1、2.9 函数的应用 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 2.9 函数的应用双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1几种常见的函数模型(1)一次函数模型 ykxb(k0)；(2)反比例函数模型 ykx(k0)；(3)二次函数模型 yax2bxc(a0)；(4)指数函数模型 yN(1p)x；(5)yxax型；(6)分段函数模型2解答函数应用题的思维过程利用函数模型解决的实际问题称为函数的应用问题分析和解答函数应用问题的思想过程为：思考感悟对于实际应用中的函数，其定义域应注意什么？提示：对实际应用中的函数，除了函数解析式本身的定义域之外，还应须使每个变量有实际意义课前热身 1(教材例 1 改
2、编)在一块半径为 R 的半圆形钢板上，计划剪成矩形 ABCD 的形状，AB 在直径上，C、D 在半圆周上，若设 ABx，要使ABCD 的面积最大，x 应为()AR B.12RC.2RD.22 R答案：C2(教材练习改编)一种产品的成本原来是 a元，在今后 m 年内，计划使成本平均每年比上一年的降低率为 p，则成本 y(元)经过 x 年变化的函数关系式为()Aya(1p%)x(xN*，xm)Bya(1p)x(xN*，xm)Cyaxp(xN*，xa)Dya(1p%)x(xN*，xa)答案：B3今有一组实验数据如下：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12
3、18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()Avlog2tBvlog12tCvt212Dv2t2答案：C4甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲到公园的距离与乙到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家，乙10时半从家中出发迎甲，如图表示甲从家出发到乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系，甲在公园中休息的时间是十分钟，那么yf(x)的函数表达式是_答案：f(x)x15 0 x302 30 x40 x102 40 x605某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路，该产品的广告效应是产品的销售额与广告费之间的差如果销售额与广告费的算术平方根成
4、正比，根据市场抽样调查显示：每付出100元广告费，所得的销售额是1000元则该企业应该投入_元广告费，可以获得最大的广告效应答案：2500考点探究挑战高考 一次函数或二次函数模型(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)；考点突破(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等一般利用函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错参考教材例1.图 1 是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图 2 是凹槽的横截面(阴影部分)的示意图，其中四边形
5、 ABCD 是矩形，弧 CMD 是半圆，凹槽的横截面的周长为 4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为 3，设 AB2x，BCy.例1(1)写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；(2)当x取何值时，凹槽的强度最大？【思路分析】根据平面几何性质得y与x的关系，强度与x的关系，通过y代换【解】(1)易知半圆CMD的半径为x，故半圆CMD的弧长为x，2x2yx4，解得 y42x2.依题意知 0 xy.0 x 44.(2)设凹槽的强度为 T，则有 T 3(2xyx22)3432(x443)2 8 343，因为 0443 44，所以当 x443时，凹槽的强度最大【思维总结】本题极易出错
6、的地方是定义域所隐含的关系，0 xy，再者是对T的化简配方，因数字复杂而出错(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画实际问题的重要模型(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值参考教材习题2.9第4题分段函数模型(原创题)一个由55辆组成的运往甘肃舟曲救灾物质的车队走到一山口时接到通知：6分钟后，前方路段有塌方危险，不能通行已知这段山路长2150 m(危险区)，该路段车速不能超过20 m/s.这个车队的每辆车都是车身长为10 m的同
7、一车型(这种车型的最高车速为40 m/s)，若车队匀速通过该路段，设车队的车速为x m/s，根据安全和车流的需要，例2当 0 x10 时，相邻两车之间保持 20 m的距离，当 10 x20 时，相邻两车之间的距离保持(16x213x)m 的距离，自第一辆车车头进入危险区至第 55 辆车车尾离开危险区所用时间为 y(s)(1)将 y 表示为 x 的函数；(2)车队符合车速要求安全的条件，在塌方之前，能否安全通过该段路(31.73)【思路分析】不同的车速x，就有不同的时间，所用时间的最小值小于6分钟，可安全通过【解】(1)由题意知，当0 x10时，y2150105520551x3780 x；当 1
8、0 x20 时，y2150105516x213x551x2700 x 9x18.所以y3780 x 0 x10，2700 x 9x18 10 x20.(2)当 x(0,10时，在 x10 时，ymin378010 378(s)；当 x(10,20时，y2700 x 9x181829x2700 x18180 3329.4(s)当且仅当 9x2700 x，即 x17.3(m/s)时取等号因为 17.3(10,20，所以当 x17.3(m/s)时，ymin329.4(s)因为 378329.4，所以当车队的速度约为 17.3 m/s 时，车队通过危险区所用的时间 y 有最小值 329.4 s.329
9、4 s1)，常形象地称之为“指数爆炸”指数函数、对数函数模型的应用(2)能用对数函数表达的函数模型，其增长特点是开始阶段增长的较快(a1)，但随x的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常形象地称之为“蜗牛式增长”参考教材例2及实习作业某电器公司生产A种型号的家庭电脑，2008年平均每台电脑生产成本为5000元，并以纯利润20%标定出厂价.2009年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低预计2012年平均每台A种型号的家庭电脑的出厂价仅是2008年出厂价的80%，却实现了纯利润50%的高效益例3(1)求 2012 年每台电脑的生产成本；(2)以 2008 年生产成本为基
10、数，求 2008年至 2012 年生产成本平均每年降低的百分数(精确到 0.01，以下数据可供参考：52.236，62.449)【思路分析】(1)出厂价成本利润；(2)利润成本利润率，因为20082012年四年间成本平均每年降低的百分数相等，因此可把2012年每台的生产成本用这个百分数表示，而这个量应与第(1)问中求得的2012年每台电脑的生产成本相等，据此列出方程求解【解】(1)2008年的出厂价为：5000500020%6000(元)，设2012年每台电脑的生产成本为y元，则有50%yy600080%，解得y3200元，(2)设从2008年到2012年平均每年降低的百分数为x，则2012年
11、生产成本y5000(1x)4，令32005000(1x)4，解得x0.11.所以，2008到2012年的生产成本平均每年降低11%.【思维总结】从2008到2012年的生产成本就是指数函数型的变化互动探究 A种型号的电脑，2012年出厂价为多少？解：2008年的出厂价为5000(120%)6000(元)，2012年出厂价为600080%4800(元)方法技巧1审题时，将题目中的数量及关系，通过列表，归纳等方法抽象为数学关系，就可明确函数类型2生活中一般利润，几何等问题往往是一次或二次函数模型，增长率(降低率)利息等问题，一般为指数函数模型方法感悟 失误防范1函数模型应用不当，是常见的解题错误所
12、以，应正确理解题意，选择适当的函数模型2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域3注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性考向瞭望把脉高考 函数贯穿于整个高中教材，常与数列、不等式、解析几何、导数“融会贯通”，命制选择题、填空题、解答题，难度中档偏上，有的是函数模型的实际应用题，考查学生的综合运用能力及数学思想考情分析 2010年的高考中，各省市考题无不考查了这部分知识如大纲全国卷理20题，以对数函数为主题，文以四次函数为主题卷理22题以指数函数为主题，文以三次函数为主题预测2012年的高考中，仍是以这些基本函数为框架，考查实际应用或与其它章节知识综
13、合(2010年高考重庆卷)(本题满分12分)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值例规范解答【解】(1)由题意得 f(x)3ax22xb，因此 g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.2 分因为函数 g(x)是奇函数，所以 g(x)g(x)，即对任意实数 x，有 a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，4 分从而 3a10，b0，解得 a13，b0，因此 f(x)的表达式为 f(x)13x3x2.6
14、分(2)由(1)知 g(x)13x32x，所以 g(x)x22.令 g(x)0，解得 x1 2，x2 2，8 分则当 x 2时，g(x)0，从而 g(x)在区间(，2，2，)上是减函数；当 2x0，从而 g(x)在区间 2，2上是增函数.10 分由上述讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在 x1，2，2 时取得，而 g(1)53，g(2)4 23，g(2)43，因此 g(x)在区间1,2上的最大值为 g(2)4 23，最小值为 g(2)43.12 分【名师点评】本题所涉及函数的性质较多：奇偶性、单调性、值域、最值等，所涉及的方法：求导、待定系数、方程、不等式等，难度较大此题入手容
15、易，得满分并不容易，首先需有(1)完全正确，(2)才有可能正确所以主要问题是化简与计算出错名师预测 某电视生产厂家有 A，B 两种型号的电视机参加家电下乡活动若厂家投放 A，B 型号电视机的价值分别为 p，q 万元，农民购买电视机获得相应的补贴分别为 110p，mln(q1)(m0)万元已知厂家把总价值为 10 万元的 A，B 两种型号电视机投放市场，且 A，B 两型号的电视机投放金额都不低于 1万元(精确到 0.1，参考数据：ln41.4)(1)当 m25时，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值；(2)讨论农民得到的补贴随厂家投放 B 型号电视机金额的变化
16、而变化的情况解：设 B 型号电视机的价值为 x 万元(1x9)，农民得到的补贴为 y 万元，则 A 型号电视机的价值为(10 x)万元，由题意得y 110(10 x)mln(x1)mln(x1)110 x1.(1)当 m25时，y 110(10 x)25ln(x1)25ln(x1)110 x1，y25x1 110，由 y0 得，x3，当 x(1,3)时，y0，当 x(3,9)时，y0.所以 x3 时，y 取最大值，ymax25ln40.311.3.即厂家分别投放 A，B 两型号电视机 7万元和 3 万元时，农民得到补贴最多，最多补贴约 1.3 万元(2)由 y mx1 110，由 y0 得，x10m1，当 10m11，即 0m0.2 时，y0，y 在1,9是减函数，随 B 型电视机投放金额 x 万元的增加，农民得到的补贴逐渐减少当 110m19，即 0.2m0，x(10m1,9，y0.当 x1,10m1随 B 型电视机投放金额 x 的增加，农民得到的补贴逐渐增加x(10m1,9)随 B 型电视机投放金额 x 的增加，农民得到的补贴逐渐减少当 10m19，即 m1 时，y 在1,9上是增函数，随 B 型电视机投放金额 x的增加，农民得到的补贴逐渐增加本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
