1、高考资源网() 您身边的高考专家山西省吕梁市孝义三中2015届高三上学期第一次月考数学试卷(理科)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知集合A=x|x1|2,B=x|log2x2,则AB=( )A(1,3)B(0,4)C(0,3)D(1,4)考点:交集及其运算 专题:不等式的解法及应用分析:先化简集合,即解绝对值不等式|x1|2,和对数不等式log2x2,再求交集解答:解:根据题意:集合A=x|x1|2=x|1x3,集合B=x|log2x2=x|0x4AB=(0,3)故选C点评:本题通过集合运算来考查不等式的解法属于基础
2、题2已知等比数列an满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=( )A64B81C128D243考点:等比数列 分析:由a1+a2=3,a2+a3=6的关系求得q,进而求得a1,再由等比数列通项公式求解解答:解:由a2+a3=q(a1+a2)=3q=6,q=2,a1(1+q)=3,a1=1,a7=26=64故选A点评:本题主要考查了等比数列的通项及整体运算3下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)上单调递减的是( )Ay=By=exCy=x2+1Dy=lg|x|考点:函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明 专题:计算题;函数的性质及应用分析:根据偶函数的定义,可得C,D是偶函数,其中C在区
3、间(0,+)上单调递减,D在区间(0,+)上单调递增,可得结论解答:解:根据偶函数的定义,可得C,D是偶函数,其中C在区间(0,+)上单调递减,D在区间(0,+)上单调递增,故选:C点评:本题考查奇偶性与单调性的综合,考查学生分析解决问题的能力,比较基础4记等差数列的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差d=( )A2B3C6D7考点:等差数列;等差数列的性质 专题:计算题分析:利用等差数列的求和公式分别表示出S2和S4求得d解答:解:由2a1+d=4且4a1+6d=20;解得d=3故选B点评:本题主要考查了等差数列的前n项的和属基础题5已知a=log23.6,b=log43.
4、2,c=log43.6则( )AabcBacbCbacDcab考点:对数值大小的比较 专题:函数的性质及应用分析:利用换底公式可得a=log23.6=log43.62,然后根据对数函数y=log4x在(0,+)的单调性可进行比较即可解答:解:a=log23.6=log43.62y=log4x在(0,+)单调递增,又3.623.63.2log43.62log43.6log43.2即acb故选:B点评:本题考查利用对数函数的单调性比较对数值大小,考查了换底公式的应用,是基础题6若点(a,b)在y=lgx图象上,a1,则下列点也在此图象上的是( )A()B(10a,1b)C(,b+1)D(a2,2b
5、)考点:对数函数的图像与性质 专题:计算题分析:由已知中点(a,b)在y=lgx图象上,a1,我们易得b=lgx,根据对数的运算性质我们逐一将四个答案中的x代入,计算出对应的y值,即可得到答案解答:解:点(a,b)在y=lgx图象上,a1,b=lga,则lg=b,故A不正确;lg(10a)=1+b,故B不正确;lg=1b,故C不正确;lg(a2)=2b,故D正确;故选D点评:本题考查的知识点是对数函数的图象与性质,其中根据对数的运算性质我们逐一将四个答案中的x代入,计算出对应的y值,是解答本题的关键7直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于( )A2B1
6、C1D2考点:利用导数研究曲线上某点切线方程 专题:导数的综合应用分析:先求出函数的导数,再由导数的几何意义、把切点坐标代入曲线和切线方程,列出方程组进行求解,即可得出结论解答:解:解:由题意得,y=3x2+a,k=3+a 切点为A(1,3),3=k+1 3=1+a+b 由解得,a=1,b=3,2a+b=1,故选C点评:本题考查直线与曲线相切,考查学生的计算能力,属于基础题8定义在R上的偶函数f(x)在0,+)上递增,则满足的x的取值范围是( )A(0,+)BCD考点:对数函数的单调性与特殊点;奇偶性与单调性的综合 专题:函数的性质及应用分析:由题意可得偶函数f(x)在0,+)上递增,在(,0
7、上递减,且f()=f()=0故由不等式可得 ,或 分别求得的解集,再取并集,即得所求解答:解:由题意可得偶函数f(x)在0,+)上递增,在(,0上递减,且f()=f()=0故由 可得 ,或 由可得 ,lgxlg,解得 0x由可得 ,lgxlg=lg2,解得x2综上可得,不等式的解集为x|0x,或 x2,故选C点评:本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用,解对数不等式,属于中档题9公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于( )A18B24C60D90考点:等差数列的前n项和;等差数列的通项公式 专题:计算题分析:由等比中项的定义可得a42=a
8、3a7,根据等差数列的通项公式及前n项和公式,列方程解出a1和d,进而求出s10解答:解:a4是a3与a7的等比中项,a42=a3a7,即(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),整理得2a1+3d=0,又,整理得2a1+7d=8,由联立,解得d=2,a1=3,故选:C点评:本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式和等比中项的定义,比较简单10函数f(x)=cosx,(x)的图象大致是( )ABCD考点:函数的图象 专题:函数的性质及应用分析:通过函数的奇偶性以及特殊值即可得到正确选项解答:解:x时,y=cosx是偶函数,并且y=cosx(0,1,函数f(x)=cosx,(x)是偶函数
9、,cosx(0,1时,f(x)0四个选项,只有C满足题意故选:C点评:本题考查函数的图象的判断,一般通过函数的定义域、值域单调性,奇偶性,变化趋势等知识解答11若a0,b0,且函数f(x)=4x3ax22bx在x=1处有极值,则ab的最大值等于( )A2B3C6D9考点:利用导数研究函数的极值 专题:计算题;导数的概念及应用分析:选求导,令导数为0,得a+b=6,用基本不等式求解解答:解:f(x)=12x22ax2b,函数f(x)=4x3ax22bx在x=1处有极值,f(1)=122a2b=0即a+b=6,则ab=9(当且仅当a=b=3时,等号成立)故选:D点评:本题考查了利用导数求极值的方法
10、,同时考查了基本不等式求最值12对实数a与b,定义新运算“”:ab=设函数f(x)=(x22)(x1),xR若函数y=f(x)c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是( )A(1,1(2,+)B(2,1(1,2C(,2)(1,2D2,1考点:函数与方程的综合运用 专题:函数的性质及应用分析:根据定义的运算法则化简函数f(x)=(x22)(x1),的解析式,并画出f(x)的图象,函数y=f(x)c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f(x),y=c图象的交点问题,结合图象求得实数c的取值范围解答:解:,函数f(x)=(x22)(x1)=,由图可知,当c(2,1(1,2函数f(x) 与y
11、=c的图象有两个公共点,c的取值范围是 (2,1(1,2,故选B点评:本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用,及数形结合的思想属于基础题二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填写在答题卡相应位置上)13函数f(x)=的定义域为(0,考点:对数函数的定义域 专题:函数的性质及应用分析:根据开偶次方被开方数要大于等于0,真数要大于0,得到不等式组,根据对数的单调性解出不等式的解集,得到结果解答:解:函数f(x)=要满足120,且x0,x0,x0,x0,0,故答案为:(0,点评:本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题,在解题时一般遇到,开偶次方时,被开方数要不小于0,
12、;真数要大于0;分母不等于0;0次方的底数不等于0,这种题目的运算量不大,是基础题14设函数f(x)在(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,则f(1)=2考点:导数的运算;函数的值 专题:计算题;压轴题;函数的性质及应用;导数的概念及应用分析:由题设知,可先用换元法求出f(x)的解析式,再求出它的导数,从而求出f(1)解答:解:函数f(x)在(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,令ex=t,则x=lnt,故有f(t)=lnt+t,即f(x)=lnx+x,f(x)=+1,故f(1)=1+1=2故答案为:2点评:本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式,属于基本题型,运算型15下面
13、是关于公差d0的等差数列(an)的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列;其中的真命题为p1,p4考点:命题的真假判断与应用 专题:推理和证明分析:对于p1,与p4的正确性要证明,对于p2与p3举个反例即可解答:解:d0,d=an+1an0,an+1an,数列an是递增数列,p1是真命题p2是假命题,如an=n9是公差d=10的等差数列,但nan不是递增数列同理可证p3也是假命题对于p4是真命题,an+1+3(n+1)d=4d,数列an+3nd是递增数列故答案应为:p1,p4点评:本题借助数列考查命题的判断,属于基
14、础题16古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,第n个三角形数为记第n个k边形数为N(n,k)(k3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数,正方形数N(n,4)=n2,五边形数,六边形数N(n,6)=2n2n,可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=1000考点:归纳推理 专题:计算题分析:观察已知式子的规律,并改写形式,归纳可得,把n=10,k=24代入可得答案解答:解:原已知式子可化为:,由归纳推理可得,故=1100100=1000故答案为:1000点评:本题考查归纳推理,观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键,属基
15、础题三、解答题:(本大题共5小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17设数列an满足:a1=1,an+1=3an,nN+()求an的通项公式及前n项和Sn;()已知bn是等差数列,Tn为前n项和,且b1=a2,b3=a1+a2+a3,求T20考点:等比数列的前n项和;等差数列的前n项和;等比数列的通项公式 专题:等差数列与等比数列分析:()可得数列an是首项为1,公比为3的等比数列,代入求和公式和通项公式可得答案;()可得b1=3,b3=13,进而可得其公差,代入求和公式可得答案解答:解:()由题意可得数列an是首项为1,公比为3的等比数列,故可得an=13n1=3n1,由求和
16、公式可得Sn=;()由题意可知b1=a2=3,b3=a1+a2+a3=1+3+9=13,设数列bn的公差为d,可得b3b1=10=2d,解得d=5故T20=203+=1010点评:本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式,属中档题18设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f(x),若函数y=f(x)的图象关于直线x=对称,且f(1)=0()求实数a,b的值()求函数f(x)的极值考点:利用导数研究函数的极值;二次函数的性质 专题:计算题分析:()先对f(x)求导,f(x)的导数为二次函数,由对称性可求得a,再由f(1)=0即可求出b()对f(x)求导,分别令f(x)大于0和小于0,
17、即可解出f(x)的单调区间,继而确定极值解答:解:()因f(x)=2x3+ax2+bx+1,故f(x)=6x2+2ax+b从而f(x)=6y=f(x)关于直线x=对称,从而由条件可知=,解得a=3又由于f(x)=0,即6+2a+b=0,解得b=12()由()知f(x)=2x3+3x212x+1f(x)=6x2+6x12=6(x1)(x+2)令f(x)=0,得x=1或x=2当x(,2)时,f(x)0,f(x)在(,2)上是增函数;当x(2,1)时,f(x)0,f(x)在(2,1)上是减函数;当x(1,+)时,f(x)0,f(x)在(1,+)上是增函数从而f(x)在x=2处取到极大值f(2)=21
18、,在x=1处取到极小值f(1)=6点评:本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值,考查运算能力19我县有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同甲家每张球台每小时5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2元小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15x40),在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15x40)试求f(x)和g(x);(2)问:小张选择哪家比较合算?为什么?考点:函数模型的选择
19、与应用 专题:应用题分析:(1)因为甲家每张球台每小时5元,故收费为f(x)与x成正比例即得:f(x)=5x,再利用分段函数的表达式的求法即可求得g(x)的表达式(2)欲想知道小张选择哪家比较合算,关键是看那一家收费低,故只要比较f(x) 与g(x)的函数的大小即可最后选择费用低的一家即可解答:解:(1)f(x)=5x,(15x40)(2)由f(x)=g(x)得或即x=18或x=10(舍)当15x18时,f(x)g(x)=5x900,f(x)g(x)即选甲家当x=18时,f(x)=g(x)即选甲家也可以选乙家当18x30时,f(x)g(x)=5x900,f(x)g(x)即选乙家当30x40时,
20、f(x)g(x)=5x(2x+30)=3x300,f(x)g(x)即选乙家综上所述:当15x18时,选甲家;当x=18时,选甲家也可以选乙家;当18x40时,选乙家点评:解决实际问题通常有四个步骤:(1)阅读理解,认真审题;(2)引进数学符号,建立数学模型;(3)利用数学的方法,得到数学结果;(4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型分段函数解题策略:分段函数模型的构造中,自变量取值的分界是关键点,只有合理的分类,正确的求解才能成功地解题但分类时要做到不重不漏20已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,nN*,数列bn满足an=4log2bn+3,nN*(1)求an,bn;
21、(2)求数列anbn的前n项和Tn考点:数列的求和;等差关系的确定;等比关系的确定 专题:等差数列与等比数列分析:()由Sn=2n2+n可得,当n=1时,可求a1=3,当n2时,由an=snsn1可求通项,进而可求bn()由()知,利用错位相减可求数列的和解答:解:()由Sn=2n2+n可得,当n=1时,a1=s1=3当n2时,an=snsn1=2n2+n2(n1)2(n1)=4n1而n=1,a1=41=3适合上式,故an=4n1,又an=4log2bn+3=4n1()由()知,2Tn=32+722+(4n5)2n1+(4n1)2n=(4n1)2n=(4n1)2n3+4(2n2)=(4n5)2
22、n+5点评:本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用,数列求和的错位相减求和方法的应用21已知函数f(x)=x2alnx(I)求f(x)的单调区间;()如果a0,讨论函数y=f(x)在区间(1,e)上零点的个数考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值 专题:计算题;分类讨论;导数的综合应用分析:()求出函数f(x)的导数,讨论a0,a0,令导数大于0,得增区间,令导数小于0,得减区间,注意定义域;()求出函数的导函数f(x),然后利用导数研究函数g(x)在区间(1,e)上的最小值,最后讨论最小值的符号,从而确定函数f(x)在区间(1,e)上的零点情况解答:解
23、:()函数f(x)=x2alnx的导数f(x)=2x=(x0),若a0,则f(x)0,即有f(x)在(0,+)上递增;若a0,由f(x)0得到x,由f(x)0得到0x,即有a0时,f(x)的增区间为(,+),减区间为(0,);()由()知f(x)的极小值为f()=(1ln),也为最小值当(1ln)0,即0a2e,f(x)的最小值大于0,则y=f(x)在区间(1,e)上无零点;当(1ln)=0,即a=2e,即有1e,而f(1)=10,f()=0,f(e)0,则f(x)在(1,e)上有一个零点;当(1ln)0,即a2e,即有1,若e1而f(1)=10,f()0,f(e)0,则f(x)在(1,e)上
24、有两个零点;若1,且e,则f(x)在(1,e)上有无零点综上,综上所述:当0a2e或a2e2时,函数f(x)无零点;a=2e时,函数f(x)有一个零点;当2ea2e2时,函数f(x)有两个零点点评:本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间,以及利用导数研究函数在闭区间上的最值,考查函数的零点个数的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意分类讨论思想的合理运用四、选做题请在22,23,24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分【选修4-1:几何证明选讲4】22选修41:几何证明选讲如图,已知圆上的,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点()证明:ACE=BCD;()若BE=9,CD=1,
25、求BC的长考点:圆的切线的性质定理的证明;相似三角形的判定 专题:证明题分析:(I)由同圆中等圆弧的性质可得ABC=BCD由弦切角定理可得ACE=ABC,即可得出证明(II)利用弦切角定理可得CDB=BCE,由相似三角形的判定定理可得BECCBD,由相似三角形的性质可得,即可求出BC解答:()证明:,ABC=BCD 又EC为圆的切线,ACE=ABC,ACE=BCD()EC为圆的切线,CDB=BCE,由()可得BCD=ABCBECCBD,BC2=CDEB=19=9,解得BC=3点评:熟练掌握同圆中等圆弧的性质、弦切角定理、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键【选修4-4:坐标系与参数方程】23
26、选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),曲线C2的参数方程为(为参数),P是C2上的点,线段OP的中点在C1上()求C1和C2的公共弦长;()在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求点P的一个极坐标考点:参数方程化成普通方程;极坐标刻画点的位置 专题:计算题分析:()先将曲线C1、C2化成一般方程,是两个圆的方程,得到两圆的公共弦所在直线为y=x,其中一个圆的圆(2,0)到该直线距离为,利用直角三角形求出公共弦长()将曲线C1、C2的直角坐标方程化成极坐标方程,设M(,),则P(2,),两点分别代入C1和C2解得极径和极角,从而得出点P的一个极坐
27、标解答:解:()曲线C1的一般方程为x2+(y2)2=4,曲线C2的一般方程为(x2)2+y2=4两圆的公共弦所在直线为y=x,(2,0)到该直线距离为,所以公共弦长为()曲线C1的极坐标方程为=4sin,曲线C2的极坐标方程为=4cos设M(,),则P(2,),两点分别代入C1和C2解得,不妨取锐角,所以点评:本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法,把直角坐标方程化为极坐标方程的方法,以及两圆位置关系的判断方法,求两圆的公共弦长等,属于基础题【选修4-5:不等式选讲】24已知f(x)=|2x1|+ax5(a是常数,aR)当a=1时求不等式f(x)0的解集如果函数y=f(x)恰有两个不同的零
28、点,求a的取值范围考点:函数零点的判定定理;带绝对值的函数 专题:计算题分析:当a=1时,f(x)=,把和 的解集取并集,即得所求由f(x)=0得|2x1|=ax+5,作出y=|2x1|和y=ax+5 的图象,观察可以知道,当2a2时,这两个函数的图象有两个不同的交点,由此得到a的取值范围解答:解:当a=1时,f(x)=|2x1|+x5=由解得x2; 由 解得x4f(x)0的解为x|x2或x4由f(x)=0得|2x1|=ax+5作出y=|2x1|和y=ax+5 的图象,观察可以知道,当2a2时,这两个函数的图象有两个不同的交点,函数y=f(x)有两个不同的零点故a的取值范围是(2,2)点评:本题考查函数零点的判定定理,带有绝对值的函数,体现了转化的数学思想,属于基础题高考资源网版权所有,侵权必究!