1、10.2 排列组合及应用 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 10.2 排列组合及应用双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理排列与排列数 组合与组合数 定义 1.排列：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，_排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2.排列数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.1.组合：从n个不同元素中取出m(mn)个元素_，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2.组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数按照一定的顺序并成一组排列与
2、排列数 组合与组合数 公式 排列数公式_ 组合数公式_ n(n1)(n2)(nm1)AmnCmnAmnAmmnn1nm1m！n！m！nm！n！nm！排列与排列数 组合与组合数 性质 备注 n、mN*且mn.(1)Ann_(2)0！_n！1(1)C0n_(2)Cmn _(3)Cmn Cm1n_1CnmnCmn1思考感悟1元素相同的排列是否为相同的排列？提示：排列的一个重要特征，是每一个排列不仅与所选取的元素有关，而且与这些元素排列的顺序有关，选取的元素不同或元素的排列顺序不同，都是不同的排列2排列与排列数、组合与组合数各有什么区别、排列与组合有什么联系？提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是
3、一个具体排法，不是数，而排列数是所有排列的个数组合与组合数也是两个不同的概念，组合是指“从n个不同元素中取出m个元素并成一组”，它不是一个数，组合数是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数”，它是一个数组合是排列的第一步，即排列问题可看作先把所需要的元素取出来再按一定顺序排列 1(教材例3改编)空间中有10个点，任何四点不共面，共可组成四面体的个数为()A5040 B2520C210 D120答案：C课前热身答案：C2从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人，作为班干部，其中恰有一名女生的选法共有()AA47BA44CC34C13A44DC47答案：D312 名同学合影，站成了前排
4、 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()AC28A23BC28A66CC28A26DC28A254乘积m(m1)(m2)(m20)表示为排列数的形式为_答案：A21m205已知 1Cm5 1Cm6710Cm7，则 Cm8 _.答案：28考点探究挑战高考 考点突破 排列数、组合数公式及性质的应用 利用排列数公式和组合数公式进行计算、证明时，要正确地选用公式，同时注意 Amn、Cmn 中 mn 这个隐含条件【思路分析】分别按排列数、组合数公式及性质计算判定下列有关排列数、组合数计算正确的有_(1)Cmn Amnn！.(
5、2)(n2)(n1)Amn Am2n2.(3)C23C24C25C2100C3101.(4)Cn22n1C2n1n1 是一个常数例1【解析】(1)错，Amn Cmn m！；(2)正确；(3)错应为 C31011；(4)正确，由组合数定义可得0n22n1 02n1n1 由得 n2，由得12n2n2.Cn22n1C2n1n1 C03C332.(2)(4)正确【答案】(2)(4)【名师点评】对于具体的排列数、组合数常用定义式计算，对于它们的化简或者证明常用阶乘的形式，注意性质的应用排列中具有典型意义的问题是“排数”、“排队”、“排课程表”，绝大多数排列问题都可转化为与这几种类似的形式，对复杂的问题注
6、意分类讨论与间接法的应用排列及应用 六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰间隔两人；(5)甲、乙站在两端；(6)甲不站左端，乙不站右端例2【思路分析】【解】(1)法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个，有 A14种站法，然后其余5 人在另外 5 个位置上作全排列，有 A55种站法，根据分步计数原理，共有 A14A55480 种站法法二：若对甲没有限制条件，共有 A66种站法，甲在两端共有 2A55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数，共有 A662A55480 种站
7、法(2)法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有 A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有 A22种站法，根据分步计数原理，共有 A55A22240 种站法法二：先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 A44种站法，再在 5 个空档中选出一个供甲、乙站，有 A15种站法，最后让甲、乙全排列，有 A22种方法，共有 A44A15A22240 种站法(3)法一：因为甲、乙不相邻，所以可用“插空法”第一步，先让甲、乙以外的 4 个人站队，有A44种站法；第二步，再将甲、乙排在 4 人形成的 5个空档(含两端)中，有 A25种站法，故共有 A44A25480 种站法法二：“间接法”：6 个人全排
8、列有 A66种站法，由(2)知甲、乙相邻有 A55A22240 种站法，所以不相邻的站法有A66A55A22720240480(种)(4)法一：先将甲、乙以外的 4 个人作全排列，有A44种站法，然后将甲、乙按条件插入站队，有 3A22种站法，故共有 A443A22144 种站法法二：先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个位置上，有 A24种；然后把甲、乙及中间 2 人看作一个“大”元素与余下 2 人作全排列，有 A33种站法；最后对甲、乙进行排列，有 A22种站法，故共有 A24A33A22144 种站法(5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有 A22种站法，再让其他
9、 4 人在中间位置作全排列，有 A44种站法，根据分步计数原理，共有 A22A4448 种站法(6)法一：甲在左端的站法有 A55种站法，乙在右端的站法有 A55种，且甲在左端而乙在右端的站法有 A44种站法，共有 A662A55A44504 种站法法二：以元素甲分类，可分为两类：甲站右端有A55种站法，甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端，有 A14A14A44种站法，故共有 A55A14A14A44504种站法【思维总结】针对特殊的元素或特殊的位置合理地优先考虑当有两个特殊位置时，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素时，应分类讨论组合中比较常见的问题是选取元素的“含”与“不含”，几
10、何图形中的“对应关系”等，要优先考虑特殊条件，注意间接法的使用组合及应用 在7名男生和5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法有多少种？(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选【思路分析】(1)5人中含A，B再另选3人；(2)从其余的10人选5人；(3)可用间接法；(4)“至少”包含2名，3名，4名，5名可用间接法例3【解】(1)由于 A，B 必须当选，那么从剩下的 10人中选取 3 人即可，有 C310120(种)(2)从除去 A，B 两人的 10 人中选 5 人即可有 C510252(种)(3)全部选法有 C512种，A，B 全当选有
11、C310种，故 A，B 不全当选有 C512C310672(种)(4)“至少有 2 名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，有 C512C15C47C57596 种选法【思维总结】在解组合问题时，常遇到至多、至少问题，此时可考虑用间接法求解以减少运算量如果同一个问题涉及排列组合问题应注意先选后排的原则互动探究 求例3中男生人数不少于女生人数的选法解：可分为三类，男 5 人女 0 人；男 4 人女 1 人，男 3 人女 2 人共有：C57C47C15C37C25213553510546(种)共有 546 种选法这是主要题型，一般先取元素，即组合，若有顺序再研究排列，特别是分组与分配问题排列组合综
12、合应用 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本例4【思路分析】这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏【解】(1)无序不均匀分组问题先选 1 本有 C16种选法；再从余下的 5 本中选 2 本有 C25种选法
13、；最后余下 3 本全选有 C33种方法，故共有 C16C25C3360(种)(2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C33A33360(种)(3)无序均匀分组问题先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复不妨记 6 本书为 A、B、C、D、E、F，若第一步取了 AB，第二步取了CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)、(CD，AB，EF)、(CD，EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)共 A33种情况，而这 A33种情况仅
14、是 AB、CD、EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C26C24C22A3315(种)(4)有序均匀分组问题在第(3)题基础上再分配给 3个人，共有分配方式C26C24C22A33A33C26C24C2290(种)(5)无序部分均匀分组问题，共有C46C12C11A2215(种)(6)有序部分均匀分组问题在第(5)题基础上再分配给 3 个人，共有分配方式C46C12C11A22A3390(种)(7)直接分配问题甲选 1 本有 C16种方法，乙从余下5 本中选 1 本有 C15种方法，余下 4 本留给丙有 C44种方法，共有 C16C15C4430(种)【思维总结】均匀分组与不均匀
15、分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数；还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数方法技巧(1)弄清事件的情景：首先搞清有无“顺序”要求，若有则用A，反之用C；其次弄清目标的实现，是分步达到的，还是分类达到的，从而正确选用计数原理，一个复杂问题往往是分类与分步交织在一起的；最后看一下元素可否重复方法感悟(2)掌握“双向”解题途径，即“正面凑”与“反过来剔”，一道题目“正面凑”繁，“反面剔”则简，反之亦然如例3(4)(3)某元素在某位置或不在某位置如例2(1)(5)
16、这种情况常用“特殊元素(位置)优先考虑法”来求解，即先确定特殊元素排在哪个位置或特殊位置排哪个元素如对于“甲不站在排头”，我们就应该先确定“甲站哪”或“谁站排头”(4)“捆绑”与“松绑”相邻问题采用“捆绑法”，即先把这几个相邻元素看成一个整体(捆绑)，当作一个元素与其他元素排列，然后再对整体的内部进行全排列(松绑)(5)某几个元素不能相邻如例2(3)不能相邻问题采用“插空法”，即先把没有限制条件的元素进行全排列，然后把不能相邻的元素插入空中(6)相对顺序不变问题相对顺序不变问题采用“逐步插空法”，即先把顺序不变的元素排好，然后把其他元素逐个插入空中，注意每插入一次就会多出一个空(7)“含”与“
17、不含”问题，通常采用直接法，先满足特殊元素或特殊位置，其余则“一视同仁”如例3.1解决有关排列应用题，要注意防止题目中的一些细节考虑不周，出现重复或遗漏情况如分类标准不统一如例2.2解题时要注意分清“有且仅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“都不是”、“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准如例3.3要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重复计数失误防范考向瞭望把脉高考 考情分析从近两年的高考试题来看，考查的形式为选择题或填空题，内容主要表现在两个方面：(1)单独考查排列或组合知识(2)通过实际问题综合考查排列组合高考中排列、组合应用题是其中一个重要考点，考查时常以实际应用题为载
18、体来考查学生的分析、创造能力难度逐渐减小趋势在2010年的高考中，全国文理37套试卷中有十八套试卷考查了这部分知识，其中大纲全国卷、重庆卷、湖北卷、江西卷、四川卷文理都有预测2012年高考在本节仍会以实际问题为载体出一道选择题或填空题综合考查排列组合，属基础或中等难度偏下考题(2010年高考大纲全国卷)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A30种B35种C42种D48种命题探源例【答案】A【名师点评】本题考查了组合中“至少”的问题，与教材中例5是非常相似的问题理解“至少”的分类情况是解题的关键题目较容易，旨在考查排列组
19、合的基本知识【解析】法一：可分两种互斥情况：A 类选 1 门，B 类选 2 门或 A 类选 2 门，B 类选 1 门，共有 C13C24C23C14181230 种选法法二：总共有 C3735 种选法，减去只选 A 类的 C331(种)，再减去只选 B 类的 C344(种)，故有 30 种选法1在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有()A93 B92C96 D95名师预测解析：选 C.当 A 出现在第一步时，再排 A，B，C以外的三个程序，有 A33种，A 与 A，B，C 以外的三个程序生成
20、4 个可以排列程序 B、C 的空档，此时共有 A33A14A22种排法；当 A 出现在最后一步时的排法与此相同，故共有 2A33A14A2296 种编排方法2同室A，B，C，D四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A，B不选修同一门课，则不同的选法有()A36种B72种C30种D66种解析：选 C.将 A，B，C，D 四位同学分成 3 组，共有C24C122！种分法，所有的选修方案为C24C122！A33，其中 A，B 选修同一门课的方案数为 A33.故所有不同的选法为C24C122！A33A3330.3某同学要出国学习，行前和六名要好的同学站成一排照纪念照，该
21、同学必须站在正中间，并且甲、乙两同学要站在一起，则不同的站法有()A240种B192种C96种D48种解析：选 B.依题意可分两类：甲、乙两同学站在该同学左边有 C12A22A4496 种站法，甲、乙两同学站在该同学右边也有 96 种站法，共有 962192 种4测体温是预防甲流感的有效措施某学校医务室欲将23支相同的温度计分发到高三年级10个班中，要求分发到每个班的温度计不少于2支，则不同的分发方法共有()A120种B175种C220种D820种解析：选 C.每个班至少 2 支，每个班先得到 2支，然后剩下 3 支，再分 3 类：3 支分发给三个不同班级：C310120；3 支中 2 支给一个班，另 1支给一个班：A21090；3 支全给一个班：C110，故1209010220(种)本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
