1、第37讲 平面的基本性质 第37讲 平面的基本性质 1平面的概念及其表示 (1)平面的概念 几何里所说的“平面”就是从一些物体(课桌面、海平面等)抽象出来的，平面有两个特征：_，即平面是无边界且无限延展的；_，即平面是无厚薄、无大小、无数个平面重叠在一起，仍然是一个平面，平面是无所谓面积的 一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分 知识梳理 第37讲 知识梳理 无限延展 平的(没有厚度)(2)平面的表示法 通常画_表示平面(如图381)，平面可用小写希腊字母表示，如_、平面；或用表示平行四边形的顶点的大写英文字母表示，如_、_.第37讲 知识梳理 平行四边形 平面 平面AC 平面AB
2、CD 第37讲 知识梳理 2平面的基本性质 两点 第37讲 知识梳理 不在 三点 第37讲 知识梳理 不重合 一个 第37讲 知识梳理 一条直线和直线外一点 相交直线 平行直线 注：基本性质2有以下三个推论 第37讲 知识梳理 3.空间直线与直线的位置关系 一个 没有 任何一个 没有 第37讲 知识梳理 4.平行直线 (1)基本性质4(平行公理)：平行于同一条直线的_ 用符号表示为：ab，bcac.由公理4可知，空间平行线具有_公理4的结论与平面几何中的相关结论相同，是平面几何中结论的推广，是判定空间两条直线_的依据 (2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_ 两条直线
3、互相平行 传递性 平行 相等或互补 5异面直线 (1)定义：_ _的两条直线叫做异面直线 (2)性质：两条异面直线既不_也不_ (3)异面直线所成的角 已知异面直线a、b，在空间任取一点O，过O作_ _，则a与b所成的_(或_)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)异面直线所成的角的范围：_.如果两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线_两条互相垂直的异面直线a、b，记作_ 第37讲 知识梳理 0，2 不同在任何一个平面内 相交 平行 锐角 aa，bb 直角 互相垂直 ab 要点探究 探究点1 空间点、线、面位置关系的判定第37讲 要点探究 例1 如图372，正方体ABCDA1B1C1D1
4、中，判断下列命题是否正确，并请说明理由 (1)直线AC1在平面CC1B1B内；(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；(3)由点A、O、C可以确定一个平面；(4)由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1；(5)若直线l是平面AC内的直线，直线m是平面D1C上的直线，若l与m相交，则交点一定在直线CD上 第37讲 要点探究 第37讲 要点探究 解答(1)错误若 AC1平面 CC1B1B，又 BC平面 CC1B1B，则 A平面 CC1B1B，且 B平面 CC1B1B，AB平面 CC1B1B，与 AB平面 CC1B1B 矛盾；
5、(2)正确因为 O、O1 是两平面的两个公共点，所以平面AA1C1C 与平面 BB1D1D 的交线为 OO1；思路 利用平面的基本性质进行判断 第37讲 要点探究(3)错误因为 A、O、C 三点共线；(4)正确因为 A、C1、B1 不共线，A、C1、B1 三点确定一个平面 ，又 AB1C1D 为平行四边形，AC1、B1D 相交于 O2点，而 O2，B1，B1O2，而 DB1O2，D；(5)正确若 l 与 m 相交，则交点是两平面的公共点，而直线 CD为两平面的交线，所以交点一定在直线 CD 上 第37讲 要点探究 下列命题：空间中不同的三点确定一个平面；有三个公共点的两个平面必重合；空间两两相
6、交的三条直线确定一个平面；三角形是平面图形；平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；两组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的命题是_ 第37讲 要点探究 答案 解析 由公理2知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题均错，中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面；若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图所示 第37讲 要点探究 如图四边形ADBC中，ADDBBCCA，但它不是平行四边形，所以也错.正确的命题只有.探究点2 三点
7、共线与三线共点问题第37讲 要点探究 例 2 如图 373 所示，E、F、G、H 分别是空间四边形ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点，且 EH 与 FG 相交于点 O.求证：B、D、O 三点共线 第37讲 要点探究 解答 EAB，HAD，E平面 ABD，H平面 ABD，EH平面 ABD.EHFGO，O平面 ABD，同理可证 O平面 BCD，O平面 ABD平面 BCD，即 OBD，所以 B、D、O 三点共线 第37讲 要点探究 两个不全等的三角形 ABC、A1B1C1不在同一平面内，如图 374 所示，A1B1AB，B1C1BC，C1A1CA，求证：AA1、BB1、CC1交于一点 第
8、37讲 要点探究 思路 先证明两直线的交点在两平面的交线上，而第三条直线恰好是两个相交平面的交线 解答 因为 A1B1AB，所以 A1B1与 AB 确定平面 ，因为 B1C1BC，所以 B1C1与 BC 确定平面 ，因为 C1A1CA，所以 C1A1与 CA 确定平面 ，又ABC 与A1B1C1不全等，所以有两条对应边不相等，设 ABA1B1，由于 AA1，BB1，则 AA1与 BB1必相交于 P 点，因为 BB1，所以 P；因为 AA1，所以 P，于是 P 在 、的交线上，又 CC1，即 PCC1，所以 C、C1、P 三点共线，因此，AA1、BB1、CC1交于一点 P.探究点3 点线共面问题
9、第37讲 要点探究 例 3 如图 375 所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E、F分别是棱 AA1、CC1的中点，求证：点 D1、E、F、B 共面 第37讲 要点探究 解答 方法一：由公理 2，不共线的三点 D1、E、F 确定平面 ，由图可知 D1E 与 DA 共面(公理 2 的推论)，且延长线交于点G，从而 G(公理 1)，同理 D1F 与 DC 延长线的交点 H，思路 要证明四点共面，可先由其中的三点D1、E、F确定一个平面，再证明点B也在这个平面内；也可考虑证明连接这四点的其中两条直线平行或相交 第37讲 要点探究 第37讲 要点探究 G平面 AC，H平面 AC，GH平面 A
10、C，又 B平面 AC，则 G、B、H 共面，E 为 AA1中点，AEDD1，AGADAB，ABG45，同理CBH45，ABGABCCBH180，G、B、H 三点共线，第37讲 要点探究 又 G，H，即 GH(公理 1)，B，即点 D1、E、F、B 四点共面于平面 .方法二：取 DD1的中点 G，连接 CG、BE、BF，点 E、G 分别是棱 AA1、DD1的中点，EG 綊 AD 綊 BC，BE 綊 CG，点 F、G 分别是棱 CC1、DD1的中点，FD1綊 CG，BEFD1，故点 D1、E、F、B 四点共面 探究点4 异面直线所成的角第37讲 要点探究 例 4 2010全国卷 如图 376 所示
11、，直三棱柱 ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线 BA1与 AC1所成的角等于()A30 B45 C60 D90 答案 C 第37讲 要点探究 思路 求异面直线所成角的关键是作出角，平移线段BA1，即寻找一条与BA1平行且恰与AC1相交的直线，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的平面角，把问题化归为求解三角形的内角 第37讲 要点探究 解析 方法 1：过 B 作 BD 綊 AC，连接 AD、C1D，A1C1綊 AC，即 A1C1綊 BD，四边形 A1C1DB 是平行四边形，则 A1BC1D，即AC1D 是异面直线 BA1与 AC1所成的角，设 ABACAA1
12、a，由ABDDCC1ACC1BAC90，得 ADAC1C1D 2a，即ADC1是等边三角形，AC1D60，即异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于60.第37讲 要点探究 方法 2：延长 B1B 到 E，使得 BEB1B，连接 AE，则 BE 綊 A1A，四边形 AA1BE 为平行四边形，则 A1BAE，即EAC1是异面直线 BA1与 AC1所成的角的补角，设 ABACAA1a，由ABEACC1EB1C1BAC90，得 AEAC1 2a，C1E（2a）2（2a）2 6a，在AEC1中，由余弦定理，得 cosEAC1（2a）2（2a）2（6a）22 2a 2a12，异面直线 BA1与 AC1
13、所成的角等于 60.第37讲 要点探究 2010湖南卷 如图 377 所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABAD1，AA12，M 是棱 CC1 的中点求异面直线 A1M 和 C1D1所成的角的正切值 第37讲 要点探究 解答 因为 C1D1B1A1，所以MA1B1为异面直线 A1M 和 C1D1所成的角 因为 A1B1平面 BCC1B1，所以A1B1M90.而 A1B11，B1M 2，故 tanMA1B1B1MA1B1 2.即异面直线 A1M 和 C1D1所成的角的正切值为 2.规律总结 第37讲 规律总结 1基本性质的作用 基本性质 1 的作用是判断直线是否在某个平面内；基本性质
14、 2 及其 3 个推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；基本性质 3 的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据 2证明三点共线及三线共点的方法 证三点共线及三线共点，都要转化为证明点在直线上，而要证明点在直线上，可分别证点在两个平面内，从而在两个平面的公共交线上 第37讲 规律总结 3证明点线共面的常用方法 (1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合 4求两条异面直线所成的角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决其关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交平移直线的方法有：直接平移；中位线平移
