考点】EF：程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得n=4，a4=3，x=3，v=3，i=3，满足继续循环的条件i0，执行完循环体后，a3=2，v=33+2=11，i=2；满足继续循环的条件i0，执行完循环体后，a2=1，v=113+1=34，i=1；满足继续循环的条件i0，执行完循环体后，a1=
13、0，v=343+0=102，i=0；不满足继续循环的条件i0，退出循环体后，输出的结果v=102，故选：D9在三棱锥ABCD中AB=AC=1，DB=DC=2，AD=BC=，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为（）ABC4D7【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】建立坐标系，求出外接球的球心，计算外接球的半径，从而得出外接球面积【解答】解：AB=AC=1，AD=BC=，BD=CD=2，ABAD，ACAD，AD平面ABC，在ABC中，由余弦定理得cosBAC=，ABC=120，以AC为x轴，以AD为z轴建立如图所示的坐标系：则A（0，0，0），B（，0），C（1，0，0），D（0，0，），设棱
14、锥ABCD的外接球球心为M（x，y，z），则x2+y2+z2=（x+）2+（y）2+z2=（x1）2+y2+z2=x2+y2+（z）2，解得x=，y=，z=，外接球的半径为r=外接球的表面积S=4r2=7故选D10已知函数f（x）=2sin（x+）（0，0）在区间上单调递增，且函数值从2增大到0若，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）ABCD【考点】H2：正弦函数的图象【分析】由题意利用正弦函数的单调性和图象的对称性，求得f（x）的解析式，可得f（x）的图象关于直线x=对称，根据=，可得 x1+x2=，由此求得f（x1+x2）的值【解答】解：函数f（x）=2sin（x+）（0，0
15、）在区间上单调递增，且函数值从2增大到0，+=2k，+=2k，kZ，=，=，f（x）=2sin（x），且f（x）的图象关于直线x=对称若，且f（x1）=f（x2），则=，x1+x2=，则f（x1+x2）=f（）=2sin（）=2sin（）=，故选：A11已知双曲线，过其左焦点F作斜率为的直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A、B，若，则双曲线的两条渐近线方程为（）ABCy=xD【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】由题意可得已知直线l的方程为：y=（x+c），与两条渐近线方程y=x分别联立，解得A，B的坐标利用=，即可得出a，b的关系，可得双曲线的渐近线方程【解答】解：由题意可得F（c，0），
16、已知直线l的方程为：y=（x+c），与两条渐近线方程y=x分别联立，解得A（，），B（，）=，=（），化为b=a，则双曲线的渐近线为y=x故选C12已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围为（）A（，2）B（，0）C（2，+）D（1，+）【考点】52：函数零点的判定定理【分析】分类讨论：当a0时，容易判断出不符合题意；当a0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f（）0，解出即可【解答】解：当a=0时，f（x）=3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a0时，令f（x）=3ax26x=3ax（
17、x）=0，解得x=0或x=0，列表如下：x（，0）0（0，）（，+）f（x）+00+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增x，f（x），而f（0）=10，存在x0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x00，应舍去当a0时，f（x）=3ax26x=3ax（x）=0，解得x=0或x=0，列表如下：x（，）（，0）0（0，+）f（x）0+0f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=10，x+时，f（x），存在x00，使得f（x0）=0，f（x）存在唯一的零点x0，且x00，极小值f（）=a（）33（）2+10，化为a24，a0，a2综上可知：a的取值范围
18、是（，2）故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知平面向量满足，且，则=【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】由，两边平方，可得=0，再由向量模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值【解答】解：由，可得（+）2=（）2，化为2+2+2=2+22，即有=0，则2=2+22=22+120=5，可得=故答案为：14已知cos（）=，则sin2=【考点】GP：两角和与差的余弦函数【分析】先利用差角的余弦公式展开，再两边平方，即可求得sin2的值【解答】解：cos（）=cos+sin=两边平方得：（1+2sincos）=sin2=故答案为：15已知圆C：（xa）2+y2=
19、1，若直线l：y=x+a与圆C有公共点，且点A（1，0）在圆C内部，则实数a的取值范围是【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】圆心C（a，0）到直线l的距离d=|1，且|AC|=|a1|1，由此能求出实数a的取值范围【解答】解：圆C：（xa）2+y2=1，直线l：y=x+a与圆C有公共点，且点A（1，0）在圆C内部，圆心C（a，0）到直线l的距离d=|1，|AC|=|a1|1，联立，得0a实数a的取值范围是（0，故答案为：16已知在ABC中，三角A，B，C的对边分别为a，b，c，其满足（a3b）cosC=c（3cosBcosA），AF=2FC，则的取值范围为（2，+）【考点】HR：余弦定理【
20、分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知可求b=3a，结合AF=2FC，可得CF=a，AF=2a，由余弦定理，三角函数恒等变换的应用可得： =，结合范围0，即可计算得解【解答】解：（a3b）cosC=c（3cosBcosA），sinAcosC3sinBcosC=3sinCcosBsinCcosA，sin（A+C）=3sin（B+C），sinB=3sinA，可得：b=3a，如右图所示，AF=2FC，CF=a，AF=2a，则由余弦定理可得： =，0C，0，（1，+），=（2，+）故答案为：（2，+）三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过
21、程和演算步骤17已知正项等差数列an的前n项和为Sn，且满足（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】（1）与数列an是等差数列，且，可得，又an0，解得a3=6根据=56，可得a4，再根据等差数列的通项公式即可得出（2）利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）因为数列an是等差数列，且，所以，又an0所以a3=6因为=56，所以a4=8所以公差d=a4a3=2，所以an=a3+（n3）d=6+（n3）2=2n（2）设数列的前n项和为Tn18在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA平面ABCD，PA=AB，M，
22、N分别为PB，AC的中点，（1）求证：MN平面PAD； （2）求点B到平面AMN的距离【考点】LS：直线与平面平行的判定；MK：点、线、面间的距离计算【分析】（1）连接BD，则BDAC=N，利用三角形中位线的性质，可得MNPD，利用线面平行的判定，即可得到MN平面PAD； （2）利用VMABN=VBAMN，可求点B到平面AMN的距离【解答】（1）证明：连接BD，则BDAC=NM，N分别为PB，AC的中点，MN是BPD的中位线MNPDMN平面PAD，PD平面PADMN平面PAD；（2）解：设点B到平面AMN的距离为h，则底面ABCD是边长为1的正方形，PA平面ABCD，PA=AB，AM=AN=，
23、MN=，M到平面ABN的距离为由VMABN=VBAMN，可得h=，即点B到平面AMN的距离为19某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x/C101113128发芽数y/颗2325302616（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25的概率（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y
24、关于x的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：，）【考点】BQ：回归分析的初步应用；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）用数组（m，n）表示选出2天的发芽情况，用列举法可得m，n的所有取值情况，分析可得m，n均不小于25的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案；（2）根据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程（3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，
25、就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的【解答】解：（1）用数组（m，n）表示选出2天的发芽情况，m，n的所有取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（30，26），共有10个设“m，n均不小于25”为事件A，则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26）所以，故事件A的概率为（2）由数据得，由公式，得，所以y关于x的线性回归方程为（3）当x=10时，|2223|2，当x=8时，|1716|2所以得到的线性回归方
26、程是可靠的20椭圆（ab0）与x轴，y轴的正半辆分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为，该椭圆的离心率为（）求椭圆的方程；（）过点的直线l与椭圆交于两个不同的点M，N，求线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程【分析】（）设直线AB的方程为bx+ayab=0，利用原点O到直线AB的距离为，椭圆的离心率为，建立方程可求a、b的值，从而可得椭圆的方程；（）当直线斜率不存在时，线段MN的垂直平分线的纵截距为0；当直线斜率k存在时，设直线l的方程为，代入，消去y得（9+36k2）x2+120kx+64=0，进而可求线段MN的垂直平分线
27、方程，由此即可求得线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围【解答】解：（）设直线AB的方程为bx+ayab=0原点O到直线AB的距离为，椭圆的离心率为，由可得：a=2，b=1椭圆的方程为；（）当直线斜率不存在时，线段MN的垂直平分线的纵截距为0当直线斜率k存在时，设直线l的方程为，代入，消去y得（9+36k2）x2+120kx+64=0=14400k2256（9+36k2）0，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为Q（x0，y0）=，Q线段MN的垂直平分线方程为令x=0，则y=，由，可得线段MN的垂直平分线在y轴上截距的取值范围为21已知函数（1）若曲线y=f（x）在P（1，f（
28、1）处的切线平行于直线y=x+1，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若a0，且对任意x（0，2e时，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a的值，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为对x（0，2e恒成立，即ax（1lnx）对x（0，2e恒成立，设g（x）=x（1lnx）=xxlnx，x（0，2e，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）直线y=x+1的斜率为1，函数y=f（x）的导数为所以f（1）=a+1=1，所以a=2.因为y=f（x）的定义域为（0，+），又当x（2，+）时，f（x）0，f（
29、x）为增函数，当x（0，2）时，f（x）0，f（x）为减函数，综上，函数f（x）的单调增区间是（2，+），单调减区间是（0，2）（2）因为a0，且对任意x（0，2e时，f（x）0恒成立，即对x（0，2e恒成立，即ax（1lnx）对x（0，2e恒成立 .设g（x）=x（1lnx）=xxlnx，x（0，2e，所以g（x）=1lnx1=lnx，当x（0，1）时，g（x）0，g（x）为增函数，当x（1，2e时，g（x）0，g（x）为减函数，所以当x=1时，函数g（x）在x（0，2e上取得最大值 所以g（x）g（1）=1ln1=1，所以实数a的取值范围（1，+）.请考生在第22、23两题中任选一题作答，
30、如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，以原点为O极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为=4（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；J9：直线与圆的位置关系【分析】（1）圆C的极坐标方程为=4，展开可得：2=4（cossin），利用互化公式即可得出直角坐标方程（2）直线l的参数方程为：（t为参数），代入上述方程可得：t2+2t4=0. = = =【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为=4，展开可得：2=4（cossin），可得直角坐标方程：
31、x2+y24x+4y=0（2）直线l的参数方程为：（t为参数），代入上述方程可得：t2+2t4=0t1+t2=2，t1t2=4，则=选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|xa|（）若不等式f（x）m的解集为1，5，求实数a，m的值；（）当a=2且0t2时，解关于x的不等式f（x）+tf（x+2）【考点】R5：绝对值不等式的解法【分析】（）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值（）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集【解答】解：（）f（x）m，|xa|m，即amxa+m，f（x）m的解集为x|1x5，解得a=2，m=3（）当a=2时，函数f（x）=|x2|，则不等式f（x）+tf（x+2）等价为|x2|+t|x|当x2时，x2+tx，即t2与条件0t2矛盾当0x2时，2x+tx，即0x成立当x0时，2x+tx，即t2恒成立综上不等式的解集为（，2017年8月10日
