1、曲靖市沾益区第四中学2021年高二年级5月月考质量检测数学试卷（理）一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD2已知，则z等于（ ）ABCD3已知向量、满足，则与夹角为（ ）ABCD4等差数列中，为其前项和，且，则最大时的值为（ ）A7B10C13D205阅读如图所示的程序框图，则输出的S等于A38B40C20D326在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为()ABC3D47袋中共有完全相同的4只小球，编号为1，2，3，4，现从中任取2只小球，则取出的2只球编号之和是偶数的概率为（ ）ABCD8倾斜角为4
2、5的直线将圆分割成弧长的比值为的两段弧，则直线在轴上的截距为（ ）A1BCD9已知双曲线，椭圆，若双曲线的渐近线与椭圆相交的四个交点与椭圆的两个焦点形成了一个正六边形，则这个正六边形的面积为（ ）ABCD10已知四点均在半径为（为常数）的球的球面上运动，且，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为（ ）ABCD11已知在处取得极值，则的最小值是（ ）AB2CD12已知椭圆直线过左焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为ABCD二、填空题13设，则二项式的展开式中常数项的值为_.14的内角，所对边长分别是，设向量，若，则角的大小为_.15在某项测量中，测
3、量结果服从正态分布若在(0，1)内取值的概率为0.4，则在(0，2)内取值的概率为_16函数（，）在区间上存在极大值，则实数的取值范围是_三、解答题17已知数列和满足：，数列的前项和为，点在直线上（）求数列和的通项公式；（）设，求数列的前项和18某企业生产A产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值划分等级及产品售价如下表：质量指标值m或或产品等级等品二等品三等品售价（每件）160元140元120元从该企业生产的A产品中抽取100件作为样本，检测其质量指标值，得到下图的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求A产品质量指标值的中位数；（2）用样本频率估计总体概率.现有一名顾客随机购买两件A产
4、品，设其支付的费用为X元，求X的分布列及数学期望.19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，是的中点（1）证明平面；（2）求二面角的正切值20某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分（采用百分制），剔除平均分在分以下的学生后，共有男生名，女生名.现采用分层抽样的方法，从中抽取了名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为组，得到如下所示频数分布表.分数段男女（）规定分以上为优分（含分），请你根据已知条件作出列联表.优分非优分合计男生女生合计（）根据你作出的列联表判断是否有以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.附表及公式：，其中.21
5、已知函数，（1）若，的极大值是，求a的值；（2）若，在上存在唯一零点，求b的值22已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上（1）求双曲线C的方程及渐近线方程；（2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程.理科参考答案1A【分析】先利用对数函数定义域的求法和一元二次不等式的解法，化简集合A，B，再利用交集的运算求解【详解】，故选：A2D【分析】利用复数模的计算公式以及复数相等即可求解.【详解】设，则，所以，解得，即.故选：D3C【分析】将两端平方即可得到，再利用数量积的定义计算即可得到答案.【详解】由已知，即.因为，则，所以，即.设向量与的夹角为，则，即，又，所以.故选：C【
6、点睛】本题考查向量的夹角的计算，涉及到向量数量积的运算性质，数量积的定义等知识，是一道容易题.4B【分析】利用等差数列的前项和公式可得，求出，再利用等差数列的通项公式求出数列的非负数项，即可求解.【详解】等差数列中，由，则，解得，所以数列为递减数列由，令，解得，所以数列前项为正数，从第项开始为负数所以最大时的值为10.故选：B【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式、通项公式，需熟记公式，属于基础题.5B【分析】模拟程序,依次写出各步的结果,即可得到所求输出值【详解】程序的起始为第一次变为第二次变为第三次变为第四次变为满足条件可得故选：B.【点睛】本题考查程序框图中的循环结构,难度较易.6A【分
7、析】由已知得到圆锥的半径与母线长，再代入扇形面积公式求得圆锥侧展图面积【详解】圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为的扇形，其面积，所以圆锥的侧面展开图面积为.【点睛】本题考查求圆锥侧展图及扇形面积的基本运算7C【分析】先求出在编号为1，2，3，4的小球中任取2只小球的不同取法，再求出取出的2只球编号之和是偶数的不同取法，然后求概率即可得解.【详解】解：在编号为1，2，3，4的小球中任取2只小球，则有共6种取法，则取出的2只球编号之和是偶数的有共2种取法，即取出的2只球编号之和是偶数的概率为，故选：C.【点睛】本题考查了古典型概率公式，属基础题.8D【分析】直线将圆分割成弧长的比值为的两段弧，可得，
8、即，设直线的方程为，利用点线距公式列出方程，解出直线在轴上的截距【详解】设原点为，直线与圆交于点，由题意，得过作于点，则；设直线的方程为，由，得，解得，所以直线在轴上的截距为，故选 ：D9A【分析】由题意可得椭圆与渐近线的交点坐标，进而求出交点到原点的距离，等于半个焦距，再由正六边形可得渐近线的斜率，可得，的关系，求出值，进而求出正三角形的面积，6倍的一个正三角形的面积就为正六边形的面积【详解】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为：，与椭圆，联立可得所以，由得到的正六边形可得，所以，所以，即，解得：，即，所以正六边形的面积为，故选：【点睛】考查圆锥曲线的综合，考查运算能力，属于基础题10C【分析
9、】由题意要使四面体的体积最大，则在底面的投影恰好为底面三角形外接圆的圆心，则外接球的球心在上，求出三棱锥的体积，由均值不等式可得的值，进而求出外接球的表面积【详解】因为，作于，则为的中点，且，若四面体的体积的最大值时，则面，则外接球的球心在上，设为，设外接球的半径为，连接，则，当且仅当，即时取等号，因为三棱锥的最大体积为，所以，可得，所以外接球的表面积为，故选：C【点睛】本题考查的是几何体的体积和表面积公式及利用基本不等式求最值，属于较难题.11D【分析】求导，根据极值点得到，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】，故，根据题意，即，经检验在处取得极值.，当且仅当，即时，等号成立.故选：.【
10、点睛】本题考查了根据极值点求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.12D【分析】假设直线方程，求得圆心到直线的距离，利用弦长等于可构造关于的齐次方程，从而求得离心率.【详解】由题意知，椭圆左焦点为，长轴长为，焦距为设直线方程为：，即则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为，半径为圆心到直线的距离，整理得：椭圆的离心率为本题正确选项：【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，关键是能够利用直线被圆截得的弦长构造出关于的齐次方程.13240【分析】求解定积分得，根据二项式定理的通项公式展开可求常数项.【详解】，其展开式的通项公式为令，解得常数项为.故答案为：240.【点睛】本题主要考查二项式定理的常数项，求
11、出展开项的通项是解题的关键.14【分析】由则,利用正弦定理角化边化简可得,利用余弦定理即可求得角的大小.【详解】若，则，由正弦定理可得，化简为，所以，因为，所以.故答案为: .【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,难度较易.150.8【解析】此题考查正态分布的知识因为正态分布的平均数为1，所以答案 0.816【分析】对函数求导并化简，设，求导判断出单调性和最值，若函数存在极大值，则需函数先增后减，即导函数的函数值先正后负，列不等式可得实数的取值范围【详解】设，令，解得，即在上单调递增；令，解得，即在上单调递减；且，又，则当，即时，先增后减，即函数存在极大值故答案为：【点睛】关键点点睛：
12、本题考查导函数在极值中的应用，解决本题的关键点是将函数存在极大值，转化为导函数零点问题，进而成为函数与的图象问题，列不等式可得出参数的范围，考查学生转化思想和计算能力，属于中档题17（），（）【分析】（），故数列为等差数列，点在直线上，由，故，求出数列和的通项公式；（），分组求和即可【详解】解：（），故数列为等差数列，设公差为，故，时，显然成立，故，点在直线上，由，作差，故，故为首项为1，公比2的等比数列，时，显然成立，故，（），【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的判定，考查了利用分组求数列的和，考查了数学运算能力.18（1）31；（2）分布列见解析，292.【分析】（1）根据在频率直方图中
13、，中位数左右两边的直方图的面积相等进行求解即可；（2）先求出企业随机抽取一件A产品为一等品，二等品，三等品的概率，然后求出X的所有可能取值，再求出每种可能的概率，最后列出分布列计算数学期望.【详解】（1）设A产晶质量指标值的中位数为x，则，解得：. （2）由题意知，该企业随机抽取一件A产品为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为.X的所有可能取值为：240，260，280，300，320.，所以X的分布列为X240260280300320X的数学期望（元）.【点睛】本题考查了利用频率直方图求中位数，考查了列离散型随机变量分布列和计算数学期望，考查了数学阅读能力和数学运算能力.19（）证
14、明：在四棱锥中，因底面，平面，故，平面而平面，（）证明：由，可得是的中点，由（）知，且，所以平面而平面，底面在底面内的射影是，又，综上得平面（）二面角的大小是【解析】（）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故，平面而平面，（）证明：由，可得是的中点，由（）知，且，所以平面而平面，底面在底面内的射影是，又，综上得平面（）解法一：过点作，垂足为，连结则（）知，平面，在平面内的射影是，则因此是二面角的平面角由已知，得设，可得在中，则在中，所以二面角的大小是解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为过点作，垂足为，故平面过点作，垂足为，连结，故因此是二面角的平面角由已知，可得，设，可得，于是，在中，所以
15、二面角的大小是20（）详见解析；（）没有.【分析】（）由分以上为优分并结合表格中的数据可得出列联表；（）根据列联表中的数据计算出的观测值，再将观测值与进行大小比较，可对题中的结论正误进行判断.【详解】（）由已知得列联表如下：优分非优分合计男生女生合计（），因为，所以没有以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.【点睛】本题考查列联表的完善以及独立性检验基本思想的应用，解题的关键就是结合的计算公式以及临界值表，计算出犯错误的概率，考查计算能力，属于基础题.21（1）；（2）【分析】（1）先求得函数的定义域，求得函数的导函数，根据定义域，分析导函数的零点情况，对实数进行分类讨论，根据函数的极值的条件，
16、求得的值；（2）利用导数研究函数的单调性，结合唯一零点的条件得到等式，化简即可求得的值.【详解】（1）若，则的定义域为，若，在定义域内单调递增，无极大值；若，单调递增；，单调递减时，取得极大值，（2）若，则，令，得，当时，有唯一解，即，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增又因为有且只有1个零点，所以即因为，整理可得故【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题和零点问题，属基础题，难度一般，关键点在于(1)中的分类讨论，（2）中的的根的设而不求的思想.22（1），；（2）.【分析】（1）先求解出椭圆的焦点坐标，则双曲线的焦点坐标可求，再结合点在双曲线上求解出双曲线的方程，并求解出渐近线方程；（2）利用点差法求解出直线的斜率，再结合直线过点，则可求直线的方程.【详解】（1）因为椭圆的焦点坐标为，所以双曲线的焦点坐标为，又因为在双曲线上，所以 ，所以，所以双曲线的方程为：，渐近线方程为；（2）设，所以，所以，所以，又因为，所以，所以弦所在直线的方程为：，即.