1、三角函数例1。若角的终边经过点，则 。【思路分析】由任意三角函数定义先求出，然后由二倍角正切公式可得。解：角的终边经过点，所以，。【解后反思】本题是考查任意角三角函数和二倍角公式，求解时要能正确地理解任意角的三角函数定义，熟记三角公式。练习：已知角的终边经过点，则 。解答：。例2。已知且，则 。【思路分析】由条件可先求得，然后据同角三角函数公式求得。解：由得，从而。又，所以，所以。【解后反思】本题是检测二倍角的正弦及同角三角函数关系式，注意角的范围以便正确确定三角函数值的符号。练习：已知-x0,sinx+cosx=.(1)求sinx-cosx的值；（2）求的值.解 （1）方法一 联立方程： 由
2、得sinx=-cosx,将其代入，整理得25cos2x-5cosx-12=0.-x0,所以sinx-cosx=-.方法二 sinx+cosx=,(sinx+cosx)2=,即1+2sinxcosx=,2sinxcosx=-.(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+= 又-x0,sinx0,cosx0,sinx-cosx0由可知：sinx-cosx=-. (2)由已知条件及（1）可知,解得,tanx=-.又= =.例3.若，,，则的值等于 。【思路分析】本题我们首先应注意到条件角与结论角之间的关系：，从而可先由条件利用同角三角函数关系求得
3、条件角的余弦，再用两角和的余弦公式求得。由，则，又 ，所以，。 。解答：。【解后反思】对知值求值问题，在求解中要善于用条件中的角来表示结论中的角。练习：已知，sin()= sin则cos=_.解： ， ，则=例4.求的值。【思路分析】注意到式中的角和三角函数名称多样性，可考虑从统一角和名称入手，化异为同，达到求解的目的。解： =【解后反思】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值。方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所
4、有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.练习：求的值。解： 例5.已知，（）求的值；（）求的值。【思路分析】第一问直接求解方程，但要注意角的范围。对于第二个问题，我们应设法在恒等变形中构造出出来。解：()由得，即，又，所以为所求。（）=。【解后反思】这一类问题在求解中要注意：在做恒等变形时尽量构造出条件中的三角函数，然后代换。练习：已知（）求的值；（）求的值。解：()由，得，所以。（），。例6。将函数的图象向左平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 。 【思路分析】将函数的图象向左平移
5、，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，所以，因此。解答：。【解后反思】根据图象求的解析式，一般做法是先求周期，然后得到；利用最高点与最低点的纵坐标得到；图象在轴左边与轴第一个交点的横坐标得到。练函数图像的一部分如右图所示它的解析式是 。解答：。解析：先据图象知：，周期为，从而，又。例7。为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 。【思路分析】利用三角函数图象变换规律：先平移后伸缩。将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数的图像。解：将的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）。
6、【解后反思】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时训练的比较多的一种类型。由函数的图象经过变换得到函数（1）y=Asinx，xR(A0且A1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A0且1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的倍（纵坐标不变） （3）函数ysin(x)，xR(其中0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当0时)或向右(当0时平行移动个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)，可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把x前面的系数提取出来。练习：已知函
7、数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x-,xR.函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到？解析：=先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象。例8已知函数 （I）求函数的最小正周期和单调递减区间； （II）求函数在上的最大值和最小值并指出此时相应的x的值。【思路分析】先对函数表达式利用二倍角公式，诱导公式或两角和与差的正余弦公式进行恒等变形，把它化成仅含一个三角函数，然后对照正弦函数相应的性质处理。解：（I）所以由得所以函数的最小正周期为 （II）由（I）有因为 所以因为所以当取得最大值2【解后反思】此类问题在处理过程中，把函数式化为仅含一
8、个三角函数是关键。练习、已知函数为常数）（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间；若时，的最小值为 2 ，求的值 (1) 的最小正周期 (2) 当即时，函数单调递增，故所求区间为 (3) 时，时，取得最小值 例9如图，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往处救援，求的值【思路分析】本题是一道实际应用题，首先应考虑如何转化为数学问题。从文字描述中不难看出它与解三角形有关。在中利用正弦定理和余弦定理即可解决。【解】 如题图所示，在中，,由余弦定理知 由正弦定理
9、由，则为锐角，.由，则【解后反思】有关求解三角形中的计算问题一般要善于利用正弦定理和余弦定理，选择好定理是求解的关键，同时要防止增解的情况。练习：某观测站C在A城的南偏西的方向.由A城出发的一条公路，走向是南偏东，在C处测得公路上B处有一人距C为31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A城？解 设ACD=，CDB=.在BCD中，由余弦定理得cos=-，则sin=,而sin=sin(-60)=sincos60-cossin60=+=,在ACD中，由正弦定理得=,AD=15(千米).答 这个人再走15千米就可到达A城.例10在中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，且a、b、c互不相等，设a=4，c=3，.（）求的值； （）求b的值. 【思路分析】从所给条件来看：告诉三角形两边及其对角，因此要先用正弦定理求出，再用余弦定理求出b。（）解：在中，由正弦定理，得，因为，所以，即，解得； （）解：在中，由余弦定理， 得，解得.因为a、b、c互不相等，所以. 【解后反思】解三角形的问题求解时关键是正确地选择正弦定理和余弦定理。 练习： (I)求角B 的大小； (II)若解：(I)：代入整理得：.即：，在三角形中，是三角形的内角，B=60. (II)： 故
