1、第68讲 直接证明与间接证明 第68讲 直接证明与间接证明 1直接证明 直接从原命题的条件逐步推得结论成立，这种证明方法叫直接证明直接证明有两种基本方法分析法和综合法 (1)综合法：是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_，最后推导出所要证明的结论_的证明方法 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为 知识梳理 第68讲 知识梳理 推理论证成立第68讲 知识梳理 (2)分析法：是从_出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的_，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、
2、公理、定理等)为止的证明方法 用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为 要证明的结论充分条件 (3)综合法与分析法的辩证关系：在解决问题时，常常用分析法寻找解题思想方法，而用综合法展现解决问题的过程，即综合分析法 2间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法 (1)反证法的定义：一般地，假设原命题的结论_，经过正确的推理，最后得出_，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法 第68讲 知识梳理 不成立矛盾 (2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯
3、定原命题的结论成立 说明：反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下图所示的框图表示 第68讲 知识梳理 例 1 2010江苏卷 设 a、b 是非负实数，求证：a3b3 ab(a2b2)要点探究 探究点1 综合法第68讲 要点探究 思路 运用作差法或直接运用基本不等式证明 第68讲 要点探究 解答 方法一(直接作差)：由 a、b 是非负实数，作差得 a3b3 ab(a2b2)a2 a(a b)b2 b(b a)(a b)a5b5.(1)当 ab 时，a b，从而(a
4、)5(b)5，得(a b)a5b5 0；(2)当 ab 时，a b，从而(a)5(b)5，得(a b)a5b5 0；综合(1)(2)可知 a3b3 ab(a2b2)第68讲 要点探究 方法二(平方后作差)：(a3b3)2aba2b22 a6b62a3b3(a5bab52a3b3)a6a5bb6ab5 a5(ab)b5(ab)(ab)(a5b5)第68讲 要点探究 因为 a、b 是非负实数，(1)当 ab 时，ab0，a5b50，(ab)(a5b5)0；(2)当 ab 时，ab0，a5b50，(ab)(a5b5)0；综合(1)(2)可知，a3b3 ab(a2b2)第68讲 要点探究 方法三(基本
5、不等式法)：a0，b0，ab2 ab，a2abb20，a3b3(ab)(a2abb2)2ab(a2abb2)ab(2a22ab2b2)aba2b2ab2 ab(a2b2)，即 a3b3 ab(a2b2)第68讲 要点探究 点评 综合法的实质是揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知和求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，并合理应用已知条件进行有效的变换，这是用综合法证题的关键综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法 第68讲 要点探究 思路 由已知等式找出三角形三边a、b、c的关系，再由余弦定理得出A、B、C之间的关系，用综合法给出证明 在ABC
6、 中，三个内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，若 1ab 1bc3abc，问 A、B、C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由；若成等差数列，请给出证明 第68讲 要点探究 解答 A、B、C 成等差数列，下面用综合法给出证明：1ab 1bc3abc，abcab abcbc 3，cab abc1，c(bc)a(ab)(ab)(bc)，b2a2c2ac.第68讲 要点探究 在ABC 中，由余弦定理，得 cosBa2c2b22ac ac2ac12，0B180，B60.AC2B120，A、B、C 成等差数列 探究点2 分析法第68讲 要点探究 思路 本题结论较复杂，可先用分析法简化结论，再
7、用分析法证明 例 2 已知 ab0，求证：ab28aab2 abab28b.第68讲 要点探究 解答 欲证ab28aab2 abab28b，只需证ab28aa b22b0，只 需 证 ab2 2aa b2 ab2 2b，即a b2 a1 a b2 b.欲证 a b2 a1，只需证 a b2 a，即 b a.该式显然成立 第68讲 要点探究 欲证 1 a b2 b，只需证 2 b a b，即 b a.该式显然成立 a b2 a1 a b2 b成立，且以上各步均可逆 ab28aab2 abab28b成立 第68讲 要点探究 点评 当要证明的不等式较复杂，两端的差异难以消除或者已知条件信息太小不知如
8、何下手时，适时运用分析法会使问题容易获得解决在用分析法证题时，要正确使用连接有关步骤的关键词，如“为了证明”、“只需证明”等分析法是步步寻求结论成立的充分条件，有时与综合法混合使用，也叫分析综合法 第68讲 要点探究 思路 用直接法不易入手，采用分析法求证 若 abcd0 且 adbc，求证：d a b c.第68讲 要点探究 解答 要证 dabc，只需证(da)2(b c)2，即 ad2 adbc2 bc，因adbc，只需证 ad bc，即 adbc，设 adbct，则 adbc2t，cdt，所以 adbc(td)d(tc)c(cd)(cdt)0，adbc 成立，从而 d a b c成立 探
9、究点3 反证法第68讲 要点探究 思路“正难则反”，选择反证法，利用q0寻找矛盾 例 3 设数列an是公比为 q 的等比数列，Sn是它的前 n 项和，证明：数列Sn不是等比数列 第68讲 要点探究 解答 设Sn是等比数列，则 S22S1S3，即 a21(1q)2a1a1(1qq2)a10，(1q)21qq2，即 q0，这与 q0 矛盾 故Sn不是等比数列 点评 否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较好 第68讲 要点探究 已知 f(x)axx2x1(a1)，证明：方程 f(x)0 没有负数根 思路“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾 第68讲 要点探究 解答
10、 假设 x0是 f(x)0 的负数根，则 x00 且x01 且 ax0 x02x01，0ax010 x02x011，解得12x02，这与 x00 矛盾，故方程 f(x)0 没有负数根 探究点4 综合应用第68讲 要点探究 例 4 求证：当 a1 时，不等式 exx1ax2ex2 对于 x0，)恒成立 思路 利用分析法寻找解题思路，用综合法加以证明：构造函数，判定函数在x0，)上的单调性 第68讲 要点探究 解答 要证 exx1ax2ex2 成立，只需证 exax2ex2 x1，即只需证明：a2x2x1ex 1.令f(x)a2 x2 x1ex，求 导 得f(x)ax 1exxxx2axxex x
11、a1ex.a1，x0，)，f(x)0，f(x)是增函数 故 f(x)f(0)1，从而式得证 当 a1 时，不等式 exx1ax2ex2 对于 x0，)恒成立 第68讲 要点探究 点评 有些数学证明题，单独运用一种证明方法很难或无法完成，此时要善于将多种证明方法混合使用，常常用分析法寻找解题思路，用综合法加以证明本题通过对原不等式进行等价变形，找到了便于证明的不等式，然后构造函数证明不等式，综合运用了分析法、综合法和构造法 规律总结 第68讲 规律总结 1综合法证题的一般规律 用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐渐引出结论 2分析法证题的一般规律 分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件 第68讲 规律总结 3反证法证题的一般规律 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现
