1、河北省张家口市宣化区宣化第一中学2021届高三数学9月月考试题一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】直接根据复数代数形式的除法法则计算可得；【详解】解：故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，属于基础题.2. 已知集合，则（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，然后再求集合A，B的交集即可【详解】解：集合或，故选：B【点睛】此题集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题3. 已知抛物线，则焦点到准线的距离是（ ）A. B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】化简抛物线的方程，
2、求得，所以焦点到准线的距离，得到答案.【详解】由题意，抛物线，即，解得，所以焦点到准线的距离是，故选A.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质的应用，其中熟记抛物线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4. 设，则（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断可得;详解】解：，所以，故选：C【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.5. 某学校组织高一和高二两个年级的同学，开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动，利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动.现有来自
3、高一年级的4名同学，其中男生2名、女生2名；高二年级的5名同学，其中男生3名、女生2名.现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生，则选出的4名同学中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对这两名男生来自高一或高二两种情况讨论，当男生来自高一时，同时任选2名女生，有种方法，当男生来自高二时，有种方法，并求概率.【详解】当两名男生来自高一年级，当两名男生来自高二， ,故选D.【点睛】本题考查了古典概型的概率，难度不大，关键是能正确分类.6. 函数的部分图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数的性质，和特
4、殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】，函数是奇函数，排除，时，时，排除，当时， 时，排除，符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.7. 九章算术是我国最重要的数学典书，曾被列为对数学发展影响最大的七部世界名著之一.其中的“竹九节“问题，题意是：有一根竹子，共九节，各节的容积依次成等差数列，已知较粗的下3节共容4升，较瘦的上4节共容3升.根据上述条件，请问各节容积的总和是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先用和表示已知条件，建立方程，最后代入前项和
5、计算方法.【详解】设首项，公差 即 ， ， ，.【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，考查逻辑推理和计算能力，属于基础题型.8. 已知（1）（1+x）6的展开式中各项系数的和为128，则该展开式中x2的系数为（ ）A. 15B. 21C. 30D. 35【答案】B【解析】【分析】把所给的式子按照二项式定理展开，可得展开式中的系数【详解】解：由题意得，故展开式中的系数为，故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题9. 在以BC为斜边的直角ABC中，则（ ）A. 3B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据向量加法和减法转化，然后根据
6、数量积的运算公式计算.【详解】 故选C.【点睛】本题考查了向量加减法，以及数量积的运算，意在考查向量转化和计算的问题，属于基础题型.10. 在长方体中，点为棱上的点，且，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在上取点，使得，连接，可得，得到异面直线与所成角就是相交直线与所成的角，在中，利用余弦定理和三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】在长方体中，点为棱上的点，且，如图所示，在上取点，使得，连接，可得，所以异面直线与所成角就是相交直线与所成的角，设，又由在直角中，所以，在直角中，所以，在中，由余弦定理可得,所以所以异面直线与所成角的正弦值，故选B
7、.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了空间向量能力，以及推理与计算能力，属于基础题.11. 将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得各点向右平移个单位长度，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的2倍，就得到函数f（x）的图象，则下列说法中正确的个数是（ ）函数f（x）的最小正周期为2；函数f（x）的最大值为2；函数f（x）图象的对称轴方程为；设x1，x2为方程的两个不相等的根，则的最小值为.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据函数的图象变换，得到函数 ，然后
8、根据函数性质依次判断，得到正确结论.【详解】，图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到的函数是，所得各点向右平移个单位长度后得到的函数是，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的2倍后得到的函数是，函数的最小正周期是，所以正确；函数的最大值是，所以不正确；令,所以不正确；，解得，解得，解得，即 或 ，则的最小值是，所以不正确.故选A.【点睛】本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或.12. 已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A
9、在第一象限）设点H，G分别为AF1F2，BF1F2的内心，则|HG|的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用平面几何和内心的性质，可知的横坐标都是，得到轴，设直线的倾斜角为，和分别表示和，根据，将表示为的三角函数求最值.【详解】内切圆与各边相切于点，有的横坐标相等， ，在双曲线上，即是双曲线的顶点， 与双曲线相切于顶点（如图）的横坐标都是，设直线的倾斜角为 ，那么 , 中， 双曲线 ， ，可得 ，的范围是 故选D.【点睛】本题考查了双曲线方程，几何性质，以及三角形内心的性质，并且考查了三角函数的化简和求最值，意在考查数形结合，转化与化归，和逻辑推理，计算能力，属
10、于难题，本题的关键1.根据几何性质确定的横坐标都是，2.设倾斜角为，将表示为的三角函数.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 曲线在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】首先求和，代入.【详解】， ，切线方程为.故填：【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.14. 在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标XN（100，100），且的产品数量为5436件，请估计该批次检测的产品数量是_件.参考数据，若，则，.【答案】40000【解析】【分析】首先根据条件判断，可知，根据条件求得概率，最后再计算样本总量.【详解】可知 ,又（件）.故填：40000.【点睛】本题考查了
11、正态分布应用的实际问题，计算正态分布下的概率时，需充分应用曲线关于对称，对称轴两侧的概率均为.15. 已知等比数列an，an0，nN*，且2a1+3a233，则a2020_【答案】32020【解析】【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【详解】解：由题意设数列公比为，由题意有，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的基本量的计算，属于基础题16. 在四面体ABCD中，二面角D-AC-B的大小为120，则此四面体的外接球的表面积是_.【答案】【解析】【分析】取的中点，和的中心，点是外接圆的圆心，点是外接圆的圆心，过点分别作平面和平面的垂线，交于点，在四边形中找几何关系，构造方程求
12、解外接圆的半径和表面积.【详解】由条件可知是等边三角形，取的中点，和的中心，过点分别作平面和平面的垂线，交于点，如图：由条件可知， ， ，【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为，那么外接球的直径，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立的方程.（3）而本题类型，需要过两个平面外接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心.三、解答题（本大题共7小题，共82分）17. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求cosA的值；（2
13、）若，求a的最小值.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化公式，转化为，再根据两角和的正弦公式化简，最后求的值；（2）根据基本不等式求得，再代入余弦定理并化简为，最后求得的最小值.【详解】（1）由已知及正弦定理，得， 即，且，所以. （2）由，可得，则，解得，当且仅当时，等号成立 由余弦定理可得， 所以a的最小值为.【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，意在考查三角函数恒等变形，以及正余弦定理的变形和应用，尤其记住公式，代入后转化为三角函数的问题，和余弦定理中常用变形：.18. 某市一所高中为备战即将举行的全市羽毛球比赛，学校决定组织甲、乙两队进行羽毛球对抗赛实战
14、训练每队四名运动员，并统计了以往多次比赛成绩，按由高到低进行排序分别为第一名、第二名、第三名、第四名.比赛规则为甲、乙两队同名次的运动员进行对抗，每场对抗赛都互不影响，当甲、乙两队的四名队员都进行一次对抗赛后称为一个轮次按以往多次比赛统计的结果，甲、乙两队同名次进行对抗时，甲队队员获胜的概率分别为，.（1）进行一个轮次对抗赛后一共有多少种对抗结果？（2）计分规则为每次对抗赛获胜一方所在的队得1分，失败一方所在的队得0分，设进行一个轮次对抗赛后甲队所得分数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）16种；（2）见解析，【解析】【分析】（1）每个同名次的对抗有2种结果，共有4个名次的对抗，所以有
15、种结果；（2）由条件可知共5种情况，分别计算概率得到分布列和数学期望.【详解】（1）由于甲、乙两队的四名队员每进行一次对抗赛都会有2种情况产生，所以一共有（种） （2）X的可能取值分别为4，3，2，1，0，则 ； ； ； X的分布列为X43210P.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，意在考查分析数据，解决问题的能力，本题的难点是求分布列中的概率时，需分类准确，不要漏掉某一类.19. 如图1，在等腰梯形ABCD中，E为AD的中点.现分别沿BE，EC将ABE 和ECD折起，使得平面ABE平面BCE，平面ECD平面BCE，连接AD，如图2.（1）若在平面BCE内存在点G，使得GD平面ABE，请
16、问点G的轨迹是什么图形？并说明理由.（2）求平面AED与平面BCE所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)点G的轨迹是直线MN，见解析；(2)【解析】【分析】（1）分别取和的中点和，连接，根据线线平行可证明平面平面,则可判断点的轨迹；（2）以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，代入公式求解.【详解】（1）点G的轨迹是直线MN.理由：如图，分别取BC和CE的中点N和M，连接DM，MN，ND，则MN/BE.又MN平面BEA，BE平面BEA，所以MN/平面BEA. 依题意有ABE，BCE，ECD均为边长为2的正三角形，所以MDCE.又平面E
17、CD平面BCE，则MD平面BCE.又平面ABE平面BCE，所以MD/平面BEA.所以平面NMD/平面BEA，则点G的轨迹是直线MN. （2）如图，以点M为坐标原点，MB所在直线为x轴，MC所在直线为y轴，MD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则E（0，-1，0），D（0，0，），A，所以，. 设平面AED的法向量为，则取，得. 取平面BCE的一个法向量为， 则， 所以平面AED与平面BCE所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了面面平行的判断定理，以及二面角的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利
18、用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.20. 已如椭圆C：的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为4的等腰直角三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设动直线l交椭圆C于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k，k.若，求证OPQ的面积为定值，并求此定值.【答案】（1）；（2）OPQ的面积为定值，且此定值为，见解析【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形可知，根据求解椭圆方程；（2）当与轴垂直时，设，代入和椭圆方程，得到面积，当与轴不垂直时，设直线l的方程为，联立方程，得到根与系数的关系，并表示面积，得到面积是定值.【详解】（1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2
19、.依题查，有得，则，所以椭圆C的标准方程为. （2）证明：当直线1与x轴垂直时，设直线l的方程为，.由，且，解得，或，所以. 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为，.联立直线l和椭圆C的方程，得整理得.，. 由，则，即，所以，即，整理得，则. 又，点O到直线PQ的距离为，所以.综上，OPQ的面积为定值，且此定值为.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积定值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.21. 已知函数（1）当时，讨论函数的零点个数，（2）当时，证明不等式恒成立【答
20、案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数对函数求导，判断函数的单调性，求出函数的最值，进而求解；（2）证明不等式恒成立可转化为证明恒成立，进而求解；【详解】解：（1），令，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，即函数在上单调递增，且，所以此时有且只有一个零点，（2）证明：设，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，则，有所以证明不等式恒成立可转化为证明恒成立，即证明恒成立，由（1）知，当时，恒成立，即不等式恒成立【点睛】（1）考查函数的求导，一阶导，二阶导，判断函数的增减，进而判断零点；（2）考查恒成立问题的转化，将要证明的问题转化为新问题，进而求解
21、；22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程，（2）设直线与曲线相交于不同的两点，求的取值范围.【答案】(1) . (2) 【解析】【分析】（1）利用三角函数的基本关系式消去参数，即可求得曲线C的普通方程，代入极坐标与直角坐标的互化公式，代入即可求解曲线C的极坐标方程.（2）将代人曲线的极坐标方程，根据极径的几何意义，即可求解.【详解】（1）将曲线的参数方程消去参数，得.将及代入上式，得.（2）依题意有.将代人曲线的极坐标方程，得.设，则.所以.因为，所以，则，所以的取值范围为.【点睛】本
22、题主要考查了参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23. 函数的最小值为.（1）求的值，（2）若，且，求的最小值【答案】(1) . (2) 【解析】【分析】（1）由题意，去掉绝对值，得到分段函数，即可求得函数的最小值，得到答案.（2）由（1）知，则，利用基本不等式，即可求得的最小值，得到答案.【详解】（1）由题意，函数当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值；当时，函数的最小值为，所以函数的最小值为，即.（2）由（1）知，则，则，当且仅当且时，即时取等号，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的应用，以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中合理去掉绝对值得到分段函数，以及准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
