1、第41讲 用空间向量解决线面位置关系 第41讲用空间向量解决线面位置关系 1空间点、线、面位置的向量表示(1)在空间中取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量OP来表示，把向量OP称为点 P 的_ 知识梳理 第41讲 知识梳理 位置向量 (2)空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点A 以及一个定方向确定：在直线 l 上取ABa，那么对于直线 l 上任意一点 P，一定存在实数 t，使得_这样，点 A 和向量a 不仅可以确定直线 l 的位置，还可以具体表示出 l 上的任意一点 第41讲 知识梳理 APtAB 第41讲 知识梳理 (3)空间中平面 的位置可以由
2、 内两条相交直线来确定：设这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面 上任意一点，存在有序实数对(x，y)，使得_这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出 内的任意一点 OPxayb 第41讲 知识梳理 平行或重合 a b 2空间向量共线与共面的有关定理 第41讲 知识梳理 方向向量 OPOAta OAtAB(1t)OAtOB 第41讲 知识梳理 平面 xayb APxAByAC OPOAxAByAC 第41讲 知识梳理 方向向量 法向量 方向 3.空间向量与空间线面关系的判定 (1)如果向量v0与直线l平行，就称v为l的_ (2)与平面 垂直的非零向量
3、称为 的_平面的法向量代表平面的_ (3)设空间两直线l1，l2的方向向量分别为u1、u2，两平面，的法向量分别为v1、v2，则有以下的空间线面关系：第41讲 知识梳理 根据上面的结论，空间的线面平行或垂直问题，可转化为直线的方向向量与平面的法向量的平行或垂直问题 u1u2 u1 u2 u1u2 u1u20 u1v1 u1v1 u1 v1 v1v2 v1v2 v1v20 要点探究 探究点1 空间中的点共线、点共面问题第41讲 要点探究 例 1 如图 411 所示，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形，BADFAB90，BC 綊12AD，BE 綊12AF.求
4、证：C、D、F、E 四点共面 第41讲 要点探究 解答 由平面 ABEF平面 ABCD，AFAB，得 AF平面ABCD，以 A 为坐标原点，射线 AB 为 x 轴正半轴，射线 AD 为 y轴正半轴，射线 AF 为 z 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.第41讲 要点探究 解法一：设 ABa，BCb，BEc，则 B(a,0,0)，C(a，b,0)，E(a,0，c)，D(0,2b,0)，F(0,0,2c)，EC(0，b，c)，FD(0,2b，2c)，故EC12FD，从而由点 EFD，得 ECFD，故 C、D、F、E 四点共面 第41讲 要点探究 解法二：EC(0，b，c)，ED(a
5、,2b，c)，EF(a,0，c)，设存在实数 x，y，使得EDxECyEF，即(a,2b，c)x(0，b，c)y(a,0，c)因此，有 aay，2bbx，ccxcy，解得 x2，y1.ED2ECEF，由共面向量定理，得ED、EC、EF共面，即 C、D、F、E四点共面 第41讲 要点探究 点评 证明四点共面可用共线向量定理证明线线平行，从而由公理 2 的推论得到四点共面；也可以利用空间向量共面定理，转化为是否存在实数 x，y，使得EDxECyEF成立 探究点2 证明平行线关系第41讲 要点探究 例 2 如图 412 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 DD1的中点(1)求直线
6、BE 和平面 ABB1A1所成角的正弦值；(2)在棱 C1D1上是否存在一点 F，使 B1F平面 A1BE？证明你的结论 第41讲 要点探究 解答 设正方体的棱长为 1，如图所示，以AB，AD，AA1为单位正交基底建立空间直角坐标系(1)依题意，得 B(1,0,0)，E0,1，12，A(0,0,0)，D(0,1,0)，所以BE1,1，12，AD(0,1,0)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，因为 AD平面 ABB1A1，所以AD是平面 ABB1A1的一个法向量 设直线 BE 和平面 ABB1A1所成的角为 ，则 sin|BEAD|BE|AD|132123.第41讲 要点探究(2)在 C1D
7、1上存在 F，使 B1F平面 A1BE.证明如下：依题意，得 A1(0,0,1)，BA1(1,0,1)，BE1,1，12.设 n(x，y，z)是平面 A1BE 的一个法向量，则由 nBA10，nBE0，得 xz0，xy12z0.所以 xz，y12z，取 z2，得 n(2,1,2)第41讲 要点探究 设 F 是棱 C1D1上的点，则 F(t,1,1)(0t1)又 B1(1,0,1)，所以B1F(t1,1,0)而 B1F平面 A1BE，于 是B1F 平 面A1BE B1F n 0 (t 1,1,0)(2,1,2)02(t1)10t12F 为 C1D1的中点 这说明在棱 C1D1上存在点 F(C1D
8、1的中点)，使 B1F平面 A1BE.第41讲 要点探究 第41讲 要点探究 第41讲 要点探究 如图 413，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别是棱 A1B1、A1D1的中点，E、F 分别是棱 B1C1、C1D1的中点 求证：(1)E、F、D、B 四点共面；(2)平面 AMN平面 BDFE.第41讲 要点探究 解答 以 A 为坐标原点，AB、AD、AA1所在的直线为 x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，M12，0，1 ，N0，12，1，E1，12，1，F12，1，1.(1)EF12，12，0，
9、BD(1,1,0)BD2EF，即 E、F、D、B 四点共面 第41讲 要点探究(2)MN 12，12，0，DF 12，0，1，AM 12，0，1.设 n(x，y，z)是平面 BDFE 的一个法向量，则 nDF0，nEF0 12xz0，12x12y0，取 z1，得 n(2，2,1)，平面 BDFE 的一个法向量为 n(2，2，1)又nMN0，nAM0，nMN，nAM，即 n(2，2,1)也是平面 AMN的一个法向量，平面 AMN平面 BDFE.探究点3 证明垂直关系第41讲 要点探究 例 3 2010龙岩模拟 如图 414，在正方体 ABCDA1B1C1D1 的上底面上叠放三棱柱 A1D1MB1
10、C1N，该几何体的主视图与左视图如图 425 所示(1)若 DB1A1M，求实数 a 的值；(2)在(1)的基础上，求证：A1C平面 NB1D1.第41讲 要点探究 图414 图415 第41讲 要点探究 解答(1)如图所示，建立空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，B1(1,1,1)，A1(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，M(0,0,1a)，N(0,1,1a)，DB1(1,1,1)，A1M(1,0，a)DB1A1M，DB1A1M01a0a1.第41讲 要点探究(2)证明：A1C(1,1，1)，ND1(0，1，1)，NB1(1,0，1)A1CND10,A1CNB10，A1C
11、ND1，A1CNB1.又 ND1NB1N，A1C平面 NB1D1.第41讲 要点探究 如图 416，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的底面为正方形，O1、O 分别为上、下底面的中心，且 A1在底面 ABCD上的射影为 O，(1)求证：平面 O1DC平面 ABCD；(2)若点 E、F 分别在棱 AA1、BC 上，且 AE2EA1，问点 F 在何处时，EFAD?第41讲 要点探究 解答(1)证明：由 A1在底面 ABCD 上的射影为 O，则 A1O平面 ABCD，分别以OA，OB，OA1的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz，O 为坐标原点，如图所示，设底面正
12、方形的边长为 a，OA1h，则 A22 a，0，0，A1(0,0，h)，C 2 2 a，0，0，B0，22 a，0.由AOA1O1，得 O1 22 a，0，h，CO1(0,0，h)第41讲 要点探究 第41讲 要点探究 CO1OA0，CO1OB0，CO1OA，CO1OB，且 OAOBO，CO1平面 ABCD.又 CO1平面 O1DC，平面 O1DC平面 ABCD.第41讲 要点探究(2)由(1)及 AE2EA1，得 E26 a，0，23h，D0，22 a，0，B0，22 a，0，设BF FC，则 F22 a1，22 a1，0，EF22 a1 26 a，22 a1，23h，AD22 a，22 a
13、，0.由 EFAD，得EFAD0，即12 a21 16a212a21 00，3(1)30 12.BF12FC，即点 F 在 BC 的三等分点处时，EFAD.规律总结 第41讲 规律总结 1用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：基向量法和坐标法，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题 2点共线、点共面、线共面可转化为向量共面问题，应用共线向量定理、共面向量定理证明 第41讲 要点探究 3向量法证明线面平行问题，有以
14、下两种方法：(1)利用共面向量定理，证明向量p与两个不共线的向量a，b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使得pxayb；(2)设n为平面 的一个法向量，要证明直线a平面，只需要证明an0(a为直线a的方向向量)即可 4证明线面垂直的方法：可证明直线的方向向量与平面的法向量共线，也可以证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；证明面面垂直也可转化为两平面的法向量垂直 第41讲 要点探究 5平面的法向量的求法主要有两种：(1)直接法：如果图形比较特殊，借助几何知识易证明直线与平面垂直，则直线的方向向量就是平面的法向量；(2)坐标法：利用向量的坐标求一个平面的法向量的坐标，要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，它的主要步骤是：建立适当的空间直角坐标系；假设法向量为n(x，y，z)，求出平面内的两个不共线的向量的坐标a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，并列出关系式na0，nb0；将na0，nb0转化为代数方程组，求出x、y、z，并将其中的一个字母赋予特殊值，解得平面的一个法向量
