1、第二节 平面向量的基本定理及坐标表示 基础梳理1.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_一对实数 使a=_.其中，_叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个_的向量，叫做把向量正交分解 不共线有且只有互相垂直12、，1 12 2ee不共线的向量e1，e2(3)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使a=xi+yj.把有序数对_ 叫做向量a的坐标，记作a=_，其
2、中_叫a在x轴上的坐标，_叫a在y轴上的坐标 设，则_就是终点A的坐，则A点坐标为_，反之亦成立 OAxiyjOA向量的坐标（x,y）标，即若(,)OAx y(O是坐标原点)(x，y)(x，y)(x，y)yx2.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算 (x2,y2)(x1,y1)坐标 a a-b a+b b a 向量 (x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(x1,y1)(2)向量坐标的求法 终点 始点 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量 的坐标减去 的坐标.x1y2-x2y1=0 b(3)平面向量共线的坐标
3、表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则a与ba=1.(原创题)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则向量2a+3b-c的坐标为()A.(-3,4)B.(3,4)C.(1,5)D.(3,-5)12基础达标A 解析：2a3b c2(1,1)3(1,1)(4,2)(2,2)(3,3)(2,1)(232,231)(3,4)12122.(教材改编题)如图所示，在ABC中，D为BC的中点，设AB=a,AC=b,则AD可用a,b表示为 .12a+b 123.在正三角形ABC中，AB与BC的夹角为 .120 11()()22ADABACab2.解析：3.解析：在正三角
4、形ABC中，B60，与的夹角为60，与的夹角为18060120.4.(2011聊城模拟)已知向量a=(3,4),b=(sin,cos),且ab，则tan=.5.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB=(2,4),AC=(1,3)，则BD=()A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4)34B 4.解析：由题意得 ，tan sincos34345.解析：由题意得(1,3)2(2,4)(3，5)()2BDADABBCABACABABACAB经典例题题型一平面向量基本定理【例1】如图，在OAB中，AD与BC交于点M，设 用a、b为基底表示.1,5OCOA12ODOB,O
5、Aa OBbOM解 设(,),OMmanb m nR则(1),AMOMOAmanb11.22ADODOAbaab 因为A，M，D三点共线，1,112mn 所以即m+2n=1.1(),5CMOMOCmanb而1,5CBOBOCab 又因为A，M，D三点共线，所以15115mn即5m+n=1.1,21,9451,9mmnm nn 解得所以1499OMab【例1】(2010株洲模拟)在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,则MN=.解：MN=MC+CN=AD-AC=b-(a+b)=-a+b.121214141414变式1-1 解：G是ABO的重心,OG=O
6、C=(OA+OB)=(a+b),GP=OP-OG=ma-(a+b)=（m-）a-b,GQ=OQ-OG=nb-(a+b)=-a+（n-）b,又GPGQ,（m-）（n-）=,(m+n)=mn,即 =3.2313131313131313131313131911mn题型二平面向量的坐标运算【例2】已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB,试问:(1)当t为何值时,P在x轴上?P在第二象限?(2)四边形OABP能否构成平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.解：(1)O(0,0),A(1,2),B(4,5),OA=(1,2),AB=(3,3),OP=OA+tAB=(
7、1+3t,2+3t).若P在x轴上,则2+3t=0,解得t=-;若P在第二象限,则 解得-t-.(2)OA=(1,2),PB=PO+OB=(3-3t,3-3t),若四边形OABP为平行四边形,则OA=PB,而 无解,四边形OABP不能构成平行四边形.2323130230tt 331332tt 13变式2-1 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA,CN=2CB,求M、N及MN的坐标.解：A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),CA=(1,8),CB=(6,3),CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6).设M(x,y),则CM=(x+3,y+
8、4)=(3,24),M(0,20).同理可求N(9,2),因此MN=(9,-18).综上,M(0,20),N(9,2),MN=(9,-18).33424xy020 xy题型三平面向量共线的坐标表示【例3】(2011大连模拟)平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2)，c=(4,1),回答下列问题：（1）求满足a=mb+nc的实数m,n；（2）当k为何实数时，(a+kc)(2b-a)，它们是同向还是反向？解：（1）由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)，所以 解得 （2）a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=-.此时
9、a+kc=（-,）=(-5,2)=(2b-a),所以它们同向.4222mnmn5989mn161325131013513513 设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x轴、y轴正方向的单位向量若向量 那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由 2,ABij BCimj 解析：假设存在满足条件的m，根据题意可知：i=(1,0)，j=(0,1)，(1,0)2(0,1)(1,2),(1,0)(0,1)(1,).ABBCmm由A、B、C三点共线，即 /,ABBC得1m-1(-2)=0，解得m=-2，当m=-2时，A、B、C三点共线 已知点A(1
10、,2),点B(3,6),则与AB共线的单位向量为 .错解：由A(1,2),B(3,6)知AB=(2,4),(2,4)5 2 5(,)552 5ABAB易错警示错解分析：与AB共线有两种情况:一是同向共线,一是反向共线,“错解”中忽略了反向共线这一情况.正解：与AB同向时为 与AB反向时为-52 5(,)55ABAB 5 2 5(,)55ABAB链接高考 （2010陕西）已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)c，则m .知识准备:1.会进行平面向量的坐标运算；2.会利用平行的条件.解析:a=(2,-1),b=(-1,m),a+b=(1,m-1).由(a+b)c,得 ,m=-1.1112m