1、-1-第2课时 正弦函数、余弦函数的性质(二)-2-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 学 习 目 标 思 维 脉 络 1.理解正弦函数、余弦函数的单调性,会求三角函数的单调区间.2.会根据单调性比较三角函数值的大小.3.会求三角函数的值域、最值.-3-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 正弦函数、余弦函数的性质函数 y=sin x y=cos x 定义域 R 值域-1,1 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 周期性 最小
2、正周期:T=2 单调性 在-2+2,2+2,kZ 上递增;在 2+2,32+2,kZ 上递减 在-+2k,2k,kZ上递增;在2k,+2k,kZ上递减 -4-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 最值 当 x=-2+2k,kZ时,ymin=-1;当 x=2+2k,kZ时,ymax=1 当 x=(2k+1),kZ时,ymin=-1;当 x=2k,kZ 时,ymax=1 对称轴 x=2+k,kZ x=k,kZ 对称中心(k,0),kZ 2+,0,kZ -5-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 D
3、ANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 做一做(1)函数 y=2+2cos x 的单调递增区间是 .(2)cos 1,cos 2,cos 3 的大小关系是 (用“”连接).(3)函数 y=-12sin x,x 0,2 的值域是 .解析:(2)0123cos 2cos 3.(3)x 0,2,0sin x1.-12sin x-12,0.答案:(1)2k+,2k+2(kZ)(2)cos 1cos 2cos 3(3)-12,0-6-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 思考辨析判断下
4、列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)函数 y=cos 6-的单调递增区间为 2-56,2+6(kZ).()(2)sin 11cos 10sin 168.()(3)函数 y=3cos(-x)当 x=(2k+1)(kZ)时函数取得最大值.()答案:(1)(2)(3)-7-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一求三角函数的单调区间【例 1】求函数 y=2sin 4-的单调增区间.分析:转化换元构造不等式求解结论解:y=2sin 4-=-2sin-
5、4.令 z=x-4,则 y=-2sin z,求 y=-2sin z 的增区间,即求 sin z 的减区间.2+2kz32+2k,kZ.即2+2kx-4 32+2k,kZ.34+2kx74+2k,kZ.函数 y=2sin 4-的单调增区间是 34+2,74+2(kZ).-8-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析-9-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变
6、式训练 1 求函数 y=2cos 4-的单调增区间.解:y=2cos 4-=2cos-4.由 2k+x-42k+2,kZ,得 2k+54 x2k+94,kZ.即该函数的单调递增区间是 2+54,2+94 (kZ).-10-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究二比较三角函数值的大小问题【例 2】比较下列各组数的大小:(1)cos-235 与 cos-174 ;(2)sin 194与 cos 160;(3)sin 1,sin 2,sin 3.分析:观察角转化为同一单调区间
7、内的角比较大小-11-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解:(1)cos-235 =cos-6+75 =cos75,cos-174 =cos-6+74 =cos74.7532 742,cos75cos74,即 cos-235 cos-174 .(2)sin 194=sin(180+14)=-sin 14,cos 160=cos(180-20)=-cos 20=-sin 70.0147090,sin 14-sin 70,即 sin 194cos 160.-12-第一章 三
8、角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析(3)1223,又 sin(-2)=sin 2,sin(-3)=sin 3,0-31-22,而 y=sin x 在 0,2 上递增,sin(-3)sin 1sin(-2),即 sin 3sin 1sin(-20).sin(-320)sin 700.(2)cos178=cos 2+8=cos8,cos379=cos 4+9=cos9,又函数 y=cos x 在0,上是减函数,cos8cos9.cos178 cos379.-15-第一章 三角函数 XI
9、NZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究三三角函数的值域(最值)【例 3】(1)函数 f(x)=2sin +6-1,x-3,2 的值域为 .当 x=时,f(x)取最小值,当 x=时,f(x)取最大值.(2)函数 f(x)=2cos2x-4cos x+1,xR 的值域为 ;且当f(x)取最大值时,x 的取值集合是 .-16-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分析:(1)先
10、利用 x-3,2 求出 x+6的范围,再将 x+6看成整体利用正弦函数图象性质求得.(2)把 cos x 看成一个整体,利用换元法转化为求二次函数的值域.解析:(1)-3x2,-6x+6 23.由正弦函数图象性质得,当 x+6=-6,即 x=-3时,sin +6 取最小值-12,f(x)的最小值为-2.当 x+6=2,即 x=3时,sin +6 取最大值 1,f(x)的最大值为 1.当 x-3,2 时,f(x)的值域为-2,1.-17-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析(
11、2)f(x)=2cos2x-4cos x+1=2(cos2x-2cos x)+1=2(cos x-1)2-1,设t=cos x,则 y=2(t-1)2-1,且图象开口向上,对称轴为 t=1.-1cos x1,-1t1.则当 t-1,1时,函数 y=2(t-1)2-1 单调递减.当 t=-1 时,ymax=7,当 t=1 时,ymin=-1.f(x)的值域为-1,7,且 cos x=-1,即 x=2k+,kZ 时,f(x)取最大值.f(x)取最大值时,x 的取值集合为x|x=2k+,kZ.答案:(1)-2,1-3 3(2)-1,7 x|x=2k+,kZ-18-第一章 三角函数 XINZHIDAO
12、XUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析-19-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练 3 函数 f(x)=sin 2-4 在区间 0,2 上的最小值是()A.-1B.-22C.22D.0解析:因为 x 0,2,所以 2x-4 -4,34 ,根据正弦曲线可知,当 2x-4=-4时,f(x)取得最小值-22.答案:B-20-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTA
13、NGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析 忽略弦函数值域的有界性致误典例求函数 y=1-2cos2x+5sin x 的最大值和最小值.错解:y=1-2cos2x+5sin x=2sin2x+5sin x-1=2 sin+54 2338-338,函数 y=1-2cos2x+5sin x 的最小值为-338,没有最大值.-21-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析 错因分析:根据正弦函数的图象,可以发现sin x的值介于-1
14、,1之间,上述解答错误地将sin x的范围当成了实数集R,所以本题中的以sin x为自变量的二次函数的定义域不是R,而是-1,1.正解:y=1-2cos2x+5sin x=2sin2x+5sin x-1=2 sin+54 2338.令 sin x=t,则 t-1,1,则 y=2 +54 2338.因为函数 y 在-1,1上是增函数,所以当 t=sin x=-1 时,函数取得最小值-4,当 t=sin x=1 时,函数取得最大值 6.-22-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 思维辨
15、析-23-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练 函数y=cos2x-4cos x+5的值域是 .解析:令t=cos x,由于xR,故-1t1,y=t2-4t+5=(t-2)2+1.当t=-1,即cos x=-1时函数有最大值10;当t=1,即cos x=1时函数有最小值2.所以该函数的值域是2,10.答案:2,10-24-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 1 2 3 4 5
16、 1.函数 y=-cos x 在区间-2,2 上是()A.增函数B.减函数C.先减后增函数D.先增后减函数解析:结合函数在-2,2 上的图象可知 C 正确.答案:C-25-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 2.(2016湖北武汉十一中期末)使函数 y=3-2cos x 取得最小值时的 x的集合为()A.x|x=2k+,kZB.x|x=2k,kZC.x|x=2k+2,kZD.x|x=2k-2,kZ解析:使函数 y=3-2cos x 取得最小值时的 x 的集合,就是使函数 y=cosx
17、取得最大值时的 x 的集合x|x=2k,kZ.答案:B-26-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 3.函数 y=cos 2x 6 3 的值域是()A.-2,2B.-1,1C.-12,12 D.-32,12 解析:6x3,32x23.-12cos 2x12.函数 y=cos 2x 6 3 的值域为-12,12.答案:C-27-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 4.函数 y=cos 2+4 的单调递减区间是 .解析:令 2k2x+42k+,kZ,解得 k-8xk+38,kZ,所求递减区间为-8,+38 ,kZ.答案:-8,+38 ,kZ-28-第一章 三角函数 XINZHIDAOXUE新知导学 DANGTANGJIANCE当堂检测 DAYIJIEHUO答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 5.函数 y=-2cos 12-6+1 的最大值为 ,此时 x 的取值构成的集合为 .解析:当 cos 12-6=-1 时,ymax=-2(-1)+1=3.x的取值满足12x-6=2k+,kZ,即x=4k+73,kZ时,x的取值集合为 =4+73,Z.答案:3 =4+73,Z
