1、第7讲配凑法在解题中的应用方法精要为解答某些数学问题，常在运算或证明过程中巧妙地配上一些适当的数或式，凑成某一合适的形式，以使问题迅速解决，我们称这类解题技巧为配凑法当题目给出的信息按照常规思路难以处理或结构差异比较明显时，常借助题目中的信息或特定的背景利用配凑法解决题型一配凑法在函数中的应用例1已知f(x)2f()x，求f(x)的解析式破题切入点x与互为倒数，故可用代替x，类似解方程组，消去f()，即可求出f(x)的解析式解因为f(x)2f()x，用代替x可得f()2f(x)，联立消去f()可得f(x)，所以f(x)的解析式是f(x).题型二配凑法在三角函数中的应用例2求cos 20cos
2、40cos 60cos 80.破题切入点20、40、80恰好有二倍角的关系，而cos 60可不必考虑变形，有二倍角的关系即可联想到二倍角公式的应用，故分子、分母同乘2sin 20配凑成二倍角公式，反复利用二倍角公式即可解cos 20cos 40cos 60cos 80.题型三配凑法在数列中的应用例3设an是公比为q的等比数列(1)求an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列破题切入点本题求数列的通项公式要分类讨论，分公比等于1和不等于1两种情况，当公比不等于1时，在前n项和Sna1a2an1an的两边同乘以q，得到qSnqa1qa2qan1qan，配凑成错位相减的方法，然后整
3、理就可以求出前n项和公式解(1)分两种情况讨论当q1时，数列an是首项为a1的常数列，所以Sna1a1a1na1.当q1，Sna1a2an1an，两边同时乘以q(配凑成错位同类项)qSnqa1qa2qan1qan.上面两式错位相减：(1q)Sna1(a2qa1)(a3qa2)(anqan1)qana1qan.所以Sn.综上，Sn(2)设an是公比q1的等比数列，假设数列an1是等比数列则当nN*，使得an10成立，则an1不是等比数列当nN*，使得an10成立，则恒为常数a1qn1(q)1当a10时，q1.这与题目条件q1矛盾综上两种情况，假设数列an1是等比数列均不成立，所以当q1时，数列a
4、n1不是等比数列题型四配凑法在几何中的应用例4如图，在ABC中，已知三个角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A120，求证：SABCa2(bc)2破题切入点由A120知，BC60，有这样的三个三角形可以配凑成一个等边三角形花环，求出两个三角形的面积的差，即为三个三角形面积的和，就可以求出ABC的面积证明如图所示，阴影部分是三个ABC的面积，SBCDaasin 60a2，SAEF(bc)(bc)sin 60(bc)2，所以SABC(SBCDSAEF)a2(bc)2a2(bc)2总结提高“配凑”就是通过恰当的拼与凑，使问题简洁、明了，从而达到比较容易解决问题的目的一般来说，配与凑总是相辅相成、互
5、为依托、互为补充的，所谓配凑就是在解题过程中，对某些题目同时给式子的分子、分母乘以同一个不等于零的式子，或者给式子左右加减同一个式子，或者有目的地编造一个式子，使要解证的式子能出现某种特定的形式，或具有某种特性，使问题向特定的方向转化，最后到问题的解决配凑法是一种启发思维的好方法1方程x2y24kx2y5k0表示圆的充要条件是()A.k1 Bk1CkR Dk或k1答案B解析把方程x2y24kx2y5k0化为圆的标准方程的形式(x2k)2(y1)24k25k1，若表示圆，须满足4k25k10，即k1.2函数f(x)log0.5(2x25x3)的单调递增区间是()A(， B，)C(， D，3)答案
6、D解析要使函数有意义，须满足2x25x30，即x3，令t2x25x3，其在x，3)上单调递减，又知ylog0.5t单调递减，根据复合函数的单调性，原函数在x，3)上单调递增3已知f(x)2f(x)2x，则f(x)的解析式是()Af(x)x Bf(x)xCf(x)2x Df(x)x答案C解析因为f(x)2f(x)2x，用x代替x可得f(x)2f(x)2x，两式联立得f(x)2x.4已知点P(x，y)的坐标满足|3x4y12|，则点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆答案C解析因为|3x4y12|，所以.把坐标满足的关系式配凑成到原点的距离与到直线3x4y120的距离相等，又因为直线不经过
7、原点，故符合抛物线的定义，所以其轨迹是抛物线5已知0x0，b0，a，b为常数，则的最小值是()A4ab B2(a2b2)C(ab)2 D(ab)2答案C解析因为0x1，所以01x1，所以()x(1x)a2b2a22abb2(ab)2.6已知、为锐角，且cos ，tan()，则cos 的值是()A B.C D以上都不对答案B解析因为cos ，为锐角，所以sin ，又tan()，所以sin()，cos()，所以cos cos()cos cos()sin sin().7若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数，偶函数，且满足f(x)g(x)ex，则()Af(2)f(3)g(0) Bg(0)f(3)
8、f(2)Cf(2)g(0)f(3) Dg(0)f(2)f(3)答案D解析因为f(x)，g(x)分别是R上的奇函数，偶函数，且满足f(x)g(x)ex，所以f(x)g(x)ex，即f(x)g(x)ex，联立可得f(x)，g(x)，根据函数的单调性f(2)f(3)，而g(0)1f(2)8若x2x10，则x32x2x1的值等于_答案解析x32x2x1x(x2x1)(x2x1)x2，因为x2x10，所以x32x2x1x2，由x2x10，解得x，所以x32x2x1.9求sin220cos250sin 20cos 50的值解设Msin220cos250sin 20cos 50，配凑一个对偶式Ncos220
9、sin250cos 20sin 50，则即解得M.所以sin2 20cos250sin 20cos 50的值为.10已知0x1，求函数y的最小值解因为0x0.所以yx(1x)()59.当且仅当，即x时，上式取“”，故ymin9.11正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的nN*，都有Tn0，Snn2n.于是a1S12，n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项an2n.(2)证明由于an2n，bn.则bnTn11(1).12(2014北京)已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解(1)由题意，椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0x4)，且当x4时等号成立，所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.
