1、第 13 讲1第 7 级下优秀 A 版教师版三年级春季页码问题四年级暑假整除性质四年级秋季整除特征进阶四年级寒假质数与合数初步四年级春季进位制初步涉及数论中的整除特征，及整除特征的综合运用漫画释义知识站牌第十三讲 整除特征进阶第 7 级下优秀 A 版教师版2公元前 6 世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道 6 和 28 是完全数.毕达哥拉斯曾说：“6 象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身.”有些圣经注释家认为 6 和 28 是上帝创造世界时所用的基本数字，因为上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数.圣奥古斯丁说：6 这个数本身就是完
2、全的，并不因为上帝造物用了六天；事实上，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了.1.掌握常见数字的整除特征；2.体会位值原理在整除中的运用；3.培养数感以及分析、综合、抽象、概括等思维能力一、数的整除判断法：1.尾数判断法:(1)能被 2，5 所整除的数的特征：看个位如果一个数的个位数能被 2 或 5 整除，则这个数就能被 2 或 5 整除(2)能被 4，25 所整除的数的特征：看末两位如果一个数的末两位能被 4 或 25 整除，则这个数就能被 4 或 25 整除(3)能被 8，125 所整除的数的特征：看末三位如果一个数的末三位能被 8 或 125 整除，则这个数就能被
3、 8 或 125 整除.2.求和判断法:能被 3 和 9 整除的数如果一个数的各位数字之和能被 3（或 9）整除，则这个数就能被 3（或 9）整除3.数段差判断法：(1)11：如果一个数从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数，则这个数就能被 11 整除，并且算出的差除以11余几就代表这个数除以11余几.(2)7、11、13：把一个数从末三位开始，三位为一段断开，奇数段的和与偶数段的和的差是7，11，13 的倍数，则这个数能被 7、11、13 整除，并且奇数段的和减去偶数段的和的差被 7,11,13除余几就代表这个数除以 7,11,13余几.课堂引入经典精讲教学目标第 13 讲
4、3第 7 级下优秀 A 版教师版二、数的整除性质主要有：(1)如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除(2)如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除(3)如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除(4)如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个(5)几个数相乘，如果其中一个乘数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除三、试除法：在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，令被除数为最大或为最小（一般为最大）.当令被除数最大时，除以除数会得到一个余数，把余数减去，即
5、为所求数.一、判断（1）一个自然数不是奇数就是偶数（）（2）能被 2 除尽的数都是偶数（）（3）能同时被 2 5、整除的数个位上的数字一定是 0（）（4）两个奇数的和一定能被 2 整除()（5）奇数一定不能被2 整除()（6）个位上是1 3 5 7 9、的自然数，都是奇数()（7）在相邻的两个自然数中，偶数一定比奇数小()【分析】、二、下面 6 个自然数：152、660、414、4375、9064、24125 中，（1）哪些能被 2 整除？哪些能被 5 整除？（2）哪些能被 4 整除？哪些能被 25 整除？（3）哪些能被 8 整除？哪些能被 125 整除？（4）哪些能被 3 整除？哪些能被 9
6、 整除？【分析】（1）能被 2 整除的数有 152，660，414，9064能被 5 整除的数有 660，4375，24125（2）能被 4 整除的数有 152，660，9064能被 25 整除的数有 4375，24125（3）能被 8 整除的数有 152，9064能被 125 整除的数有 4375，24125（4）能被 3 整除的数有 660,414能被 9 整除的数有 414知识点回顾第 7 级下优秀 A 版教师版4模块一：数的整除特征应用（例 1、例 2、例 3）；模块二：试除法的运用（例 4）；模块三：整除综合运用（例 5）；28，3 2 既能被2 整除，又能被3 整除15，22 既能
7、被3整除，又能被5 整除【分析】这些数要能被 2 整除，则个位上可以填 02468、，但是同时又要能被 3整除，因此各个数位上的数字的和能被 3整除，则答案有 282288、；312342372、.这些数要能被 5 整除，则个位上可以填05、，但是同时又要能被3 整除，因此各个数位上的数字的和能被 3整除，则答案有315、615、915；225【想想练练】在50，4的每个里分别填上一个数字，使它们都能同时被 2、3、5 整除【分析】这些数要同时能被 2、5、3整除，则个位上填0，其次各个数位上的数字的和能被3整除，则答案有 510、540、570；420、450、480下面五个自然数：1281
8、14、94146、64152、6139、491678 中，哪些能被 7 整除？哪些能被 11 整除？哪些能被 13 整除？（学案对应：学案 1）【分析】能被 7 整除的数：128114、6139能被 11 整除的数：64152、491678能被 13 整除的数：94146例题思路例 2例 1第 13 讲5第 7 级下优秀 A 版教师版小新一共买了 28 支价格相同的钢笔给大家作为奖品，共付人民币 9.2元.已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？（学案对应：学案 2、学案 3）【分析】9.2元=92分，2847，4 和 7 均能整除 92，42可知处能填 0 或 4或 8.因为 7 不能整除 90
9、20，7 不能整除 9424，79828，所以处应该填 8,即9828 分98.28元，98.28283.51(元)【想想练练】学校买了 72 只足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是67.9元，你知道每只足球多少钱吗？【分析】72=89，能被 8 整除，个位只能是 2；6+7+9+2=24，能被 9 整除，27-24=3.所以，总价是367.92，每只足球 5.11 元.1、如果 2能被 79 整除，那么它的末两位数是多少？2、如果 2098能被 90 整除，那么它的末两位数是多少？（学案对应：学案 4）【分析】采用试除法1、29979=362，所以减去 62，末两位数是 37.
10、数论是数学中最古老、最纯粹的一个重要数学分支.素有“数学王子”之称的 19 世纪德国数学大师高斯就曾说过，数学是科学的皇后，数论是数学的皇后.由于整数的性质复杂深刻，难以琢磨，因此数论长期以来一直被认为是一门优美漂亮、纯之又纯的数学学科.美国芝加哥大学著名数学家迪克森(L.E.Dickson)就曾说过：感谢神使得数论没有被任何应用所玷污.20 世纪世界级数学大师、剑桥大学的哈代也曾说过：数论是一门与现实、与战争无缘的纯数学学科.哈代本人则因主要从事数论的研究而被尊称为“纯之又纯的纯粹数学家”.当然，上述两位大数学家所说的并不完全符合今天的现实.事实上，在计算机科学与电子技术深入发展的今天，数论
11、已经不仅仅是一门纯数学学科，同时也是一门应用性极强的数学学科，比如在今天，数论已经在诸如物理、化学、生物、声学、电子、通讯，尤其是在密码学中有着广泛而深入的应用.例 4例 3第 7 级下优秀 A 版教师版62、20989990=233219，所以减去 19，末两位数是 80.【想想练练】：如果六位数1992能被105整除，那么它的最后两位数是多少？【分析】19929910518989，所以减去 9，末两位数的方格内填入 90 即可1、20092009 能否被 11 整除？2、3200920092009200909个能否被 11 整除？3、200920092009200909个n能被 11 整除
12、，那么，n 的最小值为多少？4、2009200920092009736个n能被 11 整除，那么，n的最小值为多少？【分析】1、奇数位数字之和为 9+9=92=18，偶数位数字之和为 2+2=22=4，奇数位减偶数位的差为 92-22=（9-2）2=14，不是 11 的倍数，所以 20092009 不能被 11 整除.2、奇数位数字之和为 9+9+9+9=94=36，偶数位数字之和为 2+2+2=23=6，奇数位减偶数位的差为 93-23+9=（9-2）3+9=30，不是 11 的倍数，所以3200920092009200909个不能被 11整除.3、200920092009200909n个中
13、奇位数减偶位数的差为(92)979nn，当5n 时，(79)n 是 11 的倍数，所以 n的最小值是 5.4、奇数位数字之和为672n，偶数位数字之和为 39n，这个多位数整除 11，即(39)(672)710nnn能整除 11，n 最小取 3动物医院里的狗医生和猫护士共重 27 千克如果狗医生的重量是奇数，而且他的重量是她的 2 倍，那狗医生和猫护士各重多少千克？【答案】狗小姐重 9 千克；猫先生重 18 千克杯赛提高例 5第 13 讲7第 7 级下优秀 A 版教师版在六位数 ABCDEF 中，不同的字母表示不同的数字，且满足 A，AB，ABC，ABCD，ABCDE，ABCDEF 依次能被
14、2，3，5，7，11，13 整除则 ABCDEF 的最小值是；已知当 ABCDEF取得最大值时0C，6F，那么 ABCDEF 的最大值是_.【分析】求最小值，先看 A,最小偶数为 2，然后 AB 被 3 整除，B 最小为1，然后依次推出0C.7D,6E,9F 求最大值与上述方法类似.最后求出最大值为840736.一、数的整除判断法：1.尾数判断法:(1)能被 2，5 所整除的数的特征：看个位如果一个数的个位数能被 2 或 5 整除，则这个数就能被 2 或 5 整除(2)能被 4，25 所整除的数的特征：看末两位如果一个数的末两位能被 4 或 25 整除，则这个数就能被 4 或 25 整除(3)
15、能被 8，125 所整除的数的特征：看末三位如果一个数的末三位能被 8 或 125 整除，则这个数就能被 8 或 125 整除.2.求和判断法:能被 3 和 9 整除的数如果一个数的各位数字之和能被 3（或 9）整除，则这个数就能被 3（或 9）整除3.数段差判断法：(1)11：如果一个数从右边开始数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数，则这个数能被 11 整除；如果算出的差不是 11 的倍数，那么这个差除以11余几就代表这个数除以11余几.(2)7、11、13：把一个数从末三位开始，三位为一段断开，奇数段的和与偶数段的和的差是7，11，13 的倍数，则这个数能被 7、11、13
16、整除；如果算出的差不是 7、11、13 的倍数，那么这个差被 7,11,13除余几就代表这个数除以7,11,13余几.二、数的整除性质主要有：(1)如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除(2)如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除(3)如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除(4)如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个(5)几个数相乘，如果其中一个乘数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除三、试除法：在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，令被除数
17、为最大或为最小（一般为最大）.当令被除数最大时，除以除数会得到一个余数，把余数减去，即为所求数.知识点总结家庭作业第 7 级下优秀 A 版教师版81、下面 6 个自然数：1036,968,2205,4105,123123,1001 中哪些能被 7 整除？哪些能被 11 整除？哪些能被 13 整除？【分析】能被 7 整除的数：1036、2205，123123,1001.能被 11 整除的数：968、123123,1001.能被 13 整除的数：123123,1001.2、若四位数 9 8a a 能被 5 整除，则a 代表的数字是【分析】a 代表的数字是 0 或 53、393是一个四位数数学老师说
18、：“我在其中的方框内先后填入 2 个数字，所得到的 2 个四位数依次可被11，8 整除”问：数学老师先后填入的 2 个数字的和是多少?【分析】11|39311|(933)11|(3)8aaaa8|3938|936aaa所以两个数字的和为86=14.4、有一个四位整数12，如果要让这个四位数能被89 整除，那么这个四位数的末两位上应是什么数？【分析】试除法.129989=14.53，1299-53=1246.所以，这个四位数的末两位应是 46.5、六位数5308能被 99 整除，是多少？【分析】利用 99 的整除性，+08+53=99，=99-8-53=38.6、2009200920092009
19、2009094个能否被 11 整除？【分析】奇数位数字之和为 9+9+9+9+9=95=45，偶数位数字之和为 2+2+2+2=24=8，奇数位减偶数位的差为 45-8=37，不是 11 的倍数，所以20092009200920092009094个不能被 11 整除.【A 版学案 1】下列数中，哪些能被 4 整除？哪些能被 8 整除？哪些能被 9 整除？哪些能被 7 整除？哪些能被 11 整除？414105726731320596【分析】能被 4 整除的数有 1320，596，能被 8 整除的数有 1320，能被 9 整除的数有 414，2673能被 7 整除的数有 1057，能被 11 整除
20、的数有 2673,1320A 版学案第 13 讲9第 7 级下优秀 A 版教师版【A 版学案 2】173是一个四位数，老师在这个中先后填入两个数字，所得到的两个四位数，依次可被 9、11 整除，老师填入的两个数字和是多少？【分析】能被 9 整除，填 7；能被 11 整除，填 8.所填两个数字的和为 15.【A 版学案 3】七位数3A8629B 是 88 的倍数，求 A 和 B.【分析】88=118.个位只能为 6,3+8+2+6=9+6+A=19,A=4.所以 A=4，B=6.【A 版学案 4】六位自然数1082能被 12 整除，末两位数最大是【分析】因为10829912902411，所以10829911108288能被12 整除，且符合末两位是最大.
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