1、中学生标准学术能力诊断性测试 2019 年 9 月测试 理科数学试卷5A3B 2x + 2 y 4 0 1 C2D4本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的9若实数 x,y 满足 x y 1 0x 1，则 x2 + y 的取值范围是（）1若复数 z 满足 (1 - i )2 + z (1 i ) + i = 0 ，则 z =（）A1,2 5B 4,2A 1 + 1 i2 2B 1 1 i2 21 xC 1 + 1 i2 2D 1 1 i2 2C 5 , 417 4 D 1,17
2、 4 2已知集合 A = x | log2 x 0,b 0 ）右支上一点，A 为其左顶点，F (4 3, 0) 为其右焦点，满足厂，则三个工厂被抽中的工人数依次为（）a2b2A28，23，9B27，23，10C27，22，11D28，22，10AF PF ,PFA60 ，则点 F 到 PA 的距离为（）4已知公差不为 0 的等差数列an 的首项 a1 = 3 ，若 a2 ,a3 ,a6 成等比数列，则an 的前 5 项之和为（）5 3 7AB2 27 3 15CD2 2A 23B 25C 43D 455设曲线 y = ax2 b ln x 在 x = 1 处的切线方程为 y = 5x 2 ，则
3、 a,b 的值分别为（）A 2,1 B 2, 1 C 3,1 D 3, 112在三棱锥 A - BCD 中，BC = BD = AC = AD = 10 ，AB = 6 ，CD = 16 ，点 P 在平面 ACD 内，且 BP =设异面直线 BP 与 CD 所成角为a ，则 sin 的最小值为（）30 ，6在平行四边形 ABCD 中，O 为 AC 与 BD 的交点，若 2AE = ED ，则 OE= （）3 10 10AB10 10A 1 BA + 1 BC26B 1 BA 1 BC26C 1 BA + 1 BC26D 1 BA 1 BC262 55CD557已知一个棱锥的三视图如图所示，则该
4、棱锥的表面积为（）cm2A 9 2 + 9二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分x22, x0B 9 2 +1813已知函数 f ( x)2x6ln x, x，则 y = f (x) x 的零点个数为 0C1814已知数列a 满足 a= 2 ， (n 1)a= na+ n(n 1)(n 2) ，则a 的通项公式为 D27n 1 nn1n8设抛物线 C： y2 = 4x 的焦点为 F，直线l 过 F 且与抛物线 C 交于 A, B 两点若 ABAF16，且 AF3 BF ，则15某校开设 A 类选修课 4 门，B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门若要求两类课程中各至
5、少选一门，则不同的选法共有 种BF16已知函数 f (x) = ln(x +1)(x 0) 与 g(x) = 2x a 的图像上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作（二）选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60 分17（12 分）在 DABC 中， AB = 3 ， AC = 1 ， A = 60 清题号22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 2
6、 x = 2 + t 2（1）求 sin ACB ；（2）若 D 为 BC 的中点，求 AD 的长度在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 y = 4 +（t 为参数），点 M (2, 4) .以坐标原点为极点， x 轴2 t218（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA 平面 ABCD ，四边形 ABCD为矩形，E 是 PD 的中点，M 是 EC 的中点，点 Q 在线段 PC 上且 PQ=3QC（1）证明 QM/平面 PAB；正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 r sin2 q 2a cosq = 0 (a 0) （1）当 a = 1 时，求曲线 C 的直角坐
7、标方程；（2）设曲线 C 与直线 l 交于点 A, B ，若| AB |2 =| MA | | MB | ，求 a 的值（2）当 PBA 为多大时，在线段 PC 上存在点 F 使得 EF 平面 PAD 且 EF与平面 PBC 所成角为 45同时成立？第 18 题23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知 f (x) =| x + 2 | | ax 3 | （1）当 a = 2 时，求不等式 f (x) 2 的解集；19（12 分）设盒子中装有 6 个红球，4 个白球，2 个黑球，且规定：取出一个红球得 a 分，取出一个白球得b 分，取出一个黑球得 c 分，其中 a，b，c 都为正整数（1）当
8、 a = 1 ，b = 2 ，c = 3 时，从该盒子中依次任取（有放回，且每球取到的机会均等）2 个球，记随机变量x为取出此 2 球所得分数之和，求x 的分布列；（2）当 a = 1 时，从该盒子中任取（每球取到的机会均等）1 个球，记随机变量h 为取出此球所得分数若Eh = 5 ， Dh = 5 ，求 b 和 c （2）当 0 x 1 3920（12 分）设椭圆 C : x+ y2 = 1 的右焦点为 F ，过点 (m, 0) （| m | 1 ）作直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点，且坐标原4点 O (0, 0) 到直线 l 的距离为 1（1）当 m = 1 时，求直线 AF 的方程；（2）求 DABF 面积的最大值21（12 分）已知函数 f ( x) = ln(ax + 1) 2ax 2 ln 2 + 3 （ a 0 ， a 为常数， x 0 )（1）讨论 f (x) 的单调性；x + 22（2）当 0 a 3 时，求证： f (x) 0 2
