1、会泽县茚旺高级中学2019年春季学期期中考试高二数学（理科）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为集合，所以，由集合并集的定义可得，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断。【详解】由于全称命题的否定是特
2、称命题，只需要改量词，否定结论，所以，故答案选B【点睛】考查全称命题的否定，注意量词与不等号的变化是解题关键，属于基础题3.复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：先化简复数z,再看复数z在复平面内对应的点所在的象限.详解：由题得，所以复数z在复平面内对应的点为（2,4），故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数对应的点所在的象限.复数和点（a,b）是一一对应的关系.4.为了解某校老年、中年和青年教师
3、的身体状况，已知老、中、青人数之比为，现用分层抽样的方法抽取容量为的样本，其中老年教师有18人，则样本容量（ ）A. 54B. 90C. 45D. 126【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的概念即可求解。【详解】依题意得，解得，即样本容量为90. 故选B【点睛】本题考查分层抽样的应用，属基础题。5.已知的二项展开式中常数项为1120，则实数的值是（ ）A. B. 1C. 或1D. 不确定【答案】C【解析】【分析】列出二项展开式的通项公式，可知当时为常数项，代入通项公式构造方程求得结果.【详解】展开式的通项为：令，解得：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查根据二项展开式指定项的系数求解参数
4、值的问题，属于基础题.6.若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有（ ）A. 12种B. 14种C. 5种D. 4种【答案】A【解析】【分析】这是一个不相邻的问题，采用插空法，先排其余的2人，出现3个空，将甲、乙、丙三人插空，即可得到答案。【详解】分两步完成：第一步，5个人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有种排法；第二步，从3个可插空档给甲、乙、丙3人排队有种插法.由分步乘法计数原理可知，一共有种排法.故答案选A【点睛】本题主要考查排列中不相邻的问题，相邻用捆绑法，不相邻用插空法，属于基础题。7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 46B. 48C. 5
5、0D. 52【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，棱锥的底面是边长为4的正方形，一条长为3的侧棱与底面垂直，求出底面及四个侧面的面积即可得结果.【详解】该几何体是如图所示的一个四棱锥，棱锥的底面是边长为4的正方形，一条长为3的侧棱与底面垂直，4个侧面都是直接三角形，由所给数据可得该几何体表面积为，故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同
6、图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）A. B. 0C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】执行框图，依次写出每次循环所得x和y的值，并进行判断，即可得结果。【详解】输入x=11第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第四次循环：，；第五次循环：，；第六次循环：，退出循环，输出.【点睛】本题考查循环结构的程序框图，方法是依次写出每次循环所得x和y的值，并进行判断，属基础题。9.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向
7、右平移个单位长度，则所得图象对应的函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：依据题的条件，根据函数的图像变换规律，得到相应的函数解析式，利用诱导公式化简，可得结果.详解：根据题意，将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数图像对应的解析式为，再将所得图象向右平移个单位长度，得到的函数图像对应的解析式为，故选D.点睛：该题考查的是有关函数图像的变换问题，在求解的过程中，需要明确伸缩变换和左右平移对应的规律，影响函数解析式中哪一个参数，最后结合诱导公式化简即可得结果.10. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
8、（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】解法一：由排列组合知识可知，所求概率；解法二：任取两个数可能出现的情况为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；符合条件的情况为（1,3）、（2,4），故.【考点定位】本题考查古典概型的概率运算，考查学生的基本运算能力.11.已知直线，圆，圆，则（ ）A. 必与圆相切，不可能与圆相交B. 必与圆相交，不可能与圆相切C. 必与圆相切，不可能与圆相切D. 必与圆相交，不可能与圆相离【答案】D【解析】直线的过定点，代入圆，得，即点在圆的内部，故必与圆相交，而点到圆的圆心的距离等于圆的半径3 ，故点在圆上，即不可能与圆相离
9、.故选D12.已知定义在上的函数满足，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】构造函数，由可得在上单调递增，由此，从而可得结论.【详解】令，则.因为当时，此时，于是在上单调递增，所以，即，故，故选C【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往
10、往从两方面着手：根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题。13.定积分_.【答案】2【解析】【分析】根据定积分的计算法则计算即可。【详解】.【点睛】本题考查定积分的计算，属于基础题14.已知实数，满足则的最小值为_.【答案】【解析】试题分析：由数形结合得，直线经过点时，取得最小值为.考点：线性规划.15.在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为_.【答案】【解析】【分析】根据题意表示，由平面的一个法向量为，可得的值，利用点到面的距离公式即可求出点到平面的距离。详解】，到平面的距离为.【点睛】本题
11、考查利用空间向量法求点到面距离的问题，考查学生空间想象能力以及计算能力，属于基础题。16.球被平面所截得的截面圆的面积为，且球心到的距离为，则球的体积为_.【答案】【解析】【分析】先求出截面圆的半径，利用勾股定理可求得球的半径，再利用球的体积公式可得结果.【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，则，球的体积为，故答案为.【点睛】本题主要考查球的性质以及球的体积公式，属于中档题.球的截面问题，做题过程中主要注意以下两点：多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；注意运用性质.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.的内角，所对的边分别为，.已知，且.（1）求角；（2
12、）若，且的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）15【解析】【分析】（1）由，利用两角和的余弦公式化简原式，可得，从而可得结果；（2）由，利用正弦定理可得，由的面积为，可得，求得的值，再根据余弦定理求出的值，从而可得结果.【详解】（1）由，得.，（2），所以，由正弦定理可得.又因为的面积为，.由余弦定理得，.故的周长为.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18.设为数列的前项和，.
13、（1）证明：数列为等差数列，并求；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）见证明，；（2）【解析】【分析】（1）当时，求得，再利用等差数列的定义可得结论；（2）先由可得，由此可得，利用裂项相消法可得结果.【详解】（1）当时，当时，也满足，故.，数列是首项为7公差为4的等差数列.（2），.【点睛】本题主要考查等差数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）等差数列，；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题
14、，导致计算结果错误.19.设向量，函数.（1）求函数的最大值及最小正周期；（2）若函数的图象是由的图象向左平移个单位长度得到，求的单调递增区间.【答案】(1)，；(2)5.【解析】试题分析：（1）由向量点积的坐标运算得到，再由二倍角和化一公式得到；由周期的定义求周期即可（2）根据左加右减得到，再根据正弦函数的单调性得到，进而求得单调区间。 .（1）函数的最大值，最小正周期.（2）依题意得： ，由，解得，故的单调增区间为.20.在如图所示的几何体中，平面，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：(1)在中，由勾股定理可得.又平面，
15、据此可得.利用线面垂直的判断定理可得平面.(2)(方法一)延长，相交于，连接，由题意可知二面角就是平面与平面所成二面角.取的中点为，则就是二面角的平面角.结合几何关系计算可得.(方法二)建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量.取平面的法向量为.利用空间向量计算可得.详解：(1)在中，.所以，所以为直角三角形，.又因为平面，所以.而，所以平面.(2)(方法一)如图延长，相交于，连接，则平面平面.二面角就是平面与平面所成二面角.因为，所以是的中位线.，这样是等边三角形.取的中点为，连接，因为平面.所以就是二面角的平面角.在，所以.(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系，可得.设是平面的法向量，则
16、令得.取平面的法向量为.设平面与平面所成二面角的平面角为，则，从而.点睛：本题主要考查空间向量的应用，二面角的定义，线面垂直的判断定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，且线段被直线平分.（1）求值；（2）直线是抛物线的切线，为切点，且，求以为圆心且与相切的圆的标准方程.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）设，则，由，得，可得结果；（2）设直线的方程为，代入，得，根据判别式为零求出圆心坐标，利用点到直线距离公式 求出圆的半径，从而可得圆的标准方程.试题解析：由题意可知，设，则.（1）由，得，即.（2）设直线
17、的方程为，代入，得，为抛物线的切线，解得，.到直接距离，所求圆的标准方程为.22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）在上递增，在上递减；（2）.【解析】试题分析：（1）1）当时，在上单调递减； 2）当时，.当时，单调递减；当时，在上大于0，在上单调递增，在上小于0，在上单调递减；（2）当时，满足题意；当时，不满足题意；当时，不满足题意；当时，由（1）可知 令，则将上式写为，令，解得当时，满足题意；当时，不满足题意；综上可得，当时，.试题解析：（1）1）当时，在上单调递减；2）当时，.当时，在定义域上，单调递减；当时，的解为，（负值舍去），在上大于0，在上单调递增，在上小于0，在上单调递减；综上所述，当时，在单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，满足题意；当时， ，不满足题意；当时，由于且，所以为两负数的乘积大于0，即，不满足题意；当时，由（1）可知 令，则将上式写为，令，解得，此时，而当时，满足题意；当时，不满足题意；综上可得，当时，.
