1、第一章 数列 4 数列在日常经济生活中的应用课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.掌握单利、复利的概念(重点)2.掌握零存整取、定期自动转存、分期付款三种模型及应用(重点)3.掌握数列在日常经济生活中的应用(难点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知数列在日常经济生活中的应用阅读教材 P32P34 例 3 以上部分，完成下列问题：(1)三种常见的应用模型零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)本利和课时分层作业当堂达标固双
2、基自主预习探新知合作探究攻重难返首页定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存例如，储户某日存入一笔存期为 1 年的存款，1 年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第 2 年的本金就是第 1 年的分期付款：分期付款是购物的一种付款方式即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清本利和课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)常用公式复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为 P 元，每期利率为 r，存期为n，则本利和 S.产值模型：原来产值的基础数为 N，平均增长率为 r，对于时间 x 的总产值 y.单利公式：利息按单利计算，本金为 P 元
3、，每期利率为 r，存期为 n，则本利和为 SP(1nr)P(1r)nN(1r)x课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考：(1)数学中常见的定期存款利率计算方法有哪些？提示 单利和复利两种方法(2)建立数学模型的关键是什么？提示 正确选取变量，并准确建立变量之间的数量关系课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1判断正误(1)在银行取款时，取到的本息是指存款得到的利息()(2)定期自动转存模型是等差数列()(3)在分期付款中，各期所付款及各期所付款所生成的利息之和等于商品的售价()解析(1)不正确，本息指本金与利息的和；(2)不正确，定期自动
4、转存的模型不是等差数列；(3)不正确，分期付款的本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取到贷款全部还清时，贷款本利合计还款本利合计答案(1)(2)(3)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2过圆x2y210 x内一点(5,3)有k条弦的长度组成等差数列，且最短弦长为首项a1，最长弦长为末项ak，若公差d13，12，则k的取值不可能是()【导学号：91022111】A4 B5C6D7A x2y210 x化简得(x5)2y225过点(5,3)的最短弦长为8，最长弦长为10，则题意d108k1 2k113，12，5k7.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重
5、难返首页3阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年后共得本息和为_万元(精确到0.001)解析 10年后的本息：a105(10.022 5)106.246(万元)答案 6.246课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难等差数列模型 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？【导学号：9102
6、2112】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列an则a1501 0001%60，a250(1 00050)1%59.5，a350(1 000502)1%59，a450(1 000503)1%58.5，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页所以an501 00050(n1)1%6012(n1)(1n20，nN)所以an是以60为首项，12为公差的等差数列所以a106091255.5.所以第10个月应付55.5(万元)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知
7、合作探究攻重难返首页a2060191250.5.所以S2012(a1a20)2010(6050.5)1 105.所以实际共付1 1051501 255(万元)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1按单利计算公式单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息本金利率存期2按单利分期付款问题的三个关键问题(1)规定多少时间内付清全部款额(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同(3)规定多长时间段结算一次利息，及在规定时间段内利息的计算公式课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1某人从1月
8、起每月第一天存入100元，到12月最后一天取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按单利计算，那么实际取出多少钱？课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 实际取出的钱等于：本金利息到12月最后一天取款时：第一个月存款利息：100120.165%，第二个月存款利息：100110.165%，第11个月存款利息：10020.165%，第12个月存款利息：10010.165%，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页所以S12100120.165%100110.165%10020.165%10010.165%1000.165%(12312)1000.1
9、65%1213212.87.所以实际取出1001212.871 212.87(元)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页等比数列模型 某大学张教授年初向银行贷款20万元用于购房，银行贷款的年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)若这笔款要分10次等额还清，每年年初还一次，并且在贷款后次年年初开始归还，问：每年应还多少万元？(参考数据1.1102.594)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 设每年还款x万元，则每年还款后的余额为：第一年：20(110%)x，第二年：(201.1x)1.1x201.12(1.11)x，第三年：2
10、01.12(1.11)x1.1x201.13(1.121.11)x，第n年：201.1n(1.1n11.1n21.11)xan201.1n1.1n11.11 x201.1n1.1n10.1x，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页十年还清，即十年以后余额为零，故201.1101.11010.1x0，x201.1101.11010.13.255(万元)故如果10年还清，每年应还3.255万元课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1复利问题的计算方法复利问题可以转化为等比数列问题，第n年的本息本金(1利率)n.2解决等比数列应用题的关键(1)认
11、真审题抓特点，仔细观察找规律(2)等比数列的特点是增加或减少的百分数相同(3)分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考查课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2018年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2028年年初将所有存款和利息全部取出，一共可以取回多少钱？【导学号：91022113】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 设从2018年年初到2028年年初每年存入a元的本利和组成数列an(1n10)则a1a(1p)10，a2a(1p)9，a10a(1p)，故数
12、列an(1n10)是以a1a(1p)10为首项，q11p 为公比的等比数列课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页所以2028年初这个家庭应取出的钱数为S10a1p10111p101 11pap(1p)11(1p)(元)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页分期付款问题 探究问题1复利与单利的区别是什么？提示(1)复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息(2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探
13、究攻重难返首页2小明存入1万元定期存款，存期5年，年利率为2%，若按单利计算，5年后共获得本息和为多少元？若按复利计算，5年后共获得本息和多少元？提示 按单利计算：5年后共获(152%)1.1万元；按复利计算：5年后共获(12%)51.104万元课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3在实际问题中，涉及一组与顺序有关的数的问题时，应考虑用什么方法解决？解决此问题的关键是什么？提示 在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑用数列方法解决，在利用数列方法解决实际问题时的关键是分清首项、项数等问题课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 某企业进
14、行技术改造，有两种方案：甲方案，一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案，每年贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？(计算数据精确到千元，1.1102.594,1.31013.786)思路探究 分清两种方案分别属于什么数列模型，然后分别建立不同数列模型解决课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 方案甲：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为130%，前10项和为S101(130%)
15、(130%)2(130%)9，所以S101.31011.31 42.62(万元)又贷款本息总数为10(110%)10101.11025.94(万元)，甲方案净获利42.6225.9416.7(万元)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为12，前10项和为T101112 1212 191210112 1232.50(万元)，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页而贷款本息总数为1.11(110%)(110%)91.11.11011.11 17.53(万元)，乙方案净获利32.5017.5315.0(万元)比较两方
16、案可得甲方案获利较多课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页母题探究：1.(变条件)在例3中，若该企业还有两种技术改造的方案，丙方案：一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年比上一年增加25%的利润，丁方案：一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加利润1.5万元，两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息，两种方案均按年息2%的复利计算(参考数据：1.2597.45,1.25109.3,1.0291.20,1.02101.22)，试比较两种方案，哪种方案净获利更多？课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页
17、解方案丙：由题意知，每年的利润an成等比数列，且a14，公比q125%1.25，n10，收入S丙411.251011.2549.310.25132.8(万元)净获利W丙132.840(12%)10132.848.884(万元)，方案丁：由题意，每年的利润记为数列bn，它是等差数列，且b13，公差为1.5，n10，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页收入S丁103121091.53067.597.5(万元)净获利：W丁97.520(12%)1097.524.473.1(万元)所以方案丙净获利更多课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页母题探究：2.(变
18、结论)在例3中，设甲方案可贷款n年，按此方案技术改造第n年的累计净获利能够超过100万元，求n的最小值(参考数据：1.31439.374,1.31551.186,1.1143.798,1.1154.178)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解 设按照甲方案进行技术改造，n年的累计净获利超过100万元，由题意知，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为130%，前n项和为Sn1(130%)(130%)2(130%)n1 1.3n11.31 103(1.3n1)，又贷款本息总数为10(110%)n101.1n，则甲方案的净获利为103(1.3n1)101.1n，课时分层作
19、业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页由题意知103(1.3n1)101.1n100，经验证，当n14时，103(1.3141)101.114103(39.3741)103.798127.91337.9889.933100，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当n15时，103(1.3151)101.115103(51.1861)104.178167.28741.78125.507100，所以n的最小值为15.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 1等差、等比数列的应用题常见问题：产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长
20、率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题2将实际问题转化为数列问题时应注意：(1)分清是等差数列还是等比数列(2)分清是求an，还是求Sn，特别要准确确定项数n.(3)递推关系的发现是数列建模的重要方式课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，例如(1 101)2表示二进制的数，将它转换为十进制的形式是12312202112013，那么将二进制数(11 111 111)2转换为十进制的形式是()【导学号：91022114】A292 B281C282D271课时分层作业当
21、堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页B(11 111 111)2转换为十进制的形式为127126125124123122121120 112812281.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成本是()Aa(1q%)3Ba(1q%)3Ca1q%3Da1q%3C 设现在的成本为x，则x(1q%)3a，故xa1q%3.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3一个多边形的周长等于158 cm，所有各边的长成等差数列，最大边的长等于44 cm，公差等于3 cm，则该多边形的边数为_课时分层作
22、业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解析 依题意有：44nnn12(3)158，化简后为3n291n3160.分解因式得(3n79)(n4)0，因为n是整数，所以n4，即该多边形为4边形答案 4课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升.【导学号：91022115】课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解析 设该等差数列的公差为d，则4a16d3,3a121d4，解得a11322，d 766，所以a5a
23、14d13224 7666766.答案 6766课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5某人年初向银行贷款10万元用于购房(1)如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还(不计复利)，每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(2)如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解(1)若向建设银行贷款，设每年还款x元，则105(1105%)x(195%)x(185%)x(175%)x，即：1051.5
24、10 x450.05x，解得x1051.510450.0512 245(元)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)若向工商银行贷款，每年需还y元，则：105(14%)10y(14%)9y(14%)8y(14%)y，即1051.04101.041011.041 y，其中：1.04101100.04450.0421200.0432100.0441.4802，所以y1051.480 20.040.480 212 330(元)答：向建设银行贷款，每年应还12 245元；若向工商银行贷款，每年应还12 330元课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十）点击上面图标进入 谢谢观看
