1、第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制学习目标了解弧度制,并能进行弧度与角度的换算.学习过程一、自主学习问题1:你能写出终边分别在x轴、y轴上的角的集合吗?问题2:在同一坐标系中分别作出30,-45,390的角,并指出它们是第几象限角?问题3:写出与60角终边相同的角,并指出落在0720间的角.问题4:1的角是怎样定义的?半径为r,圆心角为n的扇形的弧长是多少?二、自主研讨问题5:已知30,60的圆心角,半径r为1,2,3,4,分别计算对应的弧长l,再计算弧长与半径的比,并总结规律.探究一:弧度制定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角,记作1rad,这种度量角的单位制称
2、为.新知:正角的弧度数是数,负角的弧度数是数,零角的弧度数是.角的弧度数的绝对值|=(l为弧长,r为半径).探究二:弧度制与角度值的转化问题6:若弧长是一个半圆,则其圆心角的弧度数是多少?问题7:若弧长是个圆,则其圆心角的弧度数是多少?问题8:你能得到同一个角的角度和弧度的关系吗?问题9:你能得到角的弧度数的绝对值、弧长l、半径r之间的关系吗?你能得到扇形的面积公式吗?试一试:完成特殊角的度数与弧度数的对应表:角度030456090120135150180弧度角度210225240270300315330345360弧度三、典例精析,应用新知1.按要求解答下列各题:(1)把6730化成弧度;(
3、2)把rad化成角度.2.利用弧度制证明扇形面积公式:(1)S=lr;(2)S=r2.3.(1)已知扇形半径为10cm,圆心角为60,求扇形的弧长和面积;(2)已知扇形的周长为8cm,圆心角为2rad,求扇形的面积.四、课堂练习1.把2230化成弧度表示是()A.B.C.D.2.半径为2的圆的圆心角所对弧长为6,则其圆心角为rad.3.化为度表示是.4.将下列各式进行度与弧度的转化(1)=;(2)-=;(3)-105=rad.五、小结反思六、达标检测(A组必做,B组选做)A组1.时钟经过一小时,时针转过了()A.radB.-radC.radD.-rad2.若=-3,则角的终边在()A.第一象限
4、B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.半径为cm,中心角为120的弧长为()A.cmB.cmC.cmD.cm4.若扇形的圆心角=2,弧长l=3,则该扇形的面积S等于()A.92B.C.6D.65.圆的半径变为原来的2倍,而弧长也增加到原来的2倍,则()A.扇形的面积不变B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增大到原来的2倍D.扇形的圆心角增大到原来的2倍B组1.已知集合M=x|x=k,kZ,N=x|x=k,kZ,则()A.集合M是集合N的真子集B.集合N是集合M的真子集C.M=ND.集合M与集合N之间没有包含关系2.如图,终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是()A.|120330B.|k36
5、0-30k360+120,kZC.|k360+120k360+330,kZD.|k180+120k180+330,kZ3.已知一个扇形的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积.4.如图,用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界).参考答案一、自主学习问题1:终边在x轴上的角的集合为|=k180,kZ,终边在y轴上的角的集合为|=90+k180,kZ.问题2:30是第一象限角,-45是第四象限角,390是第一象限角.问题3:与60角终边相同的角为=60+k360,kZ,落在0720间的角为60,420.问题4:1的定义为圆周角的,弧长公式为.二、自主研讨问题5:30的
6、圆心角,半径为1时,弧长为;半径为2时,弧长为;半径为3时,弧长为;半径为4时,弧长为.60的圆心角,半径为1时,弧长为;半径为2时,弧长为;半径为3时,弧长为;半径为4时,弧长为.结论:圆心角不变,则弧长与半径的比值不变.探究一:弧度制弧度制,正,负,零探究二:弧度制与角度值的转化若弧是一个半圆,则其圆心角的弧度数为=rad;若弧长是个圆,则其圆心角的弧度数为rad;角度数和弧度数的关系180=rad,即1=rad,1rad=().由弧度的定义知|=,即l=|r.半径为r,圆心角的弧度数为的扇形的面积S=r2=lr.试一试:完成特殊角的度数与弧度数的对应表:角度030456090120135
7、150180弧度0角度210225240270300315330345360弧度2三、典例精析,应用新知1.解:(1)6730=(67),6730=rad67rad.(2)rad=180=108.2.证明:S=r2,l=r,=,S=lr,S=r2.3.解:(1)扇形的圆心角为60=,弧长l=r=10=(cm),S=r2=102=(cm2).(2)2r+l=8cm,=2,所以r=2cm,l=4,所以S=rl=24=4(cm2).四、课堂练习1.B2.33.2254.(1)15(2)-15730(3)-五、小结反思1.角度制与弧度制的比较(1)弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度,角度制是以“度”为单位度量角的制度;(2)1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小,而1是圆的所对的圆心角的大小;(3)不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值.2.弧度制是十进制,它用一个实数表示,而角度制是六十进制.六、达标检测A组1.B2.C3.D4.B5.BB组1.B2.C3.2cm24.(1)|+2k+2k,kZ;(2)|+k+k,kZ;(3)|2k+2k,kZ|+2k+2k,kZ.
