1、3双曲线31双曲线及其标准方程1掌握双曲线的定义及其应用(重点)2掌握双曲线的标准方程及其推导过程(难点)3会求双曲线的标准方程(易混点)教材整理1双曲线的定义阅读教材P78“动手实践”以下的部分，完成下列问题我们把平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线定点F1、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距1双曲线1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是()A17B7C7或17D2或22【解析】由双曲线定义知|PF1|PF2|10，即|12|PF2|10.解得|PF2|2或|PF2
2、|22.【答案】D2设F1，F2是双曲线1的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离【解】因为a4，所以2a8，由双曲线的定义得|PF1|PF2|8，所以|9|PF2|8，所以|PF2|1或17.因为c2a2b236，所以|F1F2|12，当|PF2|1时，|PF1|PF2|10|F1F2|，不符合“两点之间线段最短”，应舍去，所以|PF2|17.教材整理2双曲线的标准方程阅读教材P79“例1”以上的部分，完成下列问题焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点在x轴上焦点在y轴上焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，
3、b，c的关系c2a2b21双曲线1的焦点坐标为_【解析】c2a2b220，c2，焦点在x轴上，焦点坐标为(2，0)，(2，0)【答案】(2，0)，(2，0)2若a3，b4，则双曲线的标准方程是_【解析】当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为1；当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为1.【答案】1或1预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_双曲线的定义及应用下列命题是真命题的是_(将所有真命题的序号都填上)已知定点F1(1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|PF2|的点P的轨迹为双曲线；已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，
4、则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为两条射线；到定点F1(3,0)，F2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线；若点P到定点F1(4,0)，F2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M(1,2)到点N(3，1)的距离，则点P的轨迹为双曲线【自主解答】2，故点P的轨迹是双曲线的一支；因为2a|F1F2|4，所以点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；到定点F1(3,0)，F2(3,0)距离之差的绝对值等于7，而76，故点P的轨迹不存在；点M(1,2)到点N(3，1)的距离为58，故点P的轨迹是以F1(4,0)，F2(4,0)为焦点的双曲线【答案】如图331，若F1，F2是双曲
5、线1的两个焦点图331(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积【精彩点拨】(1)利用双曲线的定义求解(2)欲求F1PF2的面积，可考虑用|PF1|PF2|sinF1PF2求解，只要求出F1PF2的正弦值即可而F1PF2的三边中，|PF1|PF2|6，|F1F2|10，故可考虑用余弦定理求解【自主解答】双曲线的标准方程为1，故a3，b4，c5.(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6
6、，解得x10或x22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|PF2|PF1|2a6，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.由F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF20，F1PF290，SF1PF2|PF1|PF2|3216.1求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF1|PF2|2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于ca)2在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定
7、义中的条件|PF1|PF2|2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用1已知双曲线1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，求F1PF2的面积【导学号：32550081】【解】由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF26416.求双曲线的标准方程根据下列条件求双曲线的标准方程
8、(1)求以椭圆1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M(1,1)，N(2,5)两点，求双曲线的标准方程【精彩点拨】用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解【自主解答】(1)法一：(待定系数法)由题意知双曲线的两焦点F1(0，3)，F2(0,3)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，将点A(4，5)代入双曲线方程得1，又a2b29，解得a25，b24.双曲线的标准方程为1.法二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，3)，F2(0,3)且A(4，5)在双曲线
9、上，则2a|AF1|AF2|2，a，b2c2a2954.即双曲线的标准方程为1.(2)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)因为M(1,1)，N(2,5)在双曲线上，所以解得若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)同理有解得(不合题意，舍去)所以所求双曲线的标准方程为1.法二：设所求双曲线的方程为mx2ny21(mn0)将点M(1,1)，N(2,5)代入上述方程，得解得所以所求双曲线的标准方程为1.求双曲线标准方程的常用方法：(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程(2)用待定系数法，具体步骤如下：2求适合下列
10、条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，经过点(4，2)和(2，2)；(2)a2，经过点A(2，5)，焦点在y轴上【解】(1)因为焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，因为点(4，2)和(2，2)在双曲线上，所以，解得.故所求双曲线的标准方程是1.(2)因为焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程可设为1(a0，b0)由a2，且点A(2，5)在双曲线上，可得，解得b216.因此，所求双曲线的标准方程为1.求双曲线的轨迹方程已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程【导学号：32550082】【精彩点拨】利用两圆内、外切的充要
11、条件找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解【自主解答】如图，设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|r，|MC2|r，|MC1|MC2|2.又C1(4,0)，C2(4,0)，|C1C2|8，2|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(4,0)、C2(4，0)为焦点的双曲线的右支a，c4，b2c2a214，点M的轨迹方程是1(x)1本题易忽略|MC1|MC2|2没有“绝对值”，故忘加“x”这一条件2求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，
12、弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定3在ABC中，B(4,0)，C(4,0)，动点A满足sin Bsin Csin A求点A的轨迹【解】在ABC中，sin Bsin Csin A，|AC|AB|BC|.又B(4,0)，C(4,0)，|BC|8.|AC|AB|4|BC|.点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支(除去与B，C共线的一点)其方程为1(x2)双曲线的定义探究1双曲线定义中的“的绝对值”能否去掉？【提示】双曲线的定义中若没有“的绝对值”，则点的轨迹就是双曲线的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中的“的绝对值”不能去掉当P满足0|PF1
13、|PF2|F1F2|时，点P的轨迹是双曲线的一支；当0|PF2|PF1|F1F2|时，点P的轨迹是双曲线的另一支；当|PF1|PF2|F1F2|时，点P的轨迹是两条射线，|PF1|PF2|不可能大于|F1F2|.探究2设点M是双曲线上的任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，如何确定|MF1|MF2|的符号？【提示】若点M在双曲线的右支上，则|MF1|MF2|，故|MF1|MF2|2a；若点M在双曲线的左支上，则|MF1|MF2|，故|MF1|MF2|2a，综上得|MF1|MF2|2a，这是与椭圆不同的地方双曲线的标准方程探究1双曲线的标准方程1(a0，b0)和1(a0，b0)有何异同点
14、？【提示】相同点：它们的形状、大小都相同，都有a0，b0和c2a2b2.不同点：它们的位置不同，焦点坐标不同探究2椭圆、双曲线的定义及标准方程之间有什么区别？【提示】椭圆双曲线定义到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为定值(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹标准方程(焦点在x轴时)1(ab0)1(a0，b0)设双曲线与椭圆1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，则此双曲线的标准方程为_【导学号：32550083】【精彩点拨】常规解法易想到，但需解方程组，解方程时易错，而巧妙解法利用曲线系方程求解，将方程设为1
15、(2736)求解可以减少计算量【自主解答】由题意设双曲线方程为：1(2736)，将A(，4)代入得32，0(舍)，所以所求双曲线方程为1.【答案】14已知某双曲线与1共焦点，且过点(3，2)，则此双曲线的标准方程为_【导学号：32550084】【解析】设双曲线的方程为1(4k16)将点(3，2)代入得k4，所以双曲线的标准方程为1.【答案】11判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线()(2)在双曲线标准方程1中，a0，b0且ab.()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是ab.()【解析】(1)注意双曲线定义中是“
16、差的绝对值”(2)1中，a0，b0也可以(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系不确定【答案】(1)(2)(3)2双曲线1的焦距为()A.B2C.D8【解析】c2a2b29716，c4，焦距为2c8，【答案】D3已知点F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，点P是双曲线上的一点，且0，则PF1F2的面积为()AabBabCb2Da2【解析】由题意知2a.|PF1|2|PF2|24c2.2，得|PF1|PF2|2b2，SPF1F2|PF1|PF2|b2.【答案】C4双曲线的焦点在x轴上，且ac9，b3，则双曲线的标准方程为_【解析】由，得，焦点在x轴上，双曲线标准方程为1.【答案】15求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)已知焦点F1(0，6)，F2(0,6)，双曲线上的一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于8；(2)c，经过点A(5,2)，焦点在x轴上【解】(1)双曲线的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(a0，b0)2a8,2c12，a4，c6，b2624220.所求双曲线的标准方程为1.(2)设双曲线的标准方程为1.c，b2c2a26a2.由题意知1，1，解得a25或a230(舍去)b21.双曲线的标准方程为y21.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_