1、第二部分 讲练篇 专题三 概率与统计第1讲 概率、随机变量及其分布自 主 练 考 点 整 合 做小题激活思维1若随机变量X的分布列如表所示，E(X)1.6，则ab()X0123 P0.1ab0.1A0.2 B0.2C0.8D0.8B 由0.1ab0.11，得ab0.8，又由E(X)00.11a2b30.11.6，得a2b1.3，解得a0.3，b0.5，则ab0.2.2已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为()A0.6B0.7C0.8D0.9C 记“第一个路口遇到红灯”为
2、事件A，“第二个路口遇到红灯”为事件B，则P(A)0.5，P(AB)0.4，则P(B|A)PABPA0.8，故选C.3两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23 和 34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.12B.512C.14D.16B 设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，且A，B相互独立，则P(A)23，P(B)34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)23134 123 34 512.4设随机变量XB(2，p)，YB(4，p)，若P(X1)
3、59，则P(Y1)()A.12 B.1681 C.6581 D1C XB(2，p)，P(X1)1P(X0)1C 02(1p)259，解得p13，P(Y1)1P(Y0)1C04(1p)4116816581，故选C.5罐中有6个红球和4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为_2425 因为是有放回地取球，所以每次取球(试验)取得红球(成功)的概率均为35，连续取4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则XB4，35，D(X)435135 2425.6已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其
4、长度误差落在区间(3,6)内的概率为_(附：若随机变量X服从正态分布N(，2)，则P(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5)0.135 9 依题意设XN(0,32)，其中0，3，P(3X3)0.682 7，P(6X6)0.954 5.P(3X6)12P(6X6)P(3X3)12(0.954 50.682 7)0.135 9.扣要点查缺补漏1离散型随机变量的分布列的两个性质(1)pi0(i1,2，n)；(2)p1p2pn1.如T1.2变量的数学期望、方差(1)E()x1p1x2p2xnpn.如T1.(2)D()x1E()2p1x2E()2p2xnE()2pn，标准差为 D.3期望、方差
5、的性质(1)E(ab)aE()b，D(ab)a2D()；(2)若B(n，p)，则E()np，D()np(1p)(3)X服从两点分布，则E()p，D()p(1p)4常见概率的求法(1)条件概率：在 A 发生的条件下 B 发生的概率 P(B|A)PABPA，如 T2.(2)相互独立事件同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B)，如 T3.(3)在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率：P(k)Cknpkqnk，(k0,1,2，n，q1p)，如 T4.(4)超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(Xk)CkMCnkNMCnN，k0,
6、1,2，m，其中 mminM，n，且 nN，MN，n，M，NN*.(5)正态分布：若 XN(，2)，则正态曲线关于直线 x 对称，常借助图象的对称性求随机变量落在某一范围内的概率，如 T6.研 考 题 举 题 固 法 条件概率、相互独立事件及二项分布(5年5考)高考解读 高考对该点的考查可以单独考查也可以与概率统计综合考查，注重双基，属基础性题目.解答的关键是分清事件间的关系，套用相应概率公式求解.预测2020年命题风格不变.1(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)2.4，P(X4)P(X6)
7、，则p()A0.7 B0.6 C0.4 D0.3B 由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的人数X概率分布符合二项分布，所以D(X)10p(1p)2.4，所以p0.6或p0.4.由P(X4)P(X6)，得C410p4(1p)6C610p6(1p)4，即(1p)2p2，所以p0.5，所以p0.6.2(2019全国卷)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成1010平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立，在某局双方1010平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结
8、束(1)求P(X2)；(2)求事件“X4且甲获胜”的概率解(1)X2就是1010平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此P(X2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5.(2)X4且甲获胜，就是某局双方1010平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5(10.4)(10.5)0.40.50.40.1.求相互独立事件和独立重复试验的概率的方法(1)直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解对于“至
9、少”“至多”等问题往往也用这种方法求解提醒：解决条件概率的关键是明确“既定条件”，即在“谁发生的条件下，求谁的概率”1(条件概率)(2019长沙模拟)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未损坏，则这个元件使用寿命超过2年的概率为()A0.75B0.6C0.52D0.48A 设一个这种元件使用到1年时还未损坏为事件A，使用到2年时还未损坏为事件B，则由题意知P(AB)0.6，P(A)0.8，则这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)PABPA 0.60.80.75，故选A.2(二项分布)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命
10、追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：使用时间/天10202130314041505160 个数1040805020若将频率视作概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为()A.1316 B.2764 C.2532 D.2732D 由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为 80502020034，则所求概率为C2334214C333432732.3(相互独立事件的概率)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响则3人中至少有1人被选中的概率为_910 3人都未被选中的概率
11、为P125 134 113 110，故3人中至少有1人被选中的概率为1 110 910.随机变量的分布列、均值、方差(5年6考)高考解读 高考对该点的考查常以生产、生活实际为背景，考查考生从题干中提取信息建立数学模型，并应用期望或方差对实际问题作出决策的能力.预测2020年会加强对该点的考查.(2018全国卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1)，且各件产品是否为不合格品相互独立(1)记20件产
12、品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？切入点：借助独立重复试验的概率公式建立概率函数f(p)，并用导数求f(p)的最大值点P0.解(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)C220p2(1p)18.因此f(p)C 220 2p
13、(1p)1818p2(1p)172C 220 p(1p)17(110p)令f(p)0，得p0.1.当p(0,0.1)时，f(p)0；当p(0.1,1)时，f(p)0.所以f(p)的最大值点为p00.1.(2)由(1)知，p0.1.令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知YB(180,0.1)，X20225Y，即X4025Y.所以E(X)E(4025Y)4025E(Y)490.如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元 由于E(X)400，故应该对余下的产品作检验解决分布列、期望、方差问题的3关(1)判断关：即依据题意判断随机变量的取值及判断所求分布列的类型(2)概
14、率关：即依据事件间的相互关系，结合相应的概率公式求出每个随机变量取值的概率(3)决策关：即借助分布列，计算随机变量的数学期望，并结合实际问题作出合理决策1(以统计图表为背景)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷为调查某款订餐软件的商家的服务情况，统计了10次订餐“送达时间”(时间：分钟)，得到茎叶图如下：(1)请计算“送达时间”的平均数与方差；(2)根据茎叶图，求A，B，C，D的值；送达时间35分钟以内(包括35分钟)超过35分钟频数AB频率CD(3)在(2)的情况下，以频率代替概率，现有3个客户应用此软件订餐，求在35分钟以内(包括35分钟)收到餐品的人数X的分布列，
15、并求出数学期望解(1)“送达时间”的平均数为 282932343435363841431035(分钟)，方差为 7262321212021232628210 20.6.(2)A6，B4，C0.6，D0.4.(3)由已知，人数X的可能取值为0,1,2,3，P(X0)C030.600.430.064；P(X1)C130.610.420.288；P(X2)C230.620.410.432；P(X3)C330.630.400.216.所以随机变量X的分布列为 X0123 P0.064 0.288 0.432 0.216 X服从二项分布B(3,0.6)，E(X)30.61.8.2(函数与概率统计的交汇)
16、某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n(nN*)份血液样本，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验n次；(2)混合检验，将其中k(kN*且k2)份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果为阴性，这k份血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0p1)(1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性
17、样本全部检验出来的概率；(2)现取其中k(kN*且k2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2.试运用概率统计的知识，若 E1E2，试求 p 关于 k 的函数关系式 pf(k)；若 p1 13 e，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求 k 的最大值参考数据：ln 20.693 1，ln 31.098 6，ln 41.386 3，ln 51.609 4，ln 61.791 8.解(1)pC12C13A23A22A5535.恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为35.(2)由已
18、知得E1k，2的所有可能取值为1，k1.P(21)(1p)k，P(2k1)1(1p)k，E2(1p)k(k1)1(1p)kk1k(1p)k.若E1E2，则kk1k(1p)k，k(1p)k1，(1p)k1k，1p1k1k，p11k1k.p关于k的函数关系式p11k1k(kN*且k2)由题意可知 E2E1，得1k(1p)k，p1 13 e，1k13 ek，ln k13k，设 f(x)ln x13x(x0)，则 f(x)3x3x，当 x3 时，f(x)0，即 f(x)在(3，)上单调递减，又ln 41.386 3,431.333 3，ln 443，ln 51.609 4，531.666 7，ln 5
19、53.k的最大值为4.样本的均值、方差与正态分布的综合(5年2考)高考解读 正态分布可与二项分布、控制生产线结合，很受命题者的青睐，主要考查3区间与对称性；考查正态分布的题目，要重视题后数据的利用，题后数据作用：提供方向(计算)与目标；切勿掉入题后数据误导的陷阱(2017全国卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(，2)(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；(2)一天内
20、抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查试说明上述监控生产过程方法的合理性；下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.9810.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.0410.05 9.95经计算得，其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸，i1,2，16.用样本平均数x作为 的估计值，用样本标准差 s 作为 的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3，3)之外的数据，用剩下的数据估计
21、 和(精确到 0.01)附：若随机变量 Z 服从正态分布 N(，2)，则 P(3Z3)0.997 4,0.997 4160.959 2，0.0080.09.解(1)抽取的一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(3，3)之外的概率为 0.002 6，故XB(16,0.002 6)因此 P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8.X 的数学期望 E(X)160.002 60.041 6.(2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有 0.002 6，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有 0.040 8，
22、发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的 由 x9.97，s0.212，得 的估计值为9.97，的估计值为0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(3，3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查 剔除(3，3)之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为 115(169.979.22)10.02.因此 的估计值为 10.02.x2i160.2122169.9721 591.134，剔除(3，3)之外的数据 9.22，剩下数据的样本方差为 115(1 591.1349.222
23、1510.022)0.008，因此 的估计值为 0.0080.09.解决正态分布问题有4个关键点(1)对称轴x；(2)标准差；(3)分布区间利用对称性求指定范围内的概率值，由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从而求出所求概率；(4)曲线与x轴之间面积为1.(与频率分布直方图交汇)某质检部门从某烤鳗鱼有限公司生产的某批次的烤鳗鱼中随机抽取200箱，检测这些产品的某项质量指标值(记为Z)，由检测结果得到如下图所示的频率分布直方图(1)质检部门规定，当 Z95 时，产品为合格品；当 Z95 时，产品为不合格品该公司每生产一箱这种产品，若是合格品，则盈利90 元；若是不合格品，则亏
24、损 30 元记 Y 为生产一箱这种产品的利润，求 Y 的分布列和 E(Y)；(2)由频率分布直方图可以认为，Z 服从正态分布 N(，2)，其中 近似为样本平均数 x，2 近似为样本方差 s2(同一组中的数据用所在区间的中点值作代表)利用该正态分布，求P(75.6Z124.4)；某客户从该公司购买了500箱这种产品，记X表示这500箱产品中该质量指标值位于(75.6,124.4)上的产品箱数，利用的结果，求X的期望与方差附：15012.2，若ZN(，2)，则P(Z)0.682 7，P(2Z2)0.954 5，P(3Z3)0.997 3.解(1)由频率估计概率，产品为合格品的概率为(0.0330.
25、0240.0080.002)100.67，为不合格品的概率为 10.670.33.所以随机变量 Y 的分布列为 Y9030 P0.670.33 所以 E(Y)900.67(30)0.3350.4.(2)由频率分布直方图知，抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x700.02800.09900.221000.331100.241200.081300.02100，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.22020.331020.242020.083020.02150，所以ZN(100,150)因为 ZN(100,150)，所 以P(75.6 Z124.4)P(100 12.22 Z100 12.22)0.954 5.由可知，一箱产品中该质量指标值位于(75.6,124.4)上的概率为 0.954 5，依题意知 XB(500,0.954 5)，所以 E(X)5000.954 5477.25，D(X)5000.954 5(10.954 5)21.7.Thank you for watching!
