1、11.4 空间中的垂直关系11.4.2 平面与平面垂直第十一章 立体几何初步 学习目标 1.理解二面角、二面角的平面角的概念.2.理解两个平面垂直的定义.3.理解平面与平面垂直的判定定理.4.能运用定理证明一些平面与平面垂直的问题.5.理解平面与平面垂直的性质定理，并能够证明.6.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.学习目标 重点：通过直观感知、操作确认，概括出面面垂直的判定定理、性质定理.难点：面面垂直判定定理的应用及二面角的求法，性质定理的证明.知识梳理 1.二面角定义一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的
2、图形称为二面角，这条直线称为二面角的，这两个半平面称为二面角的.一、二面角棱面2.二面角的平面角如图所示，在二面角-l-的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小.特别地，平面角是直角的二面角称为.直二面角一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中，不大于90的角的大小.平面与平面垂直的判定定理（简称为面面垂直的判定定理）如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.即：如果l，l，则.二、平面与平面垂直平
3、面与平面垂直的性质定理（简称为面面垂直的性质定理）如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.即：如果，m，AO，AOm，则AO.例1 一 求二面角的大小常考题型 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA11，AB 3，则二面角A-BC-A1的大小是（）A.30B.45C.60D.90【解析】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，因为ABBC，B1BBC，ABB1BB，AB平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1，所以BC平面ABB1A1.因为A1B平面ABB1A1，所以BCA1B.又ABBC，所以ABA1即为二面角A-BC-A1的平面角.因为AA1
4、1，AB 3，AA1AB，所以ABA130.【答案】A【点评】二面角的平面角的两边分别在二面角的两个面内，且两边与二面角的棱垂直，垂足为棱上同一个点，因此这个角所在的平面与棱垂直.2019陕西榆林一中检测如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的平面角的正切值为（）A.62B.3C.1D.2 33D 例2 二 面面垂直的判定与证明问题如图，AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，PA平面ABC.（1）求证：平面PBC平面PAC.（2）若AEPC，E为垂足，F为PB上任意一点.求证：平面AEF平面PBC.【证明】（1）AB是O的直径，ACB90，即
5、ACBC.PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.ACPAA，AC平面PAC，PA平面PAC，BC平面PAC.BC平面PBC，平面PBC平面PAC.（2）由（1）知BC平面PAC，AE平面PAC，AEBC.又 AEPC，BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC，AE平面PBC.AE平面AEF，平面AEF平面PBC.判断或证明面面垂直的方法面面垂直的定义：二面角的平面角是90；面面垂直的判定定理：证明一个平面经过另一个平面的垂线（a，a）.1.如图所示，已知ABCD是平行四边形，且PAPC，PDPB.求证：平面PAC平面ABCD.【证明】如图，连接BD交AC于点O，连接PO.因为四边形ABC
6、D是平行四边形，所以O是BD与AC的中点.因为PAPC，PDPB，所以PODB，POAC.因为DBACO，DB平面ABCD，AC平面ABCD，所以PO平面ABCD.又因为PO平面PAC，所以平面PAC平面ABCD.2.2019河南驻马店高二检测如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形且ABC3，PA平面ABCD，EDPA，PA2ED2.证明：平面PAC平面PCE.【证明】连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF（图略）.O，F分别为AC，PC的中点，OFPA，且OF12PA.DEPA，且DE12PA，OFDE，且OFDE.四边形OFED为平行四边形，ODEF，即
7、BDEF.PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.四边形ABCD是菱形，BDAC.PAACA，BD平面PAC.BDEF，EF平面PAC.EF平面PCE，平面PAC平面PCE.三 翻折与探索性问题翻折问题中的垂直关系例3 如图，在矩形ABCD中，AB3 3，BC3，沿对角线BD将BCD折起，使点C移到C点，且CO平面ABD于点O，点O恰在AB上.（1）求证：平面BCD平面ACD.（2）求点A与平面BCD的距离.（1）【证明】CO平面ABD，AD平面ABD，CODA.ABDA，ABCOO，AB平面ABC，CO平面ABC，DA平面ABC.BC平面ABC，DABC.又 BCCD，BCCD.DAC
8、DD，DA平面ACD，CD平面ACD，BC平面ACD.BC平面BCD，平面BCD平面ACD.（2）【解】过点A作AECD于点E（图略）.由（1）知BC平面ACD，BCAE.BCCDC，BC平面BCD，CD平面BCD，AE平面BCD.线段AE的长就是点A到平面BCD的距离.由（1）知DA平面ABC，DAAC.AC 2 2=3 2，而CDCD3 3，ADBC3，在RtCAD中，由面积关系，得AE 3 233 3 6.点A到平面BCD的距离是 6.解决折叠问题的方法（1）解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同侧的量不变，抓住不变量是解决问题的突破口.（2）综合折
9、叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形.【方法技巧】不论是翻折还是展开，均要注意平面图形与立体图形中各个对应元素的相应变化，元素间的大小与位置关系，哪些不变，哪些变化.2019安徽六安市毛坦厂中学月考如图，在梯形ABCP中，CPAB，CPBC，ABBC12CP，D是CP的中点，将PAD沿AD折起得到图，点M为棱PC上的动点.求证：平面ADM平面PDC.【证明】在梯形ABCP中，D是CP的中点，AB12CP，CPAB，CDAB，CDAB.四边形ABCD为平行四边形.又 CPBC，ADPC.在题图中，ADPD，ADDC，PDDCD，PD平面PDC，DC平面PDC，AD平面PDC.
10、又 AD平面ADM，平面ADM平面PDC.垂直关系中的探索性问题例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.（1）求证：ADPB.（2）若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？证明你的结论.（1）【证明】如图，设G为AD的中点，连接PG，BG.PAD为正三角形，PGAD.在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点，BGAD.又BGPGG，BG平面PGB，PG平面PGB，AD平面PGB.PB平面PGB，ADPB.（2）【解】能，当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.证明
11、如下：如图，取PC的中点F，连接DE，EF，DF.在PBC中，FEPB，又 EF平面BGP，PB平面BGP，EF平面BGP.在菱形ABCD中，GBDE，又 DE平面BGP，GB平面BGP，DE平面BGP.EF平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，平面DEF平面BGP.平面PAD平面ABCD，PGAD，平面PAD平面ABCDAD，PG平面PAD，PG平面ABCD.PG平面BGP，平面BGP平面ABCD，平面DEF平面ABCD.【点评】垂直关系中的探索性问题一般是探索某点在什么位置满足垂直关系，解题时要充分借助图形特征，利用重要的判定定理与性质定理，先大胆猜想，再仔细论证.探索性问题的两种主要类
12、型一是结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件.二是存在型：先假定“存在”，若经推理无矛盾，则“存在”成立；若推出矛盾，则结论为“不存在”.2019河南郑州质检如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD3，PAD是等边三角形，F为AD的中点，PDBF.（1）求证：ADPB.（2）若E在线段BC上，且EC14BC，则在棱PC上是否存在一点G，使平面DEG平面ABCD？若存在，求四面体D-CEG的体积；若不存在，请说明理由.（1）【证明】如图，连接PF，BD，PAD是等边三角形，F为AD的中点，PFAD.底面ABCD是菱形，BAD3，ABD是等边三角形.F为AD的中点，
13、BFAD.又PF，BF平面PBF，PFBFF，AD平面PBF.PB平面PBF，ADPB.（2）【解】存在.由（1）得BFAD，又 PDBF，ADPDD，AD，PD平面PAD，BF平面PAD.又BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD.由（1）得PFAD，平面PAD平面ABCDAD，PF平面ABCD.如图，连接FC，交DE于H，则HEC与HDF相似.又EC14BC12FD，CH13CF，在PFC中，过H作GHPF交PC于G，连接GD，GE，则GH平面ABCD.又GH平面GED，则平面GED平面ABCD，此时CG13PC，GH13PF，四面体D-CEG的体积VD-CEGVG-CED13SCEDGH
14、131822 32 13PF 112.存在G满足CG13PC，使平面DEG平面ABCD，且VD-CEG 112.小结 一、二面角 1.二面角定义一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，2.二面角的平面角在二面角-l-的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小.二、平面与平面垂直 平面与平面垂直的判定定理（简称为面面垂直的判定定理）如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.即：如果l，l，则.平面与平面垂直的性质定理（简称为面面垂直的性质定理）如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.即：如果，m，AO，AOm，则AO.
