1、1圆锥曲线焦点弦二级结论分类汇总题型 1 圆锥曲线通径二级结论题型 2 椭圆焦点弦三角形周长二级结论题型 3 双曲线焦点弦周长二级结论(同支)题型 4 双曲线焦点弦周长问题二级结论(不同支)题型 5 椭圆倾斜角式焦点弦长二级结论题型 6 双曲线倾斜角式焦点弦长二级结论题型 7 抛物线倾斜角式焦点弦长二级结论题型 8 椭圆、双曲线点坐标式焦半径公式二级结论题型 9 抛物线点坐标式焦半径公式二级结论题型 10 焦点弦定比分点求离心率二级结论题型 1 圆锥曲线通径二级结论椭圆，双曲线的通径长 AB=2b2a.1(2022全国高三专题练习)过椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的焦点 F c,0
2、的弦中最短弦长是()A.2b2aB.2a2bC.2c2aD.2c2b【答案】A【分析】由过椭圆焦点的最短弦所在直线不垂直 y 轴，设出其方程并与椭圆方程联立求出直线被椭圆所截弦长即可推理作答.【详解】显然过椭圆焦点 F c,0的最短弦所在直线 l 不垂直 y 轴，设 l 的方程为：x=my+c，由 x=my+cb2x2+a2y2=a2b2消去 x 并整理得：(b2m2+a2)y2+2b2cmy-b4=0，设直线 l 与椭圆交于点 M(x1,y1),N(x2,y2)，则有 y1+y2=-2b2cmb2m2+a2,y1y2=-b4b2m2+a2，则有 MN=1+m2 y1+y22-4y1y2=1+
3、m2-2b2cmb2m2+a22-4 -b4b2m2+a2=2b2 1+m2 c2m2(b2m2+a2)2+1b2m2+a2=2b2 1+m2 c2m2+b2m2+a2(b2m2+a2)2=2b2a m2+1b2m2+a2=2b2a 1b2+a2-b2m2+1 2b2a 1b2+(a2-b2)=2b2a，当且仅当 m=0 时取“=”，2于是，当 m=0，即直线 l 垂直于 x 轴时，|MN|min=2b2a，所以过椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的焦点 F c,0的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是2b2a.故选：A【变式训练】1(2021 秋河北邯郸高三校考阶段练习)已知
4、过椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2为其右焦点，若 F1PF2=60，则椭圆的离心率为()A.53B.32C.22D.33【答案】D【分析】把 x=-c 代入椭圆方程求得 P 的坐标，进而根据 F1PF2=60 推断出 2cb2a=3 整理得3e2+2e-3=0，进而求得椭圆的离心率 e【详解】由题意知点 P 的坐标为-c，b2a或-c，-b2a，F1PF2=60，2cb2a=3，即 2ac=3b2=3(a2-c2)3e2+2e-3=0，e=33或 e=-3(舍去)故选 D【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基
5、础知识和分析推理的能力，属中档题2(2023 秋四川内江高三期末)椭圆 x24+y23=1 的焦点为 F1、F2，点 M 在椭圆上且 MF1 x 轴，则 F1到直线 F2M 的距离为()A.65B.3C.113D.3711【答案】A【分析】先求出 F1、F2的坐标，再由 MF1 x 轴，可求出 MF1，再由勾股定理可求出 F2M，然后利用等面积法可求得结果.【详解】由 x24+y23=1，得 a2=4,b2=3，所以 a=2,b=3,c=1，所以 F1(-1,0)，F2(1,0)，当 x=-1 时，14+y23=1，解得 y=32，3因为 MF1 x 轴，所以 MF1=32，所以 F2M=MF
6、12+F1F22=94+4=52，设 F1到直线 F2M 的距离为 d，因为 d MF2=MF1F1F2，所以 52 d=32 2，解得 d=65，故选：A3(2022全国高三专题练习)过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线 y216-x29=1 的通径长是()A.94B.92C.9D.10【答案】B【分析】根据双曲线的通径长公式计算【详解】由已知 a=4,b=3，双曲线的通径长 2b2a=92，故选：B.4(2022全国高三专题练习)抛物线 y2=4x 的通径(过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦)的长为【答案】4【分析】先求出抛物线的焦点坐标，然后求解过焦点且与
7、对称轴垂直的弦长得到答案.【详解】抛物线 y2=4x 的焦点(1,0)，当 x=1 时，可得：y2=4 1，解得 y=2所以过焦点且与对称轴垂直的弦的两个端点坐标为 1,2,1,-2所以过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦长为 4故答案为：45(2023全国模拟预测)已知抛物线 C：x2=2py(p 0)的焦点为 F，过 F 且垂直于 y 轴的直线与 C相交于 A，B 两点，若 AOB(O 为坐标原点)的面积为 18，则 p=【答案】6【分析】首先根据条件求点 A,B 的坐标，再代入面积公式，即可求解.【详解】抛物线 C：x2=2py(p 0)的焦点为 F 0，p2，将 y=p2 代入 x2=2
8、py 可得 x=p，即有 A p，p2，B-p，p2，所以 AB=2p，所以 SAOB=12 p2 2p=18，解得 p=6.故答案为：66(2023全国高三专题练习)过椭圆 x29+y2=1 的左焦点作直线和椭圆交于 A、B 两点，且 AB=23，则这样直线的条数为()A.0B.1C.2D.3【答案】B4【分析】先求过左焦点的通径长度，由椭圆的性质：过左焦点的弦长最短为通径长，最长为长轴长，结合已知弦长判断直线的条数即可.【详解】左焦点为(-2 2,0)，若直线垂直 x 轴，则直线为 x=-2 2，代入椭圆方程得 89+y2=1，可得 y=13，此时通径长 AB=23，所以，由椭圆性质知：A
9、B=23 的直线有仅只有一条.故选：B题型 2 椭圆焦点弦三角形周长二级结论1 F1,F2为椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的左、右焦点，过 F1的直线交椭圆于 A ,B 两点，则 ABF2的周长为 4a2.F1,F2为椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的左、右焦点，过 F2的直线交椭圆于 A ,B 两点，则 ABF1的周长为 4a注意：椭圆的焦点弦三角形周长为定值，即长轴长的 2 倍，与过焦点的直线的倾斜角无关1(2022全国高三专题练习)如图，椭圆 C:x24+y23=1 的左焦点为 F1，过 F1的直线交椭圆于 A ,B 两点，求 ABF2的周长【答案】8【分析】确
10、定 a=2，利用椭圆的定义可推得 ABF2的周长为 4a，即得答案.【详解】由 x24+y23=1 知，a=2，由椭圆定义可得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，故 ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=4 2=8，所以 ABF2的周长为 8.【变式训练】1在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，离心率为22，过 F1作直线l 交 C 于 A,B 两点，且 ABF2的周长为 16，那么 C 的方程为【答案】x216+y28=1【详解】试题分析
11、：依题意：4a=16，即 a=4，又 e=ca=22，c=2 2，b2=8.5 椭圆 C 的方程为 x216+y28=12椭圆焦点为 F1，F2，过 F1的最短弦 PQ 长为 10，PF2Q 的周长为 36，则此椭圆的离心率为()A.33B.13C.23D.63【答案】C【详解】试题分析：设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1 其焦点坐标为 F1(-c,0)，由已知P、Q 坐标为：M(-c,b2a),N-c,-b2a所以，2 b2a=10，b2=5a；PF2Q 的周长为 36|PF2|=|F2Q|=36-|PQ|2=13,c=6a2=b2+c2=5a+36，所以(a-9)(a+4)=0因为 a
12、0,所以，a=9，椭圆的离心率为 23，故选 C考点：本题主要考查了椭圆的标准方程、几何性质点评：过 F1的最短弦 PQ 垂直于 x 轴，另外，由椭圆的对称性，PF2Q 是一直角三角形3(2022全国高三专题练习)已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，短轴长为4 3，离心率为 12，过点 F1的直线交椭圆于 A,B 两点，则 ABF2的周长为()A.4B.5C.16D.32【答案】C【分析】根据短轴长得出 b 值，再根据离心率得到 a 值，再利用椭圆定义则得到三角形周长.【详解】由题意，椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的短轴长为 4 3，离心率
13、为 12，所以 c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=14，2b=4 3，则 b2=12，所以 a=4，所以 ABF2的周长为 AF1+AF2+BF1+BF2=4a=16故选：C.4(2020 下四川内江高三威远中学校校考阶段练习)椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1,F2，过点 F1的直线交椭圆于 A,B 两点，交 y 轴于点 C ，若 F1，C 是线段 AB 的三等分点，F2AB 的周长为 4 5，则椭圆 E 的标准方程为()A.x25+y24=1B.x25+y23=1C.x25+y22=1D.x25+y2=1【答案】A【分析】根据椭圆的定义及 F2AB
14、 的周长为 4 5，可求出 a=5，根据 F1，C 是线段 AB 的三等分点，利用中点坐标公式可先求出点 A 的横坐标，代入椭圆可求出纵坐标，再由中点坐标公式可求出点 B 的坐标，代入椭圆的方程即可求出 b2的值.6【详解】由椭圆的定义，得 AF1+AF2=BF1+BF2=2a，F2AB 的周长 AF1+AF2+BF1+BF2=4a=4 5，所以 a=5，所以椭圆 E:x25+y2b2=1.不妨令点 C 是 F1A 的中点，点 A 在第一象限，因为 F1-c,0，所以点 A 的横坐标为 c，所以 c25+y2b2=1，可得 A c,b25，所以 C 0,b22 5，由中点坐标公式可得 B-2c
15、,-b22 5，把点 B 的坐标代入椭圆 E 的方程，得4c25+b420b2=1，4c25+b220=1，化简得 b2=20-16c2，又 b2=5-c2，所以 5-c2=20-16c2，得 c2=1，所以 b2=4.所以，椭圆的方程为 x25+y24=1.故选：A.【点睛】本题主要考查椭圆的定义，中点坐标公式，关键是利用中点坐标求相应点的坐标，用点在曲线上求出 b2.5(2014全国高考真题)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点为 F1,F2离心率为33，过 F2的直线 l 交 C 与 A,B 两点，若 AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为()A.x23+y
16、22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=1【答案】A【详解】若 AF1B 的周长为 4 3,由椭圆的定义可知 4a=4 3,a=3,e=ca=33,c=1,b2=2，所以方程为 x23+y22=1，故选 A.考点：椭圆方程及性质6 古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的 4 倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 F1，F2在 y 轴上，其面积为 4 3，过点 F1的直线 l 与椭圆 C 交于点 A，B且 F2AB 的周长为 16，则椭圆 C 的方程为()A.y216+x23=1B.y216+x212=1C.x216
17、+y212=1D.x216+y23=1【答案】A【分析】由题中所给结论得 ab=4 3，由 F2AB 的周长为 16 结合椭圆定义得 4a=16，进而可得结果.【详解】依题意得 4 4 3=2a 2b，则 ab=4 3，由 F2AB 的周长为 16 结合椭圆定义可得 4a=16，所以 a=4，b=3，又椭圆焦点在 y 轴上，故椭圆方程为 y216+x23=1.故选：A.77(2014安徽高考真题)设 F1,F2分别是椭圆 E：x2a2+yb22=1(a b 0)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于 A,B 两点，|AF1|=3|BF1|(1)若|AB|=4,ABF2的周长为 16，求|
18、AF2|；(2)若 cosAF2B=35，求椭圆 E 的离心率.【答案】(1)5；(2)22.【详解】试题分析：(1)由题意|AF1|=3|F1B|,|AB|=4 可以求得|AF1|=3,|F1B|=1，而 ABF2的周长为 16，再由椭圆定义可得 4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设出|F1B|=k，则 k 0 且|AF1|=3k,|AB|=4k.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出 a,k 的关系(a+k)(a-3k)=0，从而a=3k，|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k，则|BF2|2=|F2A|2+|AB|2，故
19、F1A F2A，AF1F2为等腰直角三角形.从而 c=22 a，所以椭圆 E 的离心率 e=ca=22.(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4，得|AF1|=3,|F1B|=1.因为 ABF2的周长为 16，所以由椭圆定义可得 4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设|F1B|=k，则 k 0 且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.在 ABF2中，由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2=(2a-3k)2+(2
20、a-k)2-65(2a-3k)(2a-k)，化简可得(a+k)(a-3k)=0，而 a+k 0，故 a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2，可得 F1A F2A，故 AF1F2为等腰直角三角形.从而 c=22 a，所以椭圆 E 的离心率 e=ca=22.考点：1.椭圆的定义；2.椭圆的离心率求解.8(2022全国高三专题练习)已知直线 l 经过椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点(1，0)，交椭圆C 于点 A，B，点 F 为椭圆 C 的左焦点，ABF 的周长为 8(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 m
21、 与直线 l 的倾斜角互补，且交椭圆 C 于点 M，N，MN2=4|AB|，求证：直线 m 与直线 l 的交点 P 在定直线上【答案】(1)x24+y23=1(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆定义与右焦点坐标可得到椭圆方程；(2)设直线与椭圆联立，利用弦长公式得到|MN|2与 AB 的表达式，根据两者关系解出 t 值，最后联立两直线解得横坐标为定值 12，所以定直线为 x=12.【详解】(1)由已知，得 c=14a=8，c=1a=2，b2=22-12=3，椭圆 C 的标准方程为 x24+y23=1(2)证明：若直线 l 的斜率不存在，则直线 m 的斜率也不存在，这与直线 m 与直线 l 相
22、交于点 P 矛盾，直线 l 的斜率存在,又因为两直线倾斜角互补，所以直线 l 斜率不为 0.设 l:y=k(x-1)(k 0)，m:y=-k(x+t)，A xA,yA，B xB,yB，M xM,yM，N xN,yN8将直线 m 的方程代入椭圆方程y=-k(x+t)x24+y23=1联立得，3+4k2x2+8k2tx+4 k2t2-3=0，xM+xN=-8k2t3+4k2，xM xN=4 k2t2-33+4k2，|MN|2=1+k2a2=1+k2 16 12k2-3k2t2+93+4k22同理，|AB|=1+k2 4 9k2+93+4k2=12 1+k23+4k2由|MN|2=4|AB|得 1+
23、k2 16 12k2-3k2t2+93+4k22=4 12 1+k23+4k2化简得 3+4k2=4k2-k2t2+3，即 k2t2=0，k 0，t=0，此时，=64k4t2-16 3+4k2k2t2-3=48 3+k2 0，直线 m:y=-kx，联立直线 l 方程解得 P 12,-12 k，即点 P 在定直线 x=12 上【点睛】椭圆中弦长公式在圆锥曲线难题中经常用，对于互补的直线可以采取换元，用-k 换 k 代换直接得到另一弦长公式，有时候定直线问题可以采取先猜后证的方法.题型 3 双曲线焦点弦周长二级结论(同支)同支问题：F1,F2为双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0 ,b 0的
24、左、右焦点，过 F1的直线交双曲线同支于 A ,B 两点，且AB=m，则 ABF2的周长为 4a+2m证明：由双曲线的第一定义知，AF2-AF1=2a，BF2-BF1=2a，又 AF1+BF1=m，由，得 AF2+BF2=4a+m ,AB+AF2+BF2=4a+2m，即 ABF2的周长为 4a+2m1(2022全国高三专题练习)椭圆 y249+x224=1 与双曲线 y2-x224=1 有公共点 P，则 P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为【答案】24【分析】根据椭圆与双曲线方程得到椭圆与双曲线具有共同的焦点 F1 0,5，F2 0,-5，9从而得到 P 与双曲线两焦点的距离之和 PF1+
25、PF2=14，再根据 F1F2=10，求出周长.【详解】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点 F1 0,5，F2 0,-5，由椭圆定义可知：PF1+PF2=14，故 P 与双曲线两焦点的距离之和为 14，又 F1F2=10，因此 P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为 14+10=24.故答案为：24【变式训练】1(2022全国高三专题练习)已知双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2，在左支上过 F1 的弦 AB 的长为 5，若 2a=8，那么 ABF2 的周长是()A.26B.21C.16D.5【答案】A【分析】根据双曲线的定义求|AF2|+|BF2|，由此可求 ABF2 的周长.【详解】解析
26、：|AF2|-|AF1|=2a=8，|BF2|-|BF1|=2a=8，|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16，|AF2|+|BF2|=16+5=21，ABF2 的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.故选：A.2如图双曲线 C:x2-y23=1 的焦点为 F1 F2，过左焦点 F1倾斜角为 30 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点(1)求弦长 AB 的值；(2)求 ABF2的周长【答案】(1)3(2)3 3+3【分析】(1)联立直线 l 与椭圆的方程，消元整理得 8x2-4x-13=0，根据根与系数的关系可求得弦长；(2)根据双曲线的定义可求得三角形的周
27、长.【详解】(1)解：因为双曲线 C:x2-y23=1 的焦点为 F1 F2，所以 F1-2,0,y=33x+2，设 A x1,y1,B x2,y2,x1 0 x1+x2=12x1x2=-138，AB=1+k2 x1-x2=1+1316 278=3.(2)解：记 ABF2的周长为 CABF2，则 CABF2=AB+AF2+BF2 BF2=x2-22+y22，又 y22=3x22-3 得 BF2=4x22-4x2+1 BF2=2x2-1,点 B 在右支，故 BF2=2x2-1同理：点 A 在左支，AF2=2x1-1=-2x1-1 BF2+AF2=2 x2-x1=2x1+x22-4x1x2=2 1
28、6 278=3 3.CABF2=AB+AF2+BF2=3 3+3.3已知双曲线的左、右焦点分别为 F1 F2，在左支上 F1的弦 AB 的长为 5，若 2a=8，那么 ABF2的周长是()A.26B.21C.16D.5【答案】A【分析】根据双曲线的定义求|AF2|+|BF2|，由此可求 ABF2 的周长.【详解】解析：|AF2|-|AF1|=2a=8，|BF2|-|BF1|=2a=8，|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16，|AF2|+|BF2|=16+5=21，ABF2 的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.故选：A.4如果 F1、F2分别是双曲线 x2
29、16-y29=1 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点 F1的弦，且|AB|=6，则 ABF2的周长是【答案】28【分析】本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，可用定义处理，由定义知 AF2-AF1=8，BF2-BF1=8，两式相加再结合已知|AB|=6 即可求解.【详解】解：由题意知：a=4,b=3，故 c=5.由双曲线的定义知 AF2-AF1=8，BF2-BF1=8，+得：AF2+BF2-|AB|=16，所以 AF2+BF2=22，所以 ABF2的周长是 AF2+BF2+|AB|=28.故答案为：28.【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问
30、题，一般用定义处理.5(2022全国高三专题练习)若 F1,F2分别是双曲线 x2m-y27=1 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点 F1的弦，且|AB|=4，ABF2的周长是 20，则 m=【答案】9【分析】根据双曲线定义得到 AF2+BF2=4 m+4，最后加上 AB，即得到关于 m 的方程，解出 m 即可.【详解】由题意得 m 0，根据双曲线定义得 AF2-AF1=2a=2 m，BF2-BF1=2a=2 m上述两式相加得AF2+BF2-AF1+BF1=4 m，11即AF2+BF2-AB=4 m，即AF2+BF2-4=4 m，AF2+BF2=4 m+4，ABF2周长=AF2+BF2+A
31、B=4 m+4+4=20，解得 m=9.故答案为：9.6 已知双曲线 x2-y23=1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1作倾斜角为 6 的弦 AB求：(1)AB 的长；(2)F2AB 的周长【答案】(1)3(2)3+3 3【分析】(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，求出双曲线的焦点坐标，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，将直线的方程代入双曲线的方程，利用韦达定理求得 x1+x2，x1x2，再根据弦长公式即可得解；(2)求出 A，B 的坐标，由两点的距离，即可得到 F2AB 的周长【详解】(1)解：双曲线的左焦点为 F1(-2,0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)
32、，则直线 AB 的方程为 y=33(x+2)，代入方程 x2-y23=1 得，8x2-4x-13=0，x1+x2=12，x1x2=-138，|AB|=1+k2|x1-x2|=1+13 14-4 -138=3；(2)解：F2(2,0)，不妨设 x1 x2，由(1)可得 A 1+3 34，3+3 34，B 1-3 34，3 3-34，则 F2AB 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=3+3 3-12+3 3+12=3+3 37 已知双曲线 C 经过点 P 3,2，它的两条渐近线分别为 x+3y=0 和 x-3y=0.(1)求双曲线 C 的标准方程；(2)设双曲线 C 的左右焦点分别为 F1
33、F2，过左焦点 F1作直线 l 交双曲线的左支于 A B 两点，求 ABF2周长的取值范围.【答案】(1)x23-y2=1(2)16 33,+【分析】(1)设双曲线 C 的方程为 x2-3y2=，代入 P 坐标可得答案；(2)当直线 l 的斜率不存在时 l:x=-2，可得 A B 的坐标及 ABC 的周长；当直线 l 的斜率存在，设直线 l12的 方 程 为 y=k(x+2)，与 双 曲 线 方 程 联 立，ABF2 的 周 长 利 用 韦 达 定 理 得 到 z=4 3+2(x1-x2)2+(kx1-kx2)2=4 3+4 3k2+1|1-3k2|，设 t=3k2-1，根据 t 的范围可得答
34、案.【详解】(1)设双曲线 C 的方程为 x2-3y2=，代入点 P(3,2)，得 =32-3(2)2=3，所以双曲线 C 的标准方程为 x23-y2=1.(2)双曲线 C 的左焦点为 F1(-2,0)，设 A(x1,y1)B(x2,y2)，若直线 l 的斜率不存在，则 l:x=-2，得 A B 的坐标分别为-2,33和-2,-33，此时 ABC 的周长为 16 33.若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y=k(x+2)，由y=k(x+2)x23-y2=1得(1-3k2)x2-12k2x-12k2-3=0，因为直线 l 交双曲线的左支于 A B 两点，所以1-3k2 0=(-12k2
35、)2-4(1-3k2)(-12k2-3)0 x1+x2=12k21-3k2 0，得 k2 13设 ABF2的周长为 z，z=|AF2|+|BF2|+|AB|=2 3+|AF1|+2 3+|BF1|+|AB|=4 3+2|AB|=4 3+2(x1-x2)2+(y1-y2)2=4 3+2(x1-x2)2+(kx1-kx2)2=4 3+2 1+k2(x1+x2)2-4x1x2=4 3+2 1+k212k21-3k22-4-12k2-31-3k2=4 3+2 1+k2 12(k2+1)(1-3k2)2=4 3+4 3k2+1|1-3k2|，设 t=3k2-1，由 k2 13，得 t 0，z=4 3+4
36、 3 t+13+1t=16 33t+16 33，t 0，所以 z 16 33,+，综上，由可得 ABF2的周长的取值范围16 33,+.题型 4 双曲线焦点弦周长问题二级结论(不同支)双曲线异支焦点弦三角形周长【结论 3】如图，F1,F2为双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0 ,b 0的左、右焦点，过 F2的直线 l 与双曲线 C 右13支、左支分别交于 A ,B 两点，且 AB=m，则焦点弦三角形 F1AB 的周长：CF1AB=m+m m+2b2a证明：令 AF2=u ,BF2=v，则 AF1=2a+u ,BF1=v-2a，F1AB 的半周长 s=v，由秦九韶-海伦公式得 SFAB=s
37、 s-ABs-AF1s-BF1=2a m-2auv又 cosAF2F1=cosBF2F1，由余弦定理推论，得 u2+4c2-2a+u22u 2c=v2+4c2-v-2a22v 2c，b2-auu=b2+avv,b2u-b2v=2a ,uv=b2 v-u2a=b2m2a，将 u=v-m 代入 uv=b2m2a，得v-mv=b2m2a，解这个关于 v 的一元二次方程，得 v=12 m+m m+2b2a又 F1AB 的半周长 s=v，因此异支焦点弦三角形 F1AB 的周长 CF1AB=m+m m+2b2a1(2021浙江统考一模)如图所示，F1，F2是双曲线 C：x2a2-y2b2=1(a 0，b
38、0)的左、右焦点，过 F1的直线与 C 的左、右两支分别交于 A，B 两点若 AB BF2 AF2=3 4 5，则双曲线的离心率为()A.2B.15C.13D.3【答案】C【分析】不妨令 AB=3，|BF2|=4，|AF2|=5，根据双曲线的定义可求得 a=1，ABF2=90，再利用勾股定理可求得 4c2=52，从而可求得双曲线的离心率【详解】|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令 AB=3，|BF2|=4，|AF2|=5，|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，ABF2=90，又由双曲线的定义得：BF1-BF2=2a，AF2-AF1=2a，AF1+3-4=5-AF1，AF1=3
39、|BF1|-|BF2|=3+3-4=2a，a=1在 RtBF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52，又|F1F2|2=4c2，4c2=52，c=1314 双曲线的离心率 e=ca=13故选;C【变式训练】1(2021 下安徽安庆高三校联考阶段练习)已知双曲线 x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于 A，B 两点，若 ABF2为边长为 4 的等边三角形，则AF1F2的面积为()A.2 3B.3 3C.4 3D.6 3【答案】A【分析】利用双曲线的定义求出 a=1，进而得出 AF1=2，再由三
40、角形的面积公式即可求解.【详解】BF1-BF2=2a，BF1=2a+4，AF2=4，AF1=4-2a=BF1-4=2a，因为 AF2-AF1=4-2a=2a，所以 a=1，AF1=2，SAF1F2=12 2 4 sin120=2 3.故选：A2(2021高三课时练习)已知双曲线 C:x2-y23=1 的右焦点为 F，P 是双曲线 C 的左支上一点，M 0,2，则 PFM 的周长的最小值为()A.2+4 2B.4+2 2C.3 2D.2 6+3【答案】A【分析】设双曲线 C 的左焦点为 F1，则 PF-PF1=2a，则由题意可得 PFM 的周长为 MF+MP+PF=2 2+2+MP+PF1，当
41、M，P，F1三点共线时，MP+PF1最小，从而可得答案【详解】设双曲线 C 的左焦点为 F1，则 PF-PF1=2a由题可知 a=1，c=2，PF=2+PF1，F1-2,0，F 2,0，MF=2 2，PFM 的周长为 MF+MP+PF=2 2+2+MP+PF1 当 M，P，F1三点共线时，MP+PF1最小，最小值为 MF1=2 2，PFM 的周长的最小值为 2+4 2故选：A3已知 F1、F2分别是双曲线 x23-y26=1 的左右焦点，过右焦点 F2作倾斜角为 30 的直线交双曲线于A、B 两点()求线段 AB 的长；()求 AF1B 的周长【答案】(1)1653；(2)8 3.【分析】(1
42、)运用联立方程法结合弦长公式求解即可；(2)根据(1)中的结果，结合双曲线的定义，列等式可求解三角形的周长.15【详解】解：(1)由双曲线的方程得 F1(-3,0)，F2(3,0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1 BF，若已知直线 l 倾斜角为，设圆锥曲线半通径为 p=b2a，则AF=p1-ecos ,BF=p1-ecos +=p1+ecos ,AB=AF+BF=2p1-e2cos2，即圆锥曲线的焦半径公式与焦点弦公式分别为：AF=p1-ecos ,BF=p1+ecos ,AB=2p1-e2cos2.二级结论 2.椭圆的倾斜角式焦点弦长公式：(1)F1,F2为椭圆 C:x2a2+
43、y2b2=1 a b 0的左、右焦点，过 F1倾斜角为 的直线 l 与椭圆 C 交于 A ,B 两点，则 AB=2ab2a2-c2cos2=2p1-e2cos2p=b2a；(2)F1,F2为椭圆 C:y2a2+x2b2=1 a b 0的上、下焦点，过 F1倾斜角为 的直线 l 与椭圆 C 交于 A ,B 两点，则 AB=2ab2a2-c2sin2=2p1-e2sin2p=b2a说明：特殊情形，当倾斜角为 =90 时，即为椭圆的通径，通径长 AB=2b2a 圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：设直线 l 过圆锥曲线焦点 F 且交圆锥曲线于 A ,B 两点，若已知直线 l 倾斜角为，设圆锥曲线通径
44、为 2p=2b2a，则圆锥曲线统一的焦点弦长公式：AB=2p1-e2cos2 焦点在 x 轴上2p1-e2sin2 焦点在 y 轴上1(2022全国高三专题练习)如图，F1,F2为椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的左、右焦点，过 F1倾斜角为 的直线 l 与椭圆 C 交于 A ,B 两点，求弦长 AB16【答案】2ab2a2-c2cos2【分析】由椭圆定义，结合余弦定理即可得出【详解】连结 F2A,F2B，F1F2=2c，设 F1A=x，F1B=y，由椭圆定义得 F2A=2a-x，F2B=2a-y，在 AF1F2 中，由余弦定理得 F1A2+F1F22-2 F1A F1F2 cos
45、=F2A2，即 x2+4c2-2x 2c cos=2a-x2，则 a-ccosx=a2-c2=b2，解得 x=b2a-ccos 同理在 BF1F2中，由余弦定理可求得 y=b2a+ccos，则弦长 AB=b2a-ccos+b2a+ccos=2ab2a2-c2cos2【变式训练】1经过椭圆 x22+y2=1 的左焦点 F1作倾斜角为 60 的直线 l，直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，求 AB的长.【答案】8 27【解析】求出椭圆的左焦点 F1(-1,0)，根据点斜式设出 AB 方程，联立直线方程与椭圆方程消去 y，利用根与系数的关系和弦长公式即可算出弦 AB 的长【详解】椭圆方程为 x22
46、+y2=1，焦点分别为 F1(-1,0)，F2(1,0)，直线 AB 过左焦点 F1倾斜角为 60，直线 AB 的方程为 y=3(x+1)，将 AB 方程与椭圆方程消去 y，得 7x2+12x+4=0设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1+x2=-127，x1x2=47|x1-x2|=-1272-4 47=4 27因此，|AB|=1+3|x1-x2|=8 27故答案为：8 27【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.172(2022 上全国高二专题练习)已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为33，过椭
47、圆的右焦点且斜率为 12 的直线与椭圆交于 A，B 两点，则 AOB(其中 O 为原点)的形状为.【答案】钝角三角形【分析】由椭圆的离心率可求得 b2=2a23，从而可表示出椭圆方程，求出右焦点坐标，则可表示出直线 l 的方程，代入椭圆方程中，消去 y 整理利用根与系数的关系，再表示出 y1y2，然后求出 OA OB，由其正负可判断出三角形的形状【详解】由椭圆的离心率可得a2-b2a=33，解得 b2=2a23，则椭圆的方程为 x2a2+y223 a2=1，椭圆的右焦点为 F33 a，0，由直线 l 的方程为 y=12 x-33 a，由x2a2+y223 a2=1y=12 x-33 a可得 1
48、1x2-2 3ax-7a2=0，设 A x1，y1，B x2，y2，由韦达定理得 x1+x2=2 311 a，x1x2=-7a211，则 y1y2=14 x1-33 ax2-33 a=14 x1x2-33 a(x1+x2)+13 a2=14-7a211-33 a 2 3a11+13 a2=-433 a2则 OA OB=x1x2+y1y2=-2533 a2 b 0)的左、右焦点分别是 F1,F2，斜率为 12的直线 l 过左焦点 F1且交 C 于 A，B 两点，且 ABF2的内切圆的周长是 2，若椭圆的离心率为 e 12,34，则线段 AB 的长度的取值范围是【答案】8 53,4 5【分析】设
49、A(x1,y1),B(x2,y2),利用三角形内切圆面积计算可得 12 4a r=12 2c y1-y2，化简得 y1-y2=2ac=2e，由离心率范围求得y1-y2 83，4，再利用弦长公式即可求得答案.【详解】如图示，由椭圆定义可得|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,则 ABF2的周长为 4a,设 A(x1,y1),B(x2,y2)，18设 ABF2内切圆半径为 r，ABF2的内切圆的周长是 2，故 2=2r,r=1，由题意得 12 4a r=12 2c y1-y2，得 y1-y2=2ac=2e，由于 e 12,34，故 y1-y2 83,4，所以由 AB=1+1k
50、2 y1-y2,k=12 可得|AB|=5 y1-y2 8 53,4 5，故答案为：8 53,4 54(2022全国高三专题练习)过椭圆 3x2+4y2=48 椭圆的左焦点引直线交椭圆于 A，B 两点，|AB|=7，求直线方程【答案】3x+2y+2 3=0 或3x-2y+2 3=0【分析】设直线 AB 的倾斜角为，由焦点弦公式可得斜率，即可得解.【详解】椭圆 3x2+4y2=48 即 x216+y212=1，a=4,b=2 3,c=2,左焦点为(-2,0)，设直线 AB 的倾斜角为，则由焦点弦弦长公式可得|AB|=2ab2a2-c2cos2=2 4 1216-4cos2=7，解得 cos2=4
51、7，所以该直线的倾斜角为 tan=32，则直线 AB：y=32(x+2)或 y=-32(x+2)，即3x+2y+2 3=0 或3x-2y+2 3=0.5(2022全国高三专题练习)已知椭圆 x29+y28=1 的左右焦点分别为 F1,F2，若过点 P 0，-2及F1 的直线交椭圆于 A，B 两点，求 ABF2的面积.【答案】24 511【分析】设出直线方程，求出点 F2到直线 AB 的距离，再根据结论求出|AB|，进而求出三角形面积.【详解】直线 PF1 的方程为 y=-2x-2，设其倾斜角为，则 k=-2，tan=-2，所以 2,，cos=-55，由椭圆方程 x29+y28=1，可得 a=3
52、，b=2 2，c=1，F2的坐标为 1,0，F2到直线 AB 的距离 h=2 1+0+222+12=4 55，AB=2ab2a2-c2cos2=6011，所以 SABF2=12 ABh=24 511所以 ABF2的面积为 24 511.6(2023四川广安统考模拟预测)已知抛物线 C:y2=2px p 0的焦点 F 与椭圆 x225+y216=1 的右焦点重合斜率为 k k 0直线 l 经过点 F，且与 C 的交点为 A，B若 AF=3 BF，则直线 l 的方程是()19A.3x-y-3 3=0B.4 3x-4y-3 3=0C.3x-y-9=0D.x-3y-3=0【答案】A【分析】根据椭圆方程
53、求得 F，写出直线 l 的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合抛物线的定义求得 k，由此求得直线 l 的方程.【详解】椭圆 x225+y216=1，c=25-16=3，所以 F(3,0)，p2=3,2p=12，所以抛物线 C:y2=12x.设 A x1,y1,B x2,y2，直线 l 的方程为 y=k(x-3)(k 0).联立 y=k(x-3)y2=12x消去 y，化简整理得 k2x2-6k2+12x+9k2=0，则 x1+x2=12k2+6,x1x2=9.|AF|=3|BF|,x1+3=3 x2+3,x1-3x2=6 x1+x2=12k2+6,x1=6+9k2,x2=3k2,又
54、 x1x2=9,k2=3 k 0,k=3因此直线 l 的方程是3x-y-3 3=0.故选：A.题型 6 双曲线倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论：曲线的倾斜角式焦点弦长公式：(1)F1,F2为双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0 ,b 0的左、右焦点，过 F1倾斜角为 的直线 l 与双曲线 C 交于A ,B 两点，则 AB=2ab2a2-c2cos2=2p1-e2cos2p=b2a(2)F1,F2为双曲线 C:y2a2-x2b2=1 a 0 ,b 0的上、下焦点，过 F1倾斜角为 的直线 l 与双曲线 C 交于A ,B 两点，则 AB=2ab2a2-c2sin2=2p1-e2sin2p=b
55、2a说明：特殊情形，当倾斜角为 =90 时，即为双曲线的通径，通径长 2p=2b2a 圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：设直线 l 过圆锥曲线焦点 F 且交圆锥曲线于 A ,B 两点，若已知直线 l 倾斜角为，设圆锥曲线通径为 2p=2b2a，则圆锥曲线统一的焦点弦长公式：AB=2p1-e2cos2 焦点在 x 轴上2p1-e2sin2 焦点在 y 轴上1(2022全国高三专题练习)设双曲线 x2a2-y2b2=1 a 0 ,b 0，其中两焦点坐标为 F1-c,0F2 c,0，过 F1的直线 l 的倾斜角为，交双曲线于 A，B 两点，求弦长 AB【答案】答案见解析【分析】分别讨论当直线与双曲
56、线的交点在同一支上或在两支上时的焦半径长度，结合焦点三角形的性质20可得解.【详解】当 arctan ba -arctan ba 时，如图 1，直线 l 与双曲线的两个交点 A，B 在同一支上，连接 F2A，F2B，设 F1A=m，F1B=n，由双曲线定义可得 F2A=2a+m，F2B=2a+n，由余弦定理可得 m2+2c2-2m 2c cos=2a+m2整理可得 m=b2a+ccos，同理 n=b2a-ccos，则可求得弦长 AB=m+n=b2a+ccos+b2a-ccos=2ab2a2-c2cos2当 0 arctan ba 或 -arctan ba 时，如图 2，直线 l 与双曲线的两个
57、交点 A，B 不在同一支上，连接 F2A，F2B，设 F1A=m，F1B=n，由双曲线定义可得 F2A=2a+m，F2B=n-2a，由余弦定理可得 m2+2c2-2m 2c cos=2a+m2整理可得 m=b2a+ccos，同理 n2+2c2-2n 2c cos -=n-2a2，n=b2ccos-a，则可求得弦长 AB=n-m=b2ccos-a-b2a+ccos=2ab2c2cos2-a2，因此焦点在 x 轴的焦点弦长公式：AB=2ab2a2-c2cos2,arctan ba -arctan ba2ab2c2cos2-a2,arctan ab 0)焦点的直线交抛物线于 A,B 两点，则：yAy
58、B=-p2,xAxB=p24.(焦点在 y 轴上的性质对比给出.)引伸：M(a,0)(a 0)在抛物线 y2=2px(p 0)的对称轴上，过 M 的直线交抛物线于两点.A x1,y1,B x2,y2,y1,y2=-2pa(定值).3.|AB|=2psin2(是直线 AB 与焦点所在轴的夹角)=x1+x2+p(焦点在 cos=-1+1 轴正半轴上)(其它三种同理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦，长为 2p)最短.4.AF=BF，则有 cos|=|-1+1|,AF=p1-cos，BF=p1+cos(为直线与焦点所在轴的夹角).1(2022全国高三专题练习)如图，抛物线 y2=2px
59、p 0与过焦点 Fp2,0的直线 l 相交于 A,B 两点，若 l 的倾斜角为，求弦长 AB【答案】AB=2psin2【分析】设 FA=m，FB=n，可得 xA=p2+mcos，xB=p2-ncos，利用焦半径公式可构造方程求得m,n，由 AB=m+n 可得结果.【详解】设 FA=m，FB=n，则 xA=p2+mcos，xB=p2-ncos，由抛物线定义知：FA=xA+p2=p+mcos=m，FB=xB+p2=p-ncos=n，m=p1-cos，n=p1+cos，AB=m+n=p1-cos+p1+cos=2p1-cos2=2psin2.【变式训练】1(2020山东统考高考真题)斜率为3 的直线
60、过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，23则 AB=【答案】163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去 y 并整理得到关于 x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】抛物线的方程为 y2=4x，抛物线的焦点 F 坐标为 F(1,0)，又 直线 AB 过焦点 F 且斜率为3，直线 AB 的方程为：y=3(x-1)代入抛物线方程消去 y 并化简得 3x2-10 x+3=0，解法一：解得 x1=13,x2=3 所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+3 3-13=163解法二
61、：=100-36=64 0设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 x1+x2=103,过 A,B 分别作准线 x=-1 的垂线，设垂足分别为 C,D 如图所示.|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=163故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.2 已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2，直线 l1与 C 交于 A,B 两点，直线 l2与 C 交于 D,E 两点，则 AB+DE 的最小值为()A.16B.14C.12D.10【答案】A【分析】
62、设 l1的方程为 x=my+1，A x1,y1，B x2,y2，直线方程代入抛物线方程用韦达定理是 y1+y2,y1y2，由弦长公式求得弦长 AB，由垂直得 l2方程，同理可得 DE，求出 AB+DE，应用基本不等式可得最小值【详解】因为两条互相垂直的直线 l1,l2均过 F，且 F(1，0)所以设 l1的方程为 x=my+1，A x1,y1，B x2,y2，联立 y2=4x x=my+1y2-4my-4=0，故 y1+y2=4m，y1y2=-4则|AB|=m2+116m2+16=4 m2+1，同理|PQ|=41m2+1，|AB|+|PQ|=4 2+m2+1m2 16，当且仅当 m=1 时，取
63、“=”，24故选：A【点睛】关键点点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|=x1+x2+p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式3(2021 上江西高三校联考阶段练习)过抛物线 y2=2px p 0的焦点 F 作倾斜角为 2的直线，交抛物线于 A,B 两点，当 =3 时，以 FA 为直径的圆与 y 轴相切于点 T 0,3.(1)求抛物线的方程；(2)试问在 x 轴上是否存在异于 F 点的定点 P，使得 FA PB=FB PA 成立？若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)y2=4x；(2)存在点 P，P-1,0
64、.【分析】(1)根据平面几何性质求得 A 2+p2,2 3,代入抛物线方程即可求出结果；(2)设直线 FA 的方程与抛物线的方程联立，进而用 y1,y2分别表示出 FA,PB,FB,PA，然后根据 FA PB=FB PA 建立等量关系，消去 y1,y2即可求出结果.【详解】(1)设 FA 的中点为 C，过 C 作 CE x 轴于 E，连接 CT，因为以 FA 为直径的圆与 y 轴相切于点 T 0,3，所 以 CT y 于 T，故 CE=OT=3，因 为 =3，即 CFE=3，所 以 CF=2,EF=1，所 以C 1+p2,3，因此 A 2+p2,2 3,因此 2 32=2p 2+p2，因为 p
65、 0，所以 p=2，故抛物线的方程为y2=4x；(2)设 P x0,0，且 F 1,0,由题意可知直线 FA 斜率不为 0，故设直线 FA：x=my+1，所以 x=my+1y2=4x，联 立 得 y 2-4 my-4=0，设 A x1,y1,B x2,y2，则 y 1 y 2=-4，而FAFB=y1y2，而PAPB=y1-02+x1-x02y2-02+x2-x02，因为 FA PB=FB PA，即 FAFB=PAPB，所以 y1y2=y1-02+x1-x02y2-02+x2-x02，两边同时平方可得 y21y22=y21+x1-x02y22+x2-x02，又因为 y21=4x1,y22=4x2
66、，所以 y21y22=y21+y214-x02y22+y224-x02，化简整理可得 y21y22+y42y2116-y21y222 x0+y21x20=y21y22+y41y2216-y21y222 x0+y22x20，即 y21-y22x20=y21y22 y21-y2216，所以 x20=y21y2216=y1y2216=1，所以 x0=1，因为异于 F 点，所以 x0=-1，故点 P-1,0.【点睛】求定值(定点)问题常见的方法有两种：25(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值(点)与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(定点)4(2020四川遂宁
67、统考二模)过抛物线 y2=2px p 0的焦点 F 作直线交抛物线于 M，N 两点(M，N 的横坐标不相等)，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于点 H，若 MN=40，则 HF=()A.14B.16C.18D.20【答案】D【分析】利用点差法，得到弦所在直线的斜率与弦中点纵坐标的关系式，再结合抛物线的定义即求.【详解】设 M x1,y1，N x2,y2，弦 MN 的中点为 M x0,y0，H xH,0，则 y21=2px1y22=2px2，所以 y21-y22x1-x2=2p，所以y1-y2y1+y2x1-x2=2p，则 kMN=2py1+y2=2p2y0=py0，所以弦 MN 的垂直平分线为
68、 y-y0=-y0p x-x0令 y=0，则 xH=x0+p，所以 HF=x0+p2 又 MN=x1+x2+p=2x0+p=40，所以 HF=20故选：D5 设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|，则 l 的方程为()A.y=x-1 或 y=-x+1B.y=33(X-1)或 y=-33(x-1)C.y=3(x-1)或 y=-3(x-1)D.y=22(x-1)或 y=-22(x-1)【答案】C【详解】设 A(x1,y1),B(x2,y2),又 F(1,0),则 AF=(1-x1,-y1),FB=(x2-1,y2),由题意知
69、AF=3FB,因此 1-x1=3(x2-1),-y1=3y2,即 x1=4-3x2,y1=-3y2,又由 A、B 均在抛物线上知y22=4x2,(-3y2)2=4(4-3y2).解得x2=13,y2=2 33,直线 l 的斜率为 2 3313-1=3,26因此直线 l 的方程为 y=3(x-1)或 y=-3(x-1).故选 C.6(2022全国高三专题练习)已知点 F 和直线 l 是离心率为 e 的双曲线 C 的焦点和对应准线，焦准距(焦点到对应准线的距离)为 p过点 F 的弦 AB 与曲线 C 的焦点所在的轴的夹角为 0 b 0)上一点，F1,F2是左、右焦点，e 椭圆的离心率是27则,PF
70、1=a+ex0,PF2=a-ex0，Px0，y0是椭圆 y2a2+x2b2=1(a b 0)上一点，F1,F2是上、下焦点，e 椭圆的离心率是则,PF1=a-ey0,PF2=a+ey0，2.椭圆的坐标式焦点弦长公式：(1)椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的焦点弦长公式：AB=2a+e xA+xB(过左焦点)；AB=2a-e xA+xB(过右焦点)，即 AB=2a-e xA+xB；(2)椭圆 y2a2+x2b2=1(a b 0)的焦点弦长公式：AB=2a-e yA+yB(过上焦点)；AB=2a+e yA+yB(过下焦点)，即 AB=2a-e yA+yB二双曲线的焦半径及其应用：1:定义
71、：双曲线上任意一点 M 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径.2.当点 P 在双曲线上时的焦半径公式，(其中 F1 为左焦点，F2为右焦点)它是由第二定义导出的，其中 a 是实半轴长，e 是离心率，x0是 P 点的横坐标.当焦点在 x 轴，P 在左支时：PF1=-(ex0+a),PF2=-(ex0-a).当焦点在 x 轴，P 在右支时：PF1=ex0+a,PF2=ex0-a.当焦点在 y 轴:P 在上支时：PF1=ey0+a,PF2=ey0-a当焦点在 y 轴:P 在下支时：PF1=-(ey0+a),PF2=-(ey0-a)三双曲线的坐标式焦点弦长公式：(1)双曲线 x2a2-y2b2=1
72、 a 0 ,b 0的焦点弦长公式：同支弦 AB=e xA+xB-2a=2ab2 1+k2a2k2-b2；异支弦 AB=2a-e xA+xB=2ab2 1+k2b2-a2k2，统一为：AB=e xA+xB-2a=2ab2 1+k2a2k2-b2；(2)双曲线 y2a2-x2b2=1 a 0 ,b 0的焦点弦长公式：同支弦 AB=e yA+yB-2a；异支弦 AB=2a-e yA+yB，统一为：AB=e yA+yB-2a1(2022全国高三专题练习)已知椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0，若过左焦点的直线交椭圆于 A ,B 两点，求 AB【答案】AB=2a+e x1+x2，e 是椭圆的离心率
73、【分析】由焦半径公式即可得焦点弦公式【详解】设 A x1,y1,B x2,y2，由焦半径公式得：AF1=a+ex1,BF1=a+ex2，e 是椭圆的离心率，两式相加得 AB=2a+e x1+x2【点睛】(1)只需要两根和，即可求得弦长(2)椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的焦点弦长公式：|AB|=2a+e(xA+xB)(过左焦点)；|AB|=2a-e(xA+xB)(过右焦点)，其中 e 是椭圆的离心率椭圆 y2a2+x2b2=1(a b 0)的焦点弦长公式：AB=2a-e yA+yB(过上焦点)；AB=2a+e yA+yB(过下焦点)，其中 e 是椭圆的离心率28【变式训练】1(20
74、22全国高三专题练习)已知椭圆 x22+y21=1 的左右焦点分别为 F1，F2，若过点 P 0,-2及 F1的直线交椭圆于 A，B 两点，求 AB【答案】AB=10 29【分析】由椭圆的焦点弦长公式可得 AB=2a+e(x1+x2)，写出直线 AB 的方程，联立椭圆方程，即可由韦达定理得出 x1+x2=-169，即可求.【详解】由题意，a=2,c=1,e=22，F1(-1,0)，则直线 AB 的方程为 x-1+y-2=1，即 y=-2x-2，令 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 AF1=a+ex1=2+22 x1，BF1=a+ex2=2+22 x2，直线方程与椭圆方程联立y=-2x-2
75、x22+y21=1，得：9x2+16x+6=0，x1+x2=-169所以 AB=AF1+BF1=2 2+22(x1+x2)=10 29【点睛】(1)从椭圆的标准方程看出焦点的位置，合理选择椭圆的焦点弦长公式(2)一般弦长公式对椭圆的焦点弦长仍然适用，但是计算繁琐，直接利用椭圆的焦点弦长公式就更为简捷2(2022全国高三专题练习)已知椭圆 x249+y213=1，若过左焦点的直线交椭圆于 A，B 两点，且 A，B 两点的横坐标之和是-7，求 AB【答案】AB=8【分析】利用椭圆焦半径公式求得焦点弦长.【详解】由已知得 a=7，b=13，c=a2-b2=49-13=6，所以离心率 e=ca=67，
76、AB=a+ex1+a+ex2=2a+e x1+x2=2a-7e=2 7-7 67=8.3(2022全国高三专题练习)设双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)，其中两焦点坐标为 F1(-c,0),F2(c,0)，经过右焦点的直线交双曲线于 A、B 两点，求弦长|AB|【答案】答案见解析【分析】讨论弦 AB 所在直线的斜率 k 存在,以及直线与同支、异支相交，结合第二定义即可得到弦长.【详解】(1)当弦 AB 所在直线的斜率 k 存在时，设直线 AB 为 y=k(x-c)，双曲线方程 x2a2-y2b2=1 可化为 b2x2-a2y2-a2b2=0，将直线 y=k(x-c)代入整理得，-
77、a2k2+b2x2+2a2ck2x-a2(c2k2+b2)=0，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，x1+x2=2a2ck2a2k2-b2,当 k ba 时，弦 AB 的两个端点同在右支曲线上(如图 1)，于是|AB|=|AF2|+|BF2|=(ex1-a)+(ex2-a)=e(x1+x2)-2a=2ab2(1+k2)a2k2-b2，29当 0 k 0的焦点弦长公式：AB=p+xA+xB；(2)抛物线 y2=-2px p 0的焦点弦长公式：AB=p-xA+xB；(3)抛物线 x2=2py p 0的焦点弦长公式：AB=p+yA+yB；(4)抛物线 x2=-2py p 0的焦点弦长公式：AB=
78、p-yA+yB1(2021河北高三专题练习)过抛物线 y2=2px p 0的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A,B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 P=.【答案】2【详解】设点 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，过抛物线 y2=2px(p 0)的焦点 F 且倾斜角为 45 的直线方程为 y=x-p2，把 y=x-p2 代入 y2=2px，得 x2-3px+14 p2=0，x1+x2=3p，|AB|=x1+x2+p=4p=8，p=2【变式训练】1(2023北京人大附中校考三模)已知抛物线 y2=2px(p 0)的焦点为 F，过点 F 的直线与该抛物线交于 A，
79、B 两点，AB=10，AB 的中点横坐标为 4，则 p=【答案】2【分析】根据抛物线定义有 AB=xA+xB+p，结合已知即可求参数 p 的值.【详解】由抛物线定义知：AB=xA+xB+p=10，而 AB 的中点横坐标为 4，即 xA+xB2=4，所以 8+p=10，即 p=2.故答案为：22(2023全国模拟预测)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F，则过点 F 且斜率为3 的直线 l 截抛物线30C 所得弦长为()A.223B.163C.193D.8 33【答案】B【分析】求出直线 l 的方程 y=3(x-1)，与抛物线方程联立，根据韦达定理以及抛物线的定义可求出结果.【详解】由 y2
80、=4x 可得 F(1,0)，准线方程为 x=-1，直线 l:y=3(x-1)，联立 y=3(x-1)y2=4x，消去 y 并整理得 3x2-10 x+3=0，=100-36=64 0，设直线 l 与抛物线的两个交点为(x1,y1)，(x2,y2)，则 x1+x2=103，所以直线 l 截抛物线 C 所得弦长为 x1+x2+2=103+2=163.故选：B题型 10 焦点弦定比分点求离心率二级结论1.点 F 是椭圆的焦点，过 F 的弦 AB 与椭圆焦点所在轴的夹角为,0,2，k 为直线 AB 的斜率，且 AF=FB(0)，则 e=1+k2 -1+1当曲线焦点在 y 轴上时，e=1+1k2-1+1
81、注：=AFBF 或者 =BFAF,而不是 AFAB 或者 BFAB 点 F 是双曲线焦点，2.过 F 弦 AB 与双曲线焦点所在轴夹角为,0,2，k 为直线 AB 斜率，且 AF=FB(0)，则 e=1+k2 -1+1当曲线焦点在 y 轴上时，e=1+1k2-1+11(2324 高三上云南阶段练习)已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F2且倾斜角为 60 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点若 AF1F2的面积是 BF1F2面积的 2 倍，则 C 的离心率为【答案】23【分析】由 AF1F2的面积是 BF1F2面积的 2 倍，得到 AF2=
82、2 BF2，由此设 AF2=2x，分别在 AF1F2和BF1F2中利用余弦定理，即可找出 a,c 的关系，即可求得答案.(可以直接用二级结论)【详解】如图，由 AF1F2的面积是 BF1F2面积的 2 倍，可得 AF2=2 BF2，31不妨设 AF2=2x，BF2=x，F1F2=2c，则 AF1=2a-2x，BF1=2a-x在 AF1F2中，F1F2A=BF2x=60,由 AF22+F1F22-AF12=2 AF2 F1F2cos60，得 4x2+4c2-2a-2x2=4cx，整理得 4c2-4a2+8ax-4cx=0 在 BF1F2中，F1F2B=120,由 BF22+F1F22-BF12=
83、2 BF2 F1F2cos120，得 x2+4c2-2a-x2=-2cx，整理得 4c2-4a2+4ax+2cx=0，+2 得 x=3a2-3c24a，将该式代入，整理得 c2-a2+3c a2-c22a=0，即 ca=23，故 C 的离心率为 23，故答案为：23【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于找到 a,c 之间的关系，解答时要注意利用 AF1F2的面积是 BF1F2面积的 2 倍，得到 AF2=2 BF2，由此可分别在 AF1F2和 BF1F2中利用余弦定理，即可找出 a,c 的关系，求得答案.【变式训练】1(2022 上辽宁鞍山高三鞍山一中校考期中)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=
84、1 的左焦点为 F，过 F 斜率为3 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点，若 AFBF=32，则椭圆 C 的离心率 e=【答案】25/0.4【分析】设 A x1,y1,B x2,y2，将直线和椭圆联立消元得 y1+y2=2 3b2c3b2+a2,y1y2=-b43b2+a2，由 AFBF=32 可得2y1=-3y2，这几个式子再结合 b2=a2-c2化简可得 c=25 a.【详解】因为直线 AB 过 F(-c,0)且斜率为3，所以直线 AB 为：y=3 x+c，与椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)联立消去 x，得3a2+b23y2-2 3b2c3y-b4=0，设 A x1
85、,y1,B x2,y2，则 y1+y2=2 3b2c3a2+b2,y1y2=-3b43a2+b2因为 AFBF=32，可得 2y1=-3y2，代入上式得-y22=2 3b2c3a2+b2,-32 y22=-3b43a2+b2消去 y2并化简整理得：24c2=3a2+b2，将 b2=a2-c2代入化简得：c2=425 a2，解得 c=25 a，因此，该双曲线的离心率 e=ca=25.32故答案为：25.2(2022全国高三专题练习)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的右焦点为 F，过 F 且斜率为3 的直线交 C 于 A、B 两点，若 AF=4FB，则 C 的离心率为()A.
86、58B.65C.75D.95【答案】B【分析】设双曲线 C:x2a2-y2b2=1 的右准线为 l，过 A、B 分别作 AM l 于 M，BN l 于 N，BD AM 于D，根 据 直 线 AB 的 斜 率 为3，得 到 AD=12 AB，再 利 用 双 曲 线 的 第 二 定 义 得 到 AD=1eAF-FB，又 AB=AF+FB，结合 AF=4FB求解.【详解】设双曲线 C:x2a2-y2b2=1 的右准线为 l，过 A、B 分别作 AM l 于 M，BN l 于 N，BD AM 于 D，如图所示：因为直线 AB 的斜率为3，所以直线 AB 的倾斜角为 60，BAD=60，AD=12 AB
87、，由双曲线的第二定义得：AM-BN=AD=1eAF-FB=12 AB=12AF+FB，又 AF=4FB，3e FB=52 FB，e=65故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.3(2022全国高三专题练习)已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点为 F，经过 F 且倾斜角为 60的直线 l 与椭圆相交于不同两点 A,B，已知 AF=2FB(1)求椭圆的离心率；33(2)若|AB|=154，求椭圆方程【答案】(1)23(2)x29+y25=1【分析】(1)由圆锥曲线焦点弦的重要公式 ecos=-1+1
88、求解.(2)由圆锥曲线焦点弦的弦长公式|AB|=2ep1-e2cos2求解.【详解】(1)圆锥曲线焦点弦的重要公式 ecos=-1+1，因为 AF=2FB，直线 l 的倾斜角为 60，所以 =60，=2，所以 ecos60=2-12+1，解得 e=23.(2)将 e=23,=60,|AB|=154，代入圆锥曲线的焦点弦的弦长公式得，|AB|=2ep1-e2cos2=154，即2 23 p1-232cos260=154，解得 p=52，因为 p=a2c-c=52，e=ca=23，解得 a=3,c=2,b=a2-c2=5，所以椭圆方程为：x29+y25=1.4(2023贵州统考模拟预测)椭圆 C:
89、x2a2+y2b2=1(a b 0)的上顶点为 A,F 是 C 的一个焦点，点 B在 C 上，若 3AF+5BF=0，则 C 的离心率为()A.12B.35C.22D.32【答案】A【分析】根据向量关系得到 A,B,F 三点共线，表达出 B 点坐标，代入椭圆方程，求出离心率.【详解】因为 3AF+5BF=0，所以 A,B,F 三点共线，其中 A 0,b，不妨设 F c,0，B m,n，则 AF=c,-b,BF=c-m,-n，由 3AF+5BF=0 得 3c+5c-5m=0-3b-5n=0，解得m=8c5n=-3b5，故 B 8c5,-3b5，将其代入 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)中
90、得，64c225a2+9b225b2=1，解得 ca=12，故离心率为 12.故选：A1(2023浙江温州乐清市知临中学校考二模)已知椭圆 x2a2+y2b2=1 的右焦点为 F2，过右焦点作倾斜34角为 3 的直线交椭圆于 G,H 两点，且 GF2=2F2H，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.23D.32【答案】C【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与 GF2=2F2H构建出关于 a、b、c 的齐次方程，根据离心率公式即可解得.【详解】设 F2 c,0，G x1,y1，H x2,y2，过点 F2做倾斜角为 3 的直线斜率 k=3，直线方程为 y=3 x-c，联立方
91、程x2a2+y2b2=1y=3 x-c，可得 a2+13 b2y2+2 33b2cy-b4=0，根据韦达定理：y1+y2=-2 3b2c3a2+b2，y1y2=-3b43a2+b2，因为 GF2=2F2H，即 c-x1,-y1=2 x2-c,y2，所以 y1=-2y2，所以 y1y2+y2y1=y1+y22y1y2-2=-2 3b2c3a2+b22-3b43a2+b2-2=-2-12，即4c23a2+b2=12，所以 3a2+b2=8c2，联立 3a2+b2=8c2a2=b2+c2，可得 4a2=9c2，e2=49 e=23.故选：C.2(2022全国高三专题练习)已知双曲线 C:x2a2-y
92、2b2=1(a 0,b 0)的离心率为 4 33，过左焦点 F且斜率为 k 0 的直线交 C 的两支于 A,B 两点若|FA|=3|FB|，则 k=【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为 x2a2-3y213a2=1，直线为 x=1k y-c，即 x=1k y-4 33a，联立方程，设 A x1,y1,B x2,y2，由|FA|=3|FB|，得 y1=3y2，由根与系数的关系求解即可【详解】因为 ca=4 33,c2=a2+b2=16a23，所以 3b2=13a2，双曲线的方程为 x2a2-3y213a2=1，设过左焦点 F 且斜率为 k 0 的直线为 x=1k y-c，即 x=1k y-
93、4 33a，与双曲线x2a2-3y213a2=1x=1k y-4 33 a联立得13k2-3y2-104 33kay+1693 a2=0，设 A x1,y1,B x2,y2，则 y1+y2=104 3ak3 13-3k2,y1 y2=169a2k23 13-3k2，因为|FA|=3|FB|，所以 y1=3y2，35所以 4y2=104 3ak3 13-3k2,3y22=169a2k23 13-3k2，消去 y2得 169 64 3a2k23 13-3k2 316=169a2k2，化简得1213-3k2=1，即 k2=13，因为 k 0，所以 k=33，故答案为：333(多选)(2022辽宁沈阳
94、统考模拟预测)已知双曲线 x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的离心率为 e，左、右焦点分别为 F1、F2，过点 F2的直线与双曲线右支交于 P，Q 两点，且 PF1=2 PF2，下列说法正确的是()A.PF2 与双曲线的实轴长相等B.e 1,3C.若 P 在以 F1F2为直径的圆上，则双曲线的渐近线方程为 y=4xD.若 PF1=QF2，则直线 PQ 的斜率为 4 2【答案】AD【分析】根据双曲线的定义求解判断 A，由由双曲线的性质 PF2 c-a 求解判断 B，利用勾股定理求得 ba判断 C，结合双曲线的定义，余弦定理求得直线 PQ 倾斜角的正切值，再利用对称性得直线斜率判断 D【详解】
95、由双曲线定义知 PF1-PF2=PF2=2a，A 正确；由双曲线的性质 PF2 c-a(P 为右顶点时取等号)，本题中 P 不可能是右顶点，所以 2a c-a，e=ca 0的焦点 F 并交抛物线于A，B 两点，则 AF=4，且在抛物线的准线上的一点 C 满足 CB=2BF，则 p=.36【答案】2【分析】由所给向量关系可得点 C 在直线 AB 上，过点 A，B 分别作抛物线准线的垂线，结合抛物线定义求出 ACN=30 即可作答.【详解】过点 A，B 作抛物线 y2=2px p 0准线 x=-p2 的垂线，垂足分别为 N，M，令准线交 x 轴于点 K，如图：则有|AN|=|AF|,|BM|=|B
96、F|，因点 C 在准线上且满足 CB=2BF，即点 C 是直线 AB 与准线的交点，于是有|CB|=2|BM|，得 ACN=30，从而有|AC|=2|AN|=2|AF|，即点 F 是线段 AC 的中点，而 FK AN，则有|FK|=12|AN|=12|AF|=2,又|FK|=p，所以 p=2.故答案为：25(2020全国校联考模拟预测)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)过点 M(3,1)，且左、右顶点分别为 A1,A2，左焦点为 F1，上、下两个顶点分别为 B1,B2,0 为坐标原点，A1B1F1与 OA2B2面积的比值为3-63(1)求 C 的标准方程；(2)过 F1且斜率为
97、 k k 0的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点，点 D 在 y 轴上，且满足 PD=QD，已知 E(0,-2)，求 EPQ 与 A2OD 面积比值的最小值【答案】(1)x26+y22=1；(2)2 2【分析】(1)由 A1B1F1与 OA2B2面积的比可得 a,c 关系，再由椭圆过点即可求出 a,b；(2)设直线 l 的方程为 y=k(x+2)(k 0)，联立椭圆方程，由根与系数关系求 x1+x2=-12k23k2+1，x1x2，将EPQ 与 A2OD 面积比转化为关于 k 的式子，利用均值不等式求最值.【详解】(1)设 F1(-c,0)，由题意知 SA1B1F1SOA2B2=12(a
98、-c)b12 ab=3-63，整理得 ca=63 将(3,1)代入 C 的方程，得 3a2+1b2=1 由及 a2=b2+c2，得 a=6，b=2，故 C 的标准方程为 x26+y22=137(2)由(1)知 F1(-2,0)，则直线 l 的方程为 y=k(x+2)(k 0)联立直线 l 与椭圆 C 的方程，得x26+y22=1y=k(x+2)，消去 y 可得 3k2+1x2+12k2x+12k2-6=0，设 P x1,y1，Q x2,y2，则 x1+x2=-12k23k2+1，x1x2=12k2-63k2+1，所以|PQ|=1+k2 x1-x2=1+k2 x1+x22-4x1x2=1+k2-
99、12k23k2+12-4 12k2-63k2+1=1+k2 2 6k2+13k2+1=2 6 k2+13k2+1易知点 E(0,-2)到直线 l 的距离 d=|2+2k|1+k2=2(k+1)1+k2 设线段 PQ 的中点为 N，则 xN=x1+x22=-6k23k2+1,yN=k xN+2=2k3k2+1，即 N-6k23k2+1,2k3k2+1，所以线段 PQ 垂直平分线的方程为 y-2k3k2+1=-1k x+6k23k2+1，因为|PD|=|QD|，所以点 D 在线段 PQ 的垂直平分线上，令 x=0，得 y=-4k3k2+1，则|OD|=4k3k2+1所以 SEPQSA2OD=12
100、2 6 k2+13k2+1 2(k+1)k2+112 4k3k2+1 6=(k+1)k2+1k=k2+1(k+1)2k2=k2+1k2+2k+1k2=k+1kk+1k+22k 1k 2k 1k+2=2 2，当且仅当 k=1k，即 k=1 时取等号，故 EPQ 与 A2OD 面积比值的最小值为 2 2【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线最值问题的常用方法有三种：一是转化为函数的最值问题，先引入变量，构建与待求量有关的函数，然后求最值；二是转化为基本不等式问题，利用不等关系构建不等式并求解；三是利用圆锥曲线的几何性质及数形结合法求解如本题第(2)问，先建立关于面积比值的表达式，然后对其进行转化，最后利用
101、基本不等式求解6(2021江西新余统考模拟预测)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)和圆 O:x2+y2=a2,F1(-1,0),F2(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，过 F1且倾斜角为 0,2的动直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点，交圆 O 于P,Q 两点(如图所示)，当 =4 时，弦 PQ 的长为1438(1)求圆 O 和椭圆 C 的方程(2)若点 M 是圆 O 上一点，求当 AF2,BF2,AB 成等差数列时，MPQ 面积的最大值【答案】(1)x24+y23=1；(2)7 15+5616【分析】(1)由直线被圆截得的弦长为14，运用垂径定理建立关于 a,b 等式即可求
102、解；(2)求直线 PQ 的方程，因为直线 PQ 已经经过 F1(-1,0)，只要再求一点或斜率，即可得到方程，因为 AF2,BF2,AB 成等差数列，结合椭圆的定义，可求得 BF2的长，从而可求得 B 的坐标，最终可求得直线 PQ 的方程【详解】(1)取 PQ 的中点 D，连接 OD,OP由 =4，c=1 可得 OD=22，PQ=14，OQ2=PQ24+OD2=4 a2=OQ2=4,b2=3 圆 O 的方程为 x2+y2=4，椭圆 C 的方程为 x24+y23=1(2)AF2,BF2,AB 成等差数列，所以 2BF2=AF2+AB,又因为 AF2+BF2+AB=8，BF2=83设 B(x,y)
103、，则x-12+y2=649x24+y23=1，得 B-43,-153，PQ:y=15(x+1)O 到 PQ 的距离为154，PQ=24-1516=72又圆 O 上一点到直线 PQ 的距离的最大值为154+2 MPQ 的面积的最大值为 12 72 154+2=7 15+56167(2020安徽蚌埠统考一模)已知 M 是椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)上一点，F1、F2分别为椭圆 C的左、右焦点，且 F1F2=2，F1MF2=3，F1MF2的面积为3(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 l 过椭圆 C 右焦点 F2，交该椭圆于 A、B 两点，AB 中点为 Q，射线 OQ(O 为坐标原
104、点)交椭圆于 P，39记 AOQ 的面积为 S1，BPQ 的面积为 S2，若 S2=3S1，求直线 l 的方程【答案】(1)x24+y23=1；(2)x=2y+1【分析】(1)根据三角形的面积公式和余弦定理求得 a=2，b2=3，由此求得椭圆 C 的方程(2)解法一：由已知和三角形的面积公式得 OP=4 OQ分 AB 斜率不存在和 AB 斜率存在两种情况，当AB 斜率存在时，设直线方程为 y=k x-1，设点 A x1,y1，B x2,y2，代入作差得 kAB kOP=-34，得直线OP 的方程为：y=-34k x，分别与椭圆的方程和 AB 的直线方程联立求得 x2P和 xQ，可求得斜率 k，
105、从而得直线 AB 的方程解法二：由已知和三角形的面积公式得 OP=4 OQ当 AB 斜率不为 0 时，设直线 AB 的方程为 x=ty+1，A x1,y1，B x2,y2，Q x3,y3，直线 AB 的方程与椭圆的方程联立求得点 P 的坐标，将其代入椭圆的方程可求得 t=2，从而得直线 AB 的方程【详解】(1)因为 F1F2=2，所以 c=1，设 MF1=m，MF2=n，m+n=2a，因为 F1MF2=3，F1MF2的面积为3，所以 S=12 mnsin 3=3，所以 mn=4在 MF1F2中，由余弦定理得：4=m2+n2-2mncos 3，即 4=(m+n)2-3mn，解得 m+n=4，所
106、以 a=2，b2=3，所以椭圆 C 的方程是 x24+y23=1(2)解法一：因为 S2=3S1，所以 12 QP QBsinBQP=3 12 QA QOsinAQO，所以 QP=3 QO，所以 OP=4 OQ当 AB 斜率不存在时，S2=S1，不合题意，当 AB 斜率存在时，设直线方程为 y=k x-1，设点 A x1,y1，B x2,y2，则x214+y213=1x224+y223=1，两式作差得：y1-y2x1-x2 y1+y2x1+x2=-34，即 kAB kOP=-34，故直线 OP 的方程为：y=-34k x，联立y=-34kxx24+y23=1，解得 x2P=16k23+4k2，
107、联立 y=-34kxy=k(x-1)，解得 xQ=4k23+4k2，因为 xP=4xQ，所以4 k 3+4k2=4 4k23+4k2，即 k2=14，解得：k=12，所以直线 AB 的方程为 y=12(x-1)(2)解法二：因为 S2=3S1，所以 12 QP QBsinBQP=3 12 QA QOsinAQO，所以 QP=3 QO，所以 OP=4 OQ当 AB 斜率为 0 时，Q，O 两点重合，不合题意，故设直线 AB 的方程为 x=ty+1，A x1,y1，B x2,y2，Q x3,y3，联立x=ty+1x24+y23=1得 3t2+4y2+6ty-9=0，所以 y1+y2=-6t3t2+
108、4，y1y2=-93t2+4，40所以 y3=y1+y22=-3t3t2+4，x3=ty3+1=43t2+4，所以 P 4x3,4y3，即 P163t2+4,-12t3t2+4，将 P 代入 x24+y23=1 得 3t4-8t2-16=0，即 t2-43t2+4=0，解得：t=2，所以直线 AB 的方程为 x=2y+1【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形有时若直线过 x
109、轴上的一点，可将直线设成横截式.8(2010全国高考真题)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C于点 D，且 BF=2FD，则 C 的离心率为【答案】33【详解】设椭圆 C 的焦点在 x 轴上，如图所示，则 B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，则 BF=(c，-b)，FD=(xD-c，yD)，BF=2FD，c=2(xD-c)-b=2yDxD=3c2yD=-b23c22a2+-b22b2=1，即 e2=13，e=33 9(2010全国高考真题)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为32，过右焦点 F 且斜率为k(k 0)
110、的直线与 C 相交于 A、B 两点若 AF=3FB，则 k=()A.1B.2C.3D.2【答案】B【详解】因为 e=ca=32，所以 c=32 a，从而 b2=a2-c2=a24，则椭圆方程为 x2a2+4y2a2=1依题意可得直线方程为 y=k x-32 a，联立y=k x-32 ax2a2+4y2a2=1可得(1+4k2)x2-4 3k2ax+(3k2-1)a2=0设 A,B 坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则 x1+x2=4 3k21+4k2,x1x2=(3k2-1)a21+4k2因为 AF=3FB，所以32 a-x1,-y1=3 x2-32 a,y2，从而有 x1+3x2=2
111、 3a 再由 AF=3FB可得|AF|=3|FB|，根据椭圆第二定义可得322 33a-x1=3 322 33a-x2，即3x2-x1=4 33a 41由可得 x1=33 a,x2=5 39a，所以 x1 x2=59 a2=(3k2-1)a21+4k2，则(3k2-1)1+4k2=59，解得 k=2因为 k 0，所以 k=2，故选 B10(2009全国高考真题)已知双曲线 C:2a2-y2b2=1(a 0，b 0)的右焦点为 F 且斜率为3 的直线交 C 于 A、B 两点，若 AF=4FB，则 C 的离心率为()A.65B.75C.85D.95【答案】A【分析】过 A，B 分别作右准线的垂直
112、AM，AN，垂足分别为 M,N,再过 B 作 BH 垂直 AM 垂足为 H，设|BF|=x,则|AF|=4x,根据双曲线的第二定义可知|AM|=4ex,|BN|=ex,|AH|=|AM|-|BN|=3ex,由于直线 l 的倾斜角为 60,所以 BAH=60，所以cos60=|AH|AB|=3ex5x=3e5=12,e=65.11(2023全国统考高考真题)(多选)设 O 为坐标原点，直线 y=-3 x-1过抛物线 C:y2=2px p 0的焦点，且与 C 交于 M，N 两点，l 为 C 的准线，则()A.p=2B.MN=83C.以 MN 为直径的圆与 l 相切D.OMN 为等腰三角形【答案】A
113、C【分析】先求得焦点坐标，从而求得 p，根据弦长公式求得 MN，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.【详解】A 选项：直线 y=-3 x-1过点 1,0，所以抛物线 C:y2=2px p 0的焦点 F 1,0，所以 p2=1,p=2,2p=4，则 A 选项正确，且抛物线 C 的方程为 y2=4x.B 选项：设 M x1,y1,N x2,y2，由 y=-3 x-1y2=4x消去 y 并化简得 3x2-10 x+3=x-33x-1=0，解得 x1=3,x2=13，所以 MN=x1+x2+p=3+13+2=163，B 选项错误.C 选项：设 MN 的中点为 A，M,N,A 到直线 l 的距离分别为 d1,d2,d，因为 d=12 d1+d2=12MF+NF=12 MN，即 A 到直线 l 的距离等于 MN 的一半，所以以 MN 为直径的圆与直线 l 相切，C 选项正确.D 选项：直线 y=-3 x-1，即3x+y-3=0，O 到直线3x+y-3=0 的距离为 d=32，所以三角形 OMN 的面积为 12 163 32=4 33，由上述分析可知 y1=-3 3-1=-2 3,y2=-313-1=2 33，所以 OM=32+-2 32=21,ON=132+2 332=133，所以三角形 OMN 不是等腰三角形，D 选项错误.故选：AC.
