1、24 向量的数量积(一)第2章平面向量学习导航第2章平面向量学习目标 1.了解平面向量数量积的物理意义 2理解平面向量数量积的含义(难点)3掌握平面向量数量积的运算(重点)学法指导 1.向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，两个向量的数量积，其结果是数量,而不是向量学习时必须透彻理解数量积概念的内涵.2向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，概念内涵更丰富，计算更复杂，实数乘法中的一些运算律在向量的数量积中已经不再成立，不宜作简单类比,照搬照抄.书写格式也要严格区分,ab中的“”不能省略.栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业
2、第2章平面向量1.向量的夹角的定义(1)定义：对于两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角(2)范围：范围为_或 _01800，栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量2.向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角是，我们把数量_叫做向量 a 和 b 的数量积(或_)，记作 ab，即 ab_(2)规定：零向量与任一向量的数量积为_(3)特例：当 0时，a 与 b_，ab_；特别地，aa_或|a|_当 180时，a 与 b_，ab_当 90时，称向量 a 与 b_，记作_，
3、ab_|a|b|cos内积|a|b|cos 同向|a|b|a|2aa反向|a|b|垂直ab00栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量3向量的数量积的运算律 已知向量a，b，c和实数，则(1)ab_；(2)(a)b_；(3)(ab)c_温馨提示：向量a、b的数量积ab虽与代数中数a、b的乘积ab形式相似，实质差别很大实数中的一些运算性质不能随 意简单地类比到向量的数量积上来例如，ab0不能推出a0或b0；abbc/ac；(ab)ca(bc)也未必成立baa(b)ab(ab)acbc栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展
4、 整合提高 课时 作业 第2章平面向量1设a，b，c为平面向量，有下面几个命题：a(bc)abac；(ab)ca(bc)；(ab)2|a|22|a|b|b|2；若ab0，则a0，b0.其中正确的有_个 解析：由向量的数量积的性质知正确;由向量的数量积的运算不满足结合律知不正确;由(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos|b|2知不正确;对于，ab|a|b|cos 0,|a|0或|b|0或cos 0.a0或b0或ab,故不正确.1栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量2已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30，|a|2，|b|3
5、，则向量 a 和向量 b 的数量积 ab_解析：ab|a|b|cos 302 3 32 3.3栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量3(2014高考山东卷改编)已知向量 a(1，3)，b(3，m)若向量 a，b 的夹角为6，则实数 m_3解析：ab(1，3)(3，m)3 3m，又 ab12（3）232m2cos 6，3 3m12（3）232m2cos 6，m 3.栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量4已知 e1，e2 是夹角为23 的两个单位向量，ae12e2，bke1e2.若
6、 ab0，则实数 k 的值为_解析：ab0，又ab(e12e2)(ke1e2)ke21(12k)e1e22e22k(12k)11cos23 22k52，k54.54栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量数量积的基本运算已知|a|3，|b|6，当ab，ab，a与b的夹角是60时，分别求ab.(链接教材P84例1)解 当ab时，若a与b同向，则它们的夹角0，ab|a|b|cos 036118；栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量若 a 与 b 反向，则它们的夹角 180，ab|a|
7、b|cos 18036(1)18；当 ab 时，它们的夹角 90，ab0；当 a 与 b 的夹角是 60时，有 ab|a|b|cos 6036129.栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量方法归纳(1)非零向量共线的充要条件是 ab|a|b|，因此，当 ab 时，a 与 b 所成角有 0或 180两种可能；(2)非零向量 abab0；(3)两个向量的数量积 ab|a|b|cos，与它们的夹角有关，夹角范围是0，栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量解析：a、b 是单位向量，|a|
8、b|1.又 kab 和 ab 垂直，(ab)(kab)0，k1kabab0，即 k1kcos cos 0(为 a、b 夹角)，(k1)(1cos)0.又a 和 b 不共线，cos 1，k1.1.已知a和b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab和向量kab垂直，则k_1栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量与向量模有关的问题 已知|a|3，|b|4，向量 a 与 b 的夹角 为 120，求：(1)ab；(2)(ab)2；(3)|ab|；(4)|ab|.(链接教材 P85T7)解(1)ab|a|b|cos 34cos 1206.(2)
9、(ab)2a22abb292(6)1613.(3)|ab|（ab）2 13.(4)|ab|（ab）2a22abb292（6）16 37.栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量方法归纳(1)此类求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用 a2|a|2，勿忘记开方(2)aaa2|a|2 或|a|a2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化(3)一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2 等栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2
10、章平面向量2.若向量a与向量b的夹角为60，|b|4，(a2b)(a3b)72.求：(1)|a|；(2)|ab|；(3)|ab|.解：(1)(a2b)(a3b)72，a2a3b2ba6b272，a2|a|b|cos 606b272，|a|2|a|41264272，|a|22|a|240，(|a|4)(|a|6)0，|a|6.栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量(2)|ab|（ab）2a22abb2 62264cos 6042 762 19.(3)|ab|（ab）2a22abb2 62264cos 6042 282 7.栏目导引 新知初
11、探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量与向量夹角有关的问题若(ab)(2ab)，(a2b)(2ab)，试求a，b的夹角的余弦值(链接教材P85T3)解 由(ab)(2ab)，(a2b)(2ab)，得（ab）（2ab）0，（a2b）（2ab）0，即2a2abb20，2a23ab2b20.3，得 a258b2，栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量|a|258|b|2，即|a|58|b|.由得 abb22a2|b|2258|b|214|b|2.由可得 cos ab|a|b|14|b|258|b|2
12、1010.a，b 的夹角 的余弦值为 1010.栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量方法归纳(1)求向量a，b夹角的流程图：(2)由于|a|，|b|及ab都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及ab的相应等式中,可用方程的思想求解(或表示)未知量.栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量3.已知a、b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角解：由已知得(a3b)(7a5b)0，即 7a216ab15b20，(a4b)(7a2b)0，即 7a230
13、ab8b20，两式相减得 2abb2，ab12b2，代入中任一式得 a2b2，即|a|b|.设 a、b 的夹角为，则 cos ab|a|b|12b2|b|212，0180，60.栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量平面向量数量积的综合应用a、b为非零向量，当atb的模取得最小值时，求证：b(atb)(链接教材P85T8)证明|atb|2|a|22tabt2|b|2，这是关于 t 的二次函数，则：当 t2ab2|b|2ab|b|2时，|atb|最小，栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章
14、平面向量b(atb)baab|b|2bab|b|2ab|b|20，b(atb)方法归纳 本题是垂直问题的证明，正确利用 atb 的模取最小值这一条件，对已知进行合理的整理和化简，将证明向量垂直转化为证明其二者的数量积为 0.栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量4.四边形 ABCD 中，AB a，BC b，CD c，DA d，且abbccdda，试问四边形 ABCD 是什么图形？解：四边形 ABCD 是矩形，这是因为：一方面：abcd0，ab(cd)，(ab)2(cd)2，即|a|22ab|b|2|c|22cd|d|2，由于 abcd，
15、|a|2|b|2|c|2|d|2，同理有|a|2|d|2|c|2|b|2,栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量由可得|a|c|，且|b|d|，即四边形 ABCD 的两组对边分别相等四边形 ABCD 是平行四边形另一方面，由 abbc，有 b(ac)0，而由平行四边形 ABCD 可得 ac,代入上式得 b(2a)0，即 ab0，ab 也即 ABBC，综上所述，四边形 ABCD 是矩形栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量解 由(a3b)(7a5b)，得(a3b)(7a5b)0.即
16、 7|a|215|b|216ab0.3 分由(a4b)(ab)，得(a4b)(ab)0，即|a|24|b|2(14)ab0，又 ab|a|b|cos 12012|a|b|，7 分规范解答 平面向量数量积的应用(本题满分14分)已知两个非零向量a，b，夹角120，且(a3b)(7a5b)，问是否存在实数，满足(a4b)(ab)?栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量把代入得|a|b|，再代入得4142|a|20.12 分|a|0，41420，即 32.13 分故存在实数 32，使(a4b)(ab).14 分栏目导引 新知初探 思维启动 教
17、材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量规范与警示(1)向量 abab0，这是将垂直关系与数量积相联系的关系式在与向量夹角 有关的问题中，夹角公式 cos ab|a|b|应用时要注意分清数量积和数量的运算(2)两个向量的数量积不是向量而是数量，要注意区分两向量数量积的运算性质与向量的数乘、实数与实数的积之间的差异栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量在ABC 中，已知AB AC 0，BC AB 0，CB CA0 判断ABC 的形状易错警示 将向量的夹角与直线的夹角混淆致误 解 AB AC|AB|AC|cos A0
18、，A 是锐角CB CA|CB|CA|cos C0，C 是锐角，BC AB|BC|AB|cos(B)|BC|AB|cos B0，cos B0，B 也是锐角，故ABC 是锐角三角形栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量错因与防范(1)错因：本题易由BC AB 0 推断|BC|AB|cos B0，误认为BC 与AB 的夹角就是直线 BC 与 AB 的夹角，即ABC 的内角 B，从而导致角 B 是钝角，ABC 为钝角三角形的错误结论(2)防范：两个向量的夹角是指同一起点出发的两个向量构成的最小非负角，两向量夹角范围是0，准确找到两向量的夹角才能
19、正确地解决问题本题中BC 与AB 的夹角为角 B 的补角，BC 与BA 的夹角才是ABC 中的内角 B.栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量5在ABC 中，|AB|13，|BC|5，|CA|12，则AB BC 的值是_解：易知|AB|2|BC|2|CA|2，C90.cos B 513，cosAB，BC cos(180B)cos B 513.AB BC|AB|BC|cos(180B)135 513 25.25栏目导引 新知初探 思维启动 教材盘点 合作学习 教材拓展 整合提高 课时 作业 第2章平面向量本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
