1、4数学归纳法课后作业提升1用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)=(n+3)(n+4)2(nN+)时,验证n=1时,左边应取的项是()A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4答案:D2已知f(n)=1n+1n+1+1n+2+1n2,则()A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=12+13B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=12+13+14C.f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f(2)=12+13D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=12+13+14答案:D3证明n+221+12+13+14+12n1),当n=2时,中间式子等于()A.1B.
2、1+12C.1+12+13D.1+12+13+14解析:中间式中的12n表示中间式的最后一项,前面的保留,所以n=1时,中间式为1+12,n=2时,中间式为1+12+13+14.答案:D4用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN+)能被9整除”的过程中,利用归纳假设证明n=k+1时,只需展开()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3解析:当n=k时,k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=k3+(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3-k3,只需展开(k+3)3即可.答案:A5
3、用数学归纳法证明:当nN+,1+2+22+23+25n-1是31的倍数时,当n=1时,原式为.从n=k到n=k+1时需增添的项是.解析:当n=1时,1+2+22+251-1=1+2+22+23+24;1+2+22+25(k+1)-1-(1+2+22+25k-1)=25k+25k+1+25k+4.答案:1+2+22+23+2425k+25k+1+25k+46n为正奇数,求证:xn+yn能被x+y整除,当第二步假设n=k(kN+)命题为真时,则需证n=时命题也为真.解析:n为正奇数,现在n=k,说明k为正奇数,下一个正奇数应为k+2.答案:k+27将正ABC分割成n2(n2,nN+)个全等的小正三
4、角形(图甲,图乙分别给出了n=2,3的情形),在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列.若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n),则有f(2)=2,f(3)=,f(n)=.图甲图乙解析:由图形的规律,应用数学归纳法可得.答案:10316(n+1)(n+2)8已知函数f(x)=x+3x+1(x0).设数列an满足a1=1,an+1=f(an),数列bn满足bn=|an-3|,用数学归纳法证明bn(3-1)n2n-1.证明:当x0时,f(x)=1+2x+11.因为a1=1,所以an1(nN+).下面用数学归纳法证明不等式bn(3-1)n2n-1.(1)当n=1时,b1=3-1,不等式成立.(2)假设当n=k(k1)时,不等式成立,即bk(3-1)k2k-1,那么bk+1=|ak+1-3|=(3-1)|ak-3|1+ak3-12bk(3-1)k+12k.所以,当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知不等式对任意nN+都成立.
